iii = a-\- bi, ^u}'= a'-h b'ij a ou' = a

c'est-à-dire qu'il n'existe aucune relation de la forme 2 Eu) -h 2E'w'-+-2E'a)'= o,

E, E', E'' étant entiers, positifs ou négatifs.

Prenons trois entiers arbitraires, p, /?', p^; nous aurons donc la

période

2 û = 2/> w -f- ip' to' -h 2/>' to' = A H- i B.

Soit M un nombre supérieur à

i«;, \^'u \^'i \àu \b'i |6'i

et soit h un nombre entier quelconque.

Donnons successivement à p,/?', /?*" les valeurs o, i , 2, 3, . . ., /i; nous avons (h -\- i)' systèmes de valeurs et nous avons constamment

Soit n le plus grand entier <; (A -|- i)^.

Dans le plan de la variable A-4-B/, construisons un carré de côté égal à 6 MA et décomposons ce carré en n^ carrés égaux.

Le point A 4- Bt tombera dans V un des carrés et le nombre des hypothèses distinctes que Ton pourra faire sera n^<C {h -H i)'.

Donc, il existera certainement deux systèmes de nombres {PiiP\^ Pi) ^^ {P^t P'i^ P\) ^^^^ V^^ ^^^ nombres correspondants A| 4- B4 «, As -h Bq/ tombent dans un même carré.

On aura alors

lA A i<6M/' ,R ^ .^ r>MA

I Aj — A 1 1 ^ —^ , 1 Bj - Bi I = — j^p-

et il en résulte une période aÛj — 2Û| de module < -^ — ^• * n

Si nous faisons croître h indéfiniment, cette expression tend

vers zéro^ n étant d'ordre - par rapport à A. c. q. f. d.

Supposons maintenant Texistence de deux périodes distinctes dont le rapport soit réel. Ce rapport est irrationnel^ puisque les périodes sont distinctes.

Posons

Posons

i=^p-t-pi, p = ^,pi-f-p„ ...,

^, ^,, ... étant entiers et p», pa, formant une suite illimitée

telle qu'on ait

|pn-Kl|S \\9nV

Nous en déduisons

2U> = 2 5'a>'-h 2pi(«J, 2ai'= ^ÇTipiCO -h 2pïU),

Nous obtenons encore des périodes

2piW, 2pjC0, ...

dont les modules tendent vers zéro, c. q. r. d.

Observons que le rapporl de deux périodes de l'intégrale elliptique n'est pas réel (nous l'avons montré), et nous saisissons l'importance de ce fait pour V inversion.

Le théorème qui suit va montrer pourquoi nous devons prendre des fonctions méromorphes à deux périodes.

Théorème 111. — Toute fonction doublement périodique et entière se réduit à une constante.

En efTet, soit ABCD un parallélogramme des périodes, la fonction sera holomorphe dans (ABCD) et, dans cette aire, on aura

M étant un nombre borné.

Mais la relation (i) va subsister dans tout le plan. Donc, on a, d'après le théorème de Liouville,/(M) = const. (p. Sg).

Théorème IV. — La somme des résidus d^une fonction elliptique, relatifs aux pâles situés dans un parallélogramme fondamental, est nulle.

En effet, elle est égale à l'intégrale

prise sur le contour du parallélogramme, dans le sens positif.

Or, les intégrales relatives à deux côtés opposés se détruisent, car en deux points correspondants, situés sur une même parallèle à l'autre côté, f{u) a la même valeur, el du a des valeurs égales et de signes contraires.

On dit qu'une fonction elliptique est d^ ordre n si elle a n pôles dans un parallélogramme fondamenlal, oii un pôle multiple d'ordre n.

Corollaire. — lln^y a pas de fonction elliptique d^ ordre un. Car une telle fonction n'aurait qu'un pôle simple; son développement autour de ce pôle a serait donc de la forme

f{u) = hBo-l-B,(a — a)-|-...,

A désignant le résidu; la somme des résidus relatifs aux pôles intérieurs à un même parallélogramme étant nulle, on aurait A = o, et a ne serait pas un pôle.

Thiêorème V. — Une fonction elliptique a autant de zéros que de pôles dans un parallélogramme des périodes.

