Calcul de
x"» dx
n est un entier positif et a est réel positif.
On intègre suivant les deux lacets L, U, tracés autour de -f- 1 et
de — I ifig' 3o).
Fig. 3o.
On prend, par exemple, la détermination du radical, telle qu'on
ait
v/i — -52 = + /i-i-a* pour«= — «i
Au départ, pour z = — /e, e ^^ o, on aura alors
On prendra ensuite une coupure A, allant de zéro à l'infiDi, et un cercle de rayon infini F.
Calcul du résidu à rinfini
T-J ! -1—da
{voir les notations, page loo).
Posons
/a' — 1 = tu /i — M*,
/e radical se réduisant à -hi, pour « = o, to est égal à -h / ou à — i. Comment choisir ?
Reprenons notre convention.
Pour z = — b i [b réel > o), nous devons avoir
/i — *' = -f- v^i -h 6* (réel ).
Faisons donc
On a
v/i — u^ sera égal à l/ i -f- ^ = ^— y — le radical se réduisant
à -h 6 pour 6 = -f- 00, donc à -h i , pour b = o. On doit donc avoir
les radicaux se réduisant à -h i pour 6= o. Cela donne I = — iui d'où w = i.
Ceci compris, on calculera les résidus aux pôles ± ai et la valeur de l'intégrale demandée (réelle) sera donnée aisément par ce contour complexe.
3. Calcul de Vintégrale B= i x\/i — x^ dx. — Soient a, P, y les points représentant les racines cubiques de -f- i,
JTZi 4 71/
a=i, p = e^, Y = pî =<?=*.
On voit de suite quel système de lacets (^fig* 3i) rend uniforme
F- = vi — ^»
et, de plus, que Tintégration suivant les trois lacets donne (*)
Fig.3i.
Occupons-nous seulement du résidu à Tinfini p.
Quelle est, sur le grand cercle F, la détermination de F^?
Suivons le chemin OMQN P {fig. 32).
Fig. 3a.
Nous partons, en O, avec la délerminatlon -f- 1 pour F (o).
F est réel sur OM. Sur le demi-cercle MQN, dont r est le
rayon, on a
^M — I s* r tf-'^, ^x — I = r.
En M, F est réel. Écrivons
(i -f- 5 -f- z^Y sera pris réel> o pour z réel > o. On a
( ' ) Voir mes Exercices et Leçons d'Analyse ( Gauthier- Villars ).
d'où
tù = e * .
De N à P, 5 — I est réel, nous avons donc sans difficulté
Fp=(u[^2 — l)(l -h ^ H- -«*)]»".
en prenant la valeur réelle >-o du radical.
Si P s'éloigne à l'infini, soit 3 = -;
u étant réel, on prend la détermination réelle, soit
d'où (p. loo)
d'où le résidu et l'on a
3B(i — P) = 'iirtp.
VI. Principe de Dirichlet. La formule de Poisson. Extrema d'une fonction harmonique. Module d'une fonction holomorphe. — Nous allons revenir au principe de Dirichlet, à cause du lien qui unit les fonctions harmoniques aux fonctions analytiques. D'ailleurs, lorsque se produit une puissante synthèse, comme celle de MM. Fredholm, Hilbert, etc., pour les problèmes de la Physique mathématique (à caractéristiques imaginaires), il est intéressant de retroui^er^ par la méthode nouvelle, les solutions anciennes relatives aux cas les plus simples.
Nous allons voir que, par la théorie des potentiels, et sans faire usage des transcendantes de M. Fredholm, on retrouve facilement la formule de i^oisson.
II s'agit, on le sait, de trouver la solution de Téquation de Laplace :
la fonction u étant donnée sur une circonférence. C'est le problème de Dirichlet.
Nous rappelons que Ton résout le problème de Dirichlet intérieur^ dans le plan, par un potentiel de double couche. Soit W^ ce potentiel, au point/?; on aura
L étant la longueur du contour donné ; rp la distance du point p au point s sur le contour; o étant l'angle de la droite rp avec la normale au contour au point s] v étant la densité; ds étant l'élément d'arc du contour.
La densité v, est donnée par l'équation de Fredholm
/ V I /*^cos(p , W/ ,
W| est la fonction donnée sur la frontière et r est la distance du
Fig. 33.
point fixe Û, sur le contour, au point mobile 5, sur ce même contour (^^. 33).
