I -Jr I = CJ = 2iri
Les zéros de la fonction thêta sont donc connus. Revenons maintenant à l'intégrale elliptique.
Rapport des périodes de V intégrale elliptique. — Nous avons besoin du résultat suivant : Soient deux périodes de Vinté-
grale l -p=.y leur rapport ne peut être réel.
Une intégrale est une limite de somme de nombres complexes infiniment voisins les uns des autres.
Considérons deux nombres complexes a et 6 et leur somme. Si la différence des arguments est moindre que tt, on voit immédiatement que arg(a-H6) est compris entre arg(a) et arg(fe).
Cette propriété s'étend aux intégrales (0| et toj, qui ont été définies antérieurement (périodes).
Soit
Nous avons
- c*'' El - r'* El.
Supposons, pour simplifier le discours, que la droite eie* coïncide avec l'axe réel. Soient ei, £2, £3 les angles du triangle ete^e^.
PËKIODE DES INTEGRALES. FONCTIONS PÉRIODIQUES. 21i)
Dans l'inlégrale (o^, on a
arg(</^) = arg(^ — ej) = o, arg(j; — Cj) = 7t. arg(^ — ^s) varie de tch-êj à ir-f- S|-+- E3.
D'où II résulte :
arg ( wi ) compris entre — t et — i: »
arg(a),) = -7r--^ - 6 i' (o<e<i).
Dans rinlégrale wj, on a
arg(cf^) = arg(-5 — e, ) = Ei, arg(^ — ^3) = ir -h s,, arg(-8 — cj) varie de it à ir — êj.
arg^wj) compris entre — i: et — tih >
arg(toj) = — TT -h 6' î^ ( < 0'< i).
Nous avons, d'ailleurs,
arg^^^ =arg(cii,) — arg(w,) = ^ ^6^ -f-6'^.
La différence des arguments n^est pas nulle.
D'autre part, on peut l'écrire sous la forme
Elle est donc moindre que -• ^ 2
Si donc nous posons
s n^est pas nuL c. q. f. d.
Nous pouvons maintenant faire saisir la géniale conception de Riemann.
/^ clz
Cherchons, d'après Kiemann, à exprimer :; en fonction de m, au moyen des fonctions théta^ par l'application des théorèmes généraux.
Modifions un peu les notations, en appelant w el(i>' les périodes de r intégrale elliptique.
Formons le parallélogramme des périodes.
Formons Va fonction thêta
er
On a démontré (\\x\in parallélogramme des périodes contient une racine et une seule de 0.
Introduisons la constante A|, qui a été définie et formons, A étant une constante, la fonction
Cette fonction de z est uniforme (p. 208).
De plus, dans le plan des z^ elle a une seule racine. On le prouve en faisant usage du contour {fig- 28), formé de quatre
Fig. 28.
lacets, le quatrième lacet étant un cercle F, de rajon R (R tendant vers l'infini).
Formons de même la fonction :
k étant une autre constante.
Si h et k sont bien choisis, on arrive à ce résultat :
La fonction
i^ est uniforme dans tout le plan de z ;
2® a un zéro X dans tout le plan de z ; 3** a un pâle [x dans tout le plan de z ; 4" admet les périodes co et o)'.
Diaprés les théorèmes généraux (Chap. III) nous pouvons conclure
F,:G==Mi^.
M est une constante.
D'où l'expression de z à Taide des fonctions thêta. L'inversion est faite, en principe.
Pour les fonctions abéliennes on emploie les séries thêta à plusieurs arguments et la théorie est infiniment plus compliquée.
Notons bien ceci. Lorsque le degré de Z surpasse le nombre 4» on n'obtient plus, par inversion, une fonction uniforme.
C'est facile à voir, intuitivement.
Imaginons une courbe réelle y=f[x). Bien entendu, nous la supposons s£Lns points multiples. Si, en un point, la tangente est horizontale^ aux points voisins, pour une valeur y=X, j'ai deux valeurs de x^ soitXi (X) et X2Çk)'
Donc un seul point à tangente horizontale empêchera la fonction inverse d'être uniforme.
Prenons
du = — = •
Si le degré de Z surpasse 4? on a, au point infini^ une tangente horizontale, donc l'inversion uniforme est impossible et alors il faut chercher une fonction de deux variables. Celle-ci devra être uniforme dans tout le plan et s'exprimer à l'aide des fonctions thêta de deux variables.
Encore une remarque. La difficulté de l'inversion provient du fait suivant :
, y par inversion
on obtient le ^m;/^, fonction périodique.
On obtiendrait ainsi le sinus par V inversion de Varc sinus. C'est ce point de vue détourné (\ui\ a fallu découvrir pour trouver les fonctions périodiques par l'inversion d'intégrales douées de périodes.
IV. Théorèmes généraux sur les fouctions elliptiques* — On appelle fonctions elliptiques des fonctions méromorphes dans tout le plan et doublement périodiques.
Après les préliminaires que nous avons donnés sur Vinversion des intégrales elliptiques, donnons les propriétés les plus générales.
Théorème 1. — Si une fonction holomorphe admet une période infiniment petite, elle se réduit à une constante.
En effet, soit une fonction synectique et uniforme, ses zéros sont isolés (p. 71). Cela démontre le théorème.
Théorème II. — Toute fonction admettant plus de deux périodes distinctes, ou deux périodes distinctes dont le rapport soit réel, admet une période infiniment petite.
Soient trois périodes distinctes :