En effet, la différence m — /i, entre le nombre de zéros et celui

PBHIODE DES INTÉCBALE8. FONCTIONS PÉHIODIQDES. aa5

des pôl«s, est égale à l'intégrale (p. io4)

prise le long du contour du parallélogramme. Or, cette intégrale est nulle, car la fonction /'(u) admettant les mêmes périodes que /(tt), la fonction sous le signe est elliptique^ et les intégrales relatives aux côtés opposés se détruisent.

Corollaire, — Soit f{u) une fonction elliptique d'ordre n: l'équation /(u) = c (c étant une constante) a n solutions dans chaque parallélogramme : car la fonction elliplique /(a) — c a évidemment les mêmes pôles que /(u); elle est donc du même ordre /i, et elle aura n zéros dans un parallélogramme.

Théorème VI. — La somme des valeurs des zéros d'une fonction elliptique est égale à celle des valeurs des pôles contenus dans le même parallélogramme, à une période près.

En effet, la différence entre la somme des valeurs des zéros et celle des valeurs des pôles, dans un même parallélogramme, est égale à l'intégrale (p, ïo/\) :

: / '' ' U du,

prise dans le sens positif, le long du contour du parallélogramme ABCD.

Or, si l'on désigne par u un point du côté AB et par

le point correspondant du côté CD, quand le point z décrit CD, le point u décrit BA, de sorte qu'on a

d'où

D'A. — II. i5

Mais aux points B et A, pour lesquels les valeurs de la variable ii diffèrent de 2iùi, f{u) reprend la même valeur; la différence des logaritUmes est donc un multiple entier de 2Tzi^ soit 2A*2'n«; de même les intégrales suivant BC et DA donnent le terme 2 w, . 2 Ati tc«, et Tintégrale qui représente la différence entre les sommes des valeurs des zéros et des pôles est :

:( — acoj aA-jTTt H- au)i ikiizi) = îAriOJi — aA:]i02,

c'est-à-dire une période. c. q. f. d.

Théorème VU. — Il existe une relation algébrique entre deux fonctions elliptiques ayant les mêmes périodes.

Soient /„, Ou deux fonctions elliptiques admettant les périodes 2(0,, 20)2. Dans un parallélogramme des périodes, considérons les points a,, . . ., a^ qui sont des pôles de /ou de cp, ou des deux à la fois.

Soit Pi Tordre de multiplicité relatif à a/ (s'il y a deux nombres />i, prenons le plus grand des deux). Posons

Soit F(x,y) un polynôme entier de degré n,

SoitF(/„,ç«) = G(w).

Gu est une fonction elliptique dont les pôles ne peuvent être que les points a/ (aux périodes près). Ecrivons que Gu se réduit à une constante. Chaque pôle donne, au plus, npi conditions; donc, au total, nous avons, au plus, N/i conditions.

D'ailleurs, le polynôme ¥[x,y) contient ^^-^^ ^coefficients.

Donc il suffit de prendre n assez grand pour avoir

/i(/i-+-3)> 2N/1 et nous aurons la relation cherchée

F(/a, <p«) = const.

Certaines courbes algébriques pourront donc être représentées paramétriquement par les fonctions elliptiques. Pour faire cette

représentation, en général, il faut faire intervenir les fonctions fuchsiennes^ et c'est là une découverte capitale d'Henri Poincaré. On part, pour définir les fonctions fuchsiennes, de la relation fonctionnelle

a, 6, c, d sont des constantes, réelles ou non. Poincaré, on le voit, a découvert ces fonctions en partant d'une sorte de périodicité généralisée.

Les fonctions fuchsiennes ou automorphes, en outre, permettent d'intégrer les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques, c'est-à-dire de la forme R(x, j), avec P(j:, j) = o. (R désigne une fonction rationnelle et P désigne un polynôme.)

Construction des fonctions méromorphes bipériodiques. — M. Appell et M. Painlevé ont fait une construction synthétique, très belle, des fonctions bipériodiques à une ou à n variables (*).