^36 CHAPITRB IX.
Si le contour est un cercle de rayon R, on a
COSO I
i = consl. = — K >
Dans ce cas, on a immédiatement v,= tj;,-h \. A est une constante, que nous dëlerminons pai identificalion, ce qui donne
A est donc connu, donc v^ est connu, et nous avons à calculer W;> par la formule (i).
Nous avons d'abord
Reprenons la formule (i), qui prend la forme
(4) W;,= f\^s-^\)^ds.
Remarquons qu'on a, d'après la théorie du potentiel de double couche {voir le Tome 1, p. 218),
'p le point/? étant intérieur au contour. Cela donne
/ A — ^â?v = 2itA,
Jo 'p
coscp
€/5 -h ai:A.
Dans le triangle 0/>s nous avons, en posant Op = /, /« = R» -H rj — 2 R Tp cos çp,
et, d'après la formule (3'), il vient
Soil Ff la fonction donnée sur la circonférence
PÉRIODE DES INTÉGBALBS. PONCTIONS PÉRIODIQUES. 237
Nous avons \^ formule de Poisson
On peut écrire
et
r» = Rt-H/s— 2R/cos{e — <p),
/ et (p étant les coordonnées polaires de p^ ou bien a et 6 étant les coordonnées cartésiennes.
Vérification. Synthèse. — Nous allons faire la vérification et la synthèse^ travail inutile avec la théorie de Fredholm. Mais l*étude est intéressante et nous verrons ce qui arrive quand la donnée F, est discontinue.
M. Schwarz fait la vérification en se servant des fonctions synectiques (*).
Prenons R = i et formons la fonction
Sa partie réelle est — j— > fonction qui se trouve sous le signe, dans (6).
D'après les éléments de la théorie des fonctions synectiques^ on
a donc
Étudions la convergence à la frontière (synthèse). Nous supposons la fonction donnée /(6) discontinue mais bornée.
Soit un point A(/, ç), qui se rapprochera indéfiniment d'un point, sur le cercle, défini par 8 = a>, valeur donnée.
Faisons, avec M. Schwarz, la remarque suivante :
Soient deux cordes infiniment voisines^ issues du point A, joignant les points
e = ^ et e = x:,
puis
e = 4;' et = ^'.
On a donc
(*) Journal de CreUe^ t. LXXÏV. — Gesammelte Math. Abhandlungen^ t. II.
Les triangles A^^' et Ayy' sont semblables, et l'on a D'où '
El la formule (6) prend la forme
Supposons que le point A tende, suivant le rayon, vers un point o) du contour, et que w soit un point de discontinuité pour la fonction donnée /(6). Posons donc
Iiin/((o-+-e) = /j Iim/(ai — e)=/i
Prenons, autour du point w, deux arcs (o,(i) et wwj qui deviendront infiniment petits.
Faisons usage, pour la portion principale du cercle, 0)3 C0|, de la formule (7). Nous avons, y étant bornée, une intégrale qui tend vers zéro lorsque le point A tend vers le point w.
Puis employons la formule (7) pour la portion du cercle voisine de co, (i)|C0(02. L'arc coico donne un terme qui tend vers 7t/i quand Aw tend vers zéro. En effet, la variation de l'arc y^ tend vers it, dans ces conditions. Et Tare towa donne ic/j, pour les mêmes raisons. Donc, lorsque A tend vers un point de discontinuité, W(a, b) tend vers la demi-somme "^ — ^ (*).
Unicité de la solution. — Nous voulons maintenant prouver que la solution du problème de Dirichlet est unique, avec certaines restrictions.
Soit un contour fermé simple C et une fonction harmonique
(^) Si le point A tend vers (a suivant une direction A qui, prolongée, coupe le cercle au point Q; soient ic d= <t> les deux arcs ((>>û); W(a, b) tendra vers
prenant sur C des valeurs données. Soient A un point intérieur à C et r un cercle intérieur à l*aire (C), ayant A pour centre et p pour rayon.
On a
Va=-^ Ç\ds,
d'après la formule de Poisson.
Si le point A correspondait à un maximum AeXa fonction V(j?,j^), on aurait sur la circonférence F
p étant assez petit.
D'où
V<Va.
c'est-à-dire
Jvds<Jvj,ds,
-!- f'Vds<\j,,
Il y a là une contradiction qui ne tombe que si le point A venant sur le bord C, il devient impossible de tracer le cercle F, intérieur à (C). D'où celte proposition :
Soit une fonction harmonique à l'intérieur de Vaire (C), le maximum et le minimum de la fonction ont lieu sur le bord C.
Soit donc C un contour fermé simple, sur lequel la donnée V est continue.
Montrons qu'il ne peut y avoir plus d'une fonction harmonique continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres à l'intérieur de l'aire (C) et prenant en tous les points de ce contour une succession donnée de valeurs.
Nous supposons que la succession des valeurs données sur le contour forme une suite continue. Désignant par Vm la valeur donnée (continue) en un point quelconque m du contour, nous disons que la fonction Y{x, y) tend vers V,« quand le point (ar, y) tend vers le point m d'une manière quelconque, en restant à l'intérieur du contour.
En effet, s'il existait deux fonctions jouissant des propriétés précédentes, leur différence U satisferait encore à l'équation de Laplace et s'annulerait en tous les points du contour C. Dans ces
a4o CHAPITRE IX.
conditions, elle devrait avoir au moins un maximum ou un mî* nimum à l'intérieur du contour, mais cela est impossible, d'après ce que nous avons vu précédemment. La fonction U est donc identiquement nulle.
Applications. Maximum du module d'une fonction holo- MORPHE. — Soit donc V{x, y) une fonction harmonique (dont les dérivées secondes sont continues), les courbes U(a7, j^) = consl. ne sont pas fermées.
S'il y a une singularité^ par exemple pour U = .Qr, alors, au contraire, les courbes U = a peuvent être fermées.
Soit maintenant une fonction holomorphe
/(^) = U-+-iV
dans un contour fermé simple C.
Les courbes U = const. et V= const. forment un réseau or/Ao- ^o/ia/ (c'est immédiat).
U| et U]| sont les courbes correspondant au minimum et maximum de U, relativement à l'aire (C) {fig. 34).
Fig. 34.
De même V, et V^, correspondent aux extrema de V, dans l'aire (C).
Le maximum de 1/(^)1, dans un domaine^ a lieu sur le bord de ce domaine.
PÉRIODE DES INTÉGRALES. FONCTIONS PÉRIODIQUES. a4l
Posons, en effet,
Oz est holomorphe tant que /s est holomorphe, à condition que/, ne soit pas nul.
Dans (G), isolons donc les zéros de/z par des cercles de rayon assez petit.
Ce n'est sûrement pas dans l'intérieur de ces cercles que \/z\ sera maximum.
Soit (G) l'aire ainsi obtenue, après l'isolement des racines.
Dans (C), Oz est holomorphe et l'on a
c^(<p5) = X|y, I (logarithme arithmétique).
Donc la fonction W = 4^|/a| a son maximum sur le bord C, puisqu'elle est harmonique.
Donc \/z\ a son maximum sur C.
Le minimum, bien entendu, correspond à un zéro, et peut être à l'intérieur.
Ceci est capital pour la théorie des fonctions entières.
Le maximum du module^ sur un cercle de rayon R est une fonction M(R) croissante.
On connaît aujourd'hui des relations entre la fonction M(R) et la densité des zéros de la fonction entière.
Nous donnerons une idée de cette doclrine.
Démontrons, auparavant, un théorème très intéressant.
Théorème sur le plus petit maximum. — Nous allons résoudre le problème suivant (') :
Parmi toutes les fonctions sjnecliques dans un cercle de rayon R, ayant pour zéros a^, a^t ..., a» dans ce cercle, prenant la valeur A pour ;; =: o, quelle est la fonction dont le maximum du module est minimum?
Soit a\ le point conjugué de ah par rapport au cercle C de rayon R
( ») Note de MM. Carathéodory et Féjer, Comptes rendus de V Académie des Sciences, 1907.
24a CHAPITRE IX.
Posons
Soit/j la fonction étudiée; posons /= Q.o. ç^ sera synectique dans C et Ton aura
Sur la circonférence de C, on a | Q | = constante ; d'où
aj as . . . flf,|
D'où
max |/(Re'^) | = p max | ©(Re'"ô)|.