Indiquons la méthode :

Soit une fonction méromorphe de période Û, on a

g et h sont des fondions entières, n'ayant pas de zéro commun. Soit a un zéro de g. On a A(a) ^ o, d'où g{oL + Û) = o. Donc g{x) et g{x + ù) ont mêmes zéros, c'est-à-dire que

J'on a

ff(x-*-Q) h{x-^Q)

<f étant une fonction entière.

Posons

<l(a:-h û) — ^{sc) = ®(rr)

et nous savons qu'il existe une solution J^, fonction entière. (Intégration finie, p. II 4-)

(*) P. Painlevé, Comptes rendus de V Académie des Sciences, i*' sem. 190a, page 808.

328 CHAPITIUB IX,

Posons enfin

Nous voyons que G et H n^ont pas de zéros communs et admettent la période Û, d'où ce théorème : une fonction méromorphe dans tout le plan, ayant la période U, est le quotient de deux fonctions entières ayant séparément la période û.

Supposons que f{x) ait une seconde période û'.

Nous aurons

G(:g-KQ') ^ G(x) H(x-hQ') "" Uix)'

D'où l'on déduit, comme précédemment,

G(ar-i-û') H(jr-hû')

Oi désignant une fonction entière.

De plus, la période Û donne lieu à la relation

c'est-à-dire, n étant un nombre entier^

<Pi(j:-4- û) — çi(a?) = inizî^

/ rx^ 2/1111. ^. , . 2/l1tï

Donc la fonction entière Oi(x)-i q"^ admet la période Û^

donc elle est développable en série de Fourier (p. 1 1 1),

Déterminons encore la fonction entière ^i par la condition Et 'Il est encore développable en série de Fourier,

Posons enfin Nous aurons

^ el ^* sont des fonctions entières ayant la période û, et Ton a, en outre,

V(a?-+-Û') = <5 • ÛV(af)

avec

Et cela nous ramène à la fonction thêta ( * ).

V. Exercices évlt les fonctions non uniformes. — 1. Calcul de 3 = I y/i — j?^ rfx, suivant un chemin allant du point o aa point -h 4? au-dessus de l'axe réel.

Nous pouvons prendre pour chemin équivalent celui-ci : O A^, puis un demi-cercle AoMA,, ayant -pi pour centre, puis A, 4-

De cette façon, nous respectons le point critique -h i et nous passons, par une déformation continue, du chemin donné à celui-ci, qui est plus simple.

Sur le segment OA^, nous prenons la valeur réelle positive de y/i — x'^.

Que devient cette fonction^ parTeffet de la circulation Aq M A| ?

Soit r le rayon du demi-cercle.

On a sur le cercle

Au point Aq, on a

I — «=-Hr, ao = o.

(') P. Appbll, Sur les fonctions périodiques {Journal de Mathématiques pures et appliquées ^ 1891).

En M; sur la verticale issue du point + i, on a Enfin, au point A,, on a

tti = — ic.

Nous avons, bien entendu,

et le second facteur est voisin de 2, pour r^u o. Prenons la racine carrée.

D'après ce qui précède on a, en Aq,

V^i — -S =-t- /r (nombre réel > o); en M, on a

Hz

/i — z =5 y/r « * ; et en A,

/i — z = yfr e '= — i/r (/r étant réel > o).

Donc la fonction qui était égale à \J \ — x'^ (réel > o) sur le segment OAo, devient, sur le segment Ai 4 : — i^x^ — i (le radical étant réel > o).

Finalement on a

J= / v^ I — x^ dx — il /ar« — i dx^ Ji — iJj,

car l'intégrale sur le demi-cercle tend vers zéro avec r.

On voit quelles différences existent entre les fonctions synectiques et les fonctions réelles.

PÉRIODE DB8 INTBGRALBS. FONCTIONS PéRlODlQUES. 23 1

On pourrait définir une fonction réelle par la condition /^= y/i — x'^ entre o et i avec /r= ^x^ — i entre i et 4 et alors son intégrale serait J, H- Ja-

Mais, quand on se donne la détermination de hi fonction holomorphe \j\ — z^ sur le segment réel (o, i), la détermination de cette fonction sur le segment (i , 4) s'en déduit et n'est donc pas arbitraire.