Mais le maximum de cp, sur C, est ^y(o); d'où max|/(Re'^)|i:A : p.
La fonction donnant le plus petit maximum est donc :
Théorîîme de m. Jensen. — Parlons de l'intégrale logarithmique de Cauchy en prenant ©2 = •C(-) (p» io3).
Cette fonction est holomorphe si nous traçons une coupure arlificielle, de o à oc.
Prenons un cercle C de ravon /•, à Tintérieur duquel une fonction méromorphe fz aura «i , «a, . . ., am pour zéros et 6| , . . ., bn pour pâles. Prenons un petit cercle y, ayant, comme C, son centre à Torigine et soit A la coupure partant d'un point de y, aboutissant au point réel -h r sur C, et évitant les points a et ù,
La branche du logarithme est choisie telle qu'au point + r on retrouve le logarithme arithmétique J^r,
Nous avons
le contour K étant formé par y, A, C.
Faisons une intégration par parties, nous aurons
/of.. = o.«-/<:/=ï-
Quand on décrit le contour K, en partant du point + /• et en y revenant, ^z reprend la même valeur au retour et J^/z est accru de la quantité 2Tzi(m — n) (d'après l'intégrale logarithmique de Cauchy où Ton ferait o^^i). Supposons /(o)= i, d'où ^/■(o) = o.
La fonction ^^ sera holomorphe dans le cercle y, qui ne renferme aucun point critique et son intégrale, suivant les deux bords, de la coupure A. est nulle; d'où
et nous avons Hnalemenl Prenons les parties réelles
Oi . . . Un \ * *' «/q
Soit une fonction entièrej on aura /i = o, d'où
Si M {r) désigne le maximum de \fz\ sur le cercle C de rayon r, on a donc
|a,^j...a,„| Si les modules \ak\ sont rangés par ordre de grandeur, on aura I ai «î . . . a,n I < I a,n |"S
Nous voyons ainsi comment on trouve des relations entre les modules des racines et les maxima des modules des fonctions entières sur des cercles.
VII. Le genre et Tordre des fonctions entières. — La découverte par Weierstrass des facteurs primaires (Cliap. IV) a été
Torigine de toute une science nouvelle. Bornons-nous à quelques propriétés élémentaires.
1** Genre, Ordre réel. — Posant
la forme générale des fonctions entières est celle-ci : F.= «c..x«I];[(.-£)eO.],
Gx élant aussi une fonction entière et le nombre o) relatif à Tindice n étant en général fonction de n.
Si G est identiquement nul, on dit que la fonction est ca/ionique. Si G est un polynôme de degré k et si les nombres g> restent toujours bornés, appelons p le plus grand des nombres k et (i>; p est le genre.
Prenons maintenant les zéros; soient A|, Aj, A3, ... leurs modules, rangés par ordre de grandeur. S'il existe un nombre fixe entier q tel que la série
diverge^ tandis que la série
converge, nous savons déjà (p. 80) que nous pouvons prendre
o) = y = const.
De plus, il existera un nombre p compris entre q ei q + 1 tel que la série
diverge ou converge suivant que le nombre arbitrairement petit e sera pris négatif ow positif .
Ce nombre p est Vordre réel, et l'on a
PÉRIODB DES IZ>rrRGRALES. FONCTIONS PÉRIODIQUES. iiS
Rappelons maintenant une propriétë des facteurs primaires qui a été établie (Chap. II).
On a
Ceci est dû à M. O. Blumenthal.
On peut établir une propriété voisine de celle-là, lorsque le genre p est Jîni.
C'est ce que nous allons faire (*).
Lorsque |tt|est très grand, |«/|''+* est beaucoup plus grand que \u\P^ etc. et \u\ est beaucoup plus grand que 4^| u\.
Les rapports sont infinis avec \u\.
On a aussi, pour |a|<^(X),
Il I «** I I w'' I I «'' I
On en déduit de suite, si a est supérieur à p,
Il existe donc un nombre R tel que, pour |«/| >R, on ait
(1—^)6^"*" ^'^""^ p |<el"l'.
Écrivons maintenant, en supposant |£/| < i ,
