L(« — ")«* « A^J =— if H-if -h
Le module de ce logarithme sera moindre que
p-^i ^ '* ' * ^ />-i-ii — |a|
Supposons |w| <)w<; i,ce module sera moindre que A|a|'''*'*, a /o/Viori moindre que A |m|«, A étant un nombre borné, fonction de X, ayant posé p <.0L^p -\-i.
(I) Citons les travaux de Laguerre, H. Foiocaré, M. Hadamard, M. Picard, MM. Borel, Blumenthal, Wiman, LindelOf, P. Boutroux, Denjoy, Mattson, etc.
Maintenant, pour X ^ | w | < R, X et R étant donnés^ on peut trouver un nombre B tel qu'on ait
|Ep(u)|<c«l«l«.
Appelons â le plus grand des deux nombres  et B et nous avons
\E,{u)\<e^\-\\ quel que soit \u\.
Module d' une fonction entière canonique. — Étudions alors une fonction canonique
f-n^'ir}
Soit p le genre (fini), soit p l'ordre réel.
Premier cas, — La série
converge.
On a donc
Prenons donc a = p et décomposons y en deux parties
Pj^ comprend un nombre borné de termes.
Soit donné e arbitrairement petit, le plus grand exposant dans l'exposant de E^ étant p<pî on peut fixer un nombre r assez grande de sorte qu'on ait
|P«|<e6'^ pour \x\>r.
Etudions R>,. Nous pouvons supposer l'entier N choisi assez grand pour qu'on ait
la série considérée étant convergente.
: Nous avons donc . -
I/c|<€"'•^ pour \:r\>r.
Second cas. — La série
divergé.
On a donc nécessairement
Prenons un nombre e assez petit ; on aura encore
Nous savons que la série
converge.
Nous prendrons alors a = p -h £ et nous aurons immédiatement, en écrivant encore /x ^ P.^ . Rn?
\M<er'^^'\ pour \x\lr\
Et nous avons ce théorème :
Soit p V ordre réel d'une fonction canonique et soit e un nombre arbitrairement petite on peut fixer un nombre r assez grand pour qu'on ait
\fx\<e''^^\ pour \x\^r.
Si la série
coni^'erge^ on a, de plus,
|/c|<e«'•^ pour \x\>r.
Nous avons ainsi donné une idée des problèmes qui se posent dans cette théorie toute récente : limitation du module de la fonction^ d'après la limitation des modules des coefficients et inversement; expressions asymptotiques, etc.
Etude du module. Second problème, — Nous avons obtenu des inégalités fournissant une majoration du module d'une fonction entière; maintenant, cherchons, inversement, une minoration.
Cela nous montrera la complication du phénomène de la croissance des fonctions entières.
Nous prendrons une fonction de genre p=o et à^ ordre réel
Établissons quelques lemmes :
Lemme I. — Soit une série convergente
quelque petit que soit le nombre c >► o, on aura, pour une infinité de valeurs de /?,
En effet, d'après une proposition concernant les séries positives (t. I, p. 47), on a
la fonction a)(/i) devenant infinie avec n. D'où
rnu{n) D'ailleurs, les séries
2ànw{n) ^^ 2à7r£:ji
sont, l'une convergente, l'autre divergente. Il est donc impossible que l'on ait, quel que soit n > N, nombre fixe,
ou bien
rnij(n)
/iX/i
Donc il existe une infinité de valeurs de n pour lesquelles on a
D'autre part, pour n > N' (nombre fixe), on a
Reportons-nous à (a) el le lemme exprimé par(i) est prouvé. Lemme 11. — On a, pour o <C.x <C i , {inégalité
Cette inégalité s'obtient immédiatement par la construction des deux courbes
Onauraj^ = z, pour :r = a, nombre compris entre i et 2, et, entre zéro et A, on a j > z. C'est immédiat.
Lemme 111. — Soit une série positive^ à termes décroissants^ com^ergente^
en peut trouver un nombre r, arbitrairement grand, et tel que Von ait, quel que soit /i,
En effet, sur Taxe Ox^ que nous nous représenterons par un irait rouge^ marquons en bleu tous les segments
(Ap— I, Ap-Hi) (/? = i,2, 3, ...,/i).
La portion bleue aura une étendue ^ 2 /î. D'ailleurs, pour nr^œ, on a
(théorie des séries, t. 1).
On peut donc trouver un nombre r, arbitrairement grand, dans la portion bleue. c. q. f. u.
a5o CHAPITRE IX.
Soit maintenant la fonction du genre zéro et d'ordre réel p < i,
étant donné e > o, arbitrairement petit, il existe une infinité de cercles j de rayons indéfiniment croissants, sur lesquels on a
Vinégalité
Démontrons ce théorème. Si e est pris assez petit, on aura
r est choisi de façon à satisfaire : i" à Tinégalilé (4), et 2** à celle-ci :
On a posé A^ = | a^, | ; N est déterminé par la condition (7) A><ar<A>-^i
et rinégalité (6) est possible puisque la série
est convergente (*).
Posons
/(^)=fIxJJsPNRN,
1 N-Kl
et étudions | P^ | et | R,^| sur le cercle de centre O et de rayon r ; nous avons
i^»isn^>n^î(K)'
d'après (4). et finalement, d'après (7) et (6),
(8) ipm|>^-'*'''"-<:'«'».
(*) Si la série Vl-r-) converge, on peut établir l'inéçalilé (pour une infinité le valeurs de /) :
PERIODE DES INTÉGRALES. F07ÏCTI0NS PÉRIODIQUES. ï5l
Eludions Rj)]. On a
pH-Ell,
et rinégalité (3) peut donc s'écrire
(9) i-u>e-««^^' ^pouro<M<iV
Pour l^?! = /' et ^ >N, on a de sorte que Finégalité (9) sera utilisable. Elle donne
en posant
tiB"-
A cause de la convergence de la série, on a
2ac.N<A,
Dombre borné, ce qui donne
(10) IRîj|>ô-Ar^-''.
Employons les relations (8) et (10); remarquons que l'on a, /* étant pris assez grand,
2p-»-6£(2r)-h A <re;
changeons 2e en e et nous obtenons le théorème (5), pour une infinité de valeurs de r ( * ). c. q. f. d.
2" Ordre apparent. — Avant de définir ce nombre, établissons un lemme.
Reprenons l'inégalité (J) du n° VI de ce Chapitre. Supposons
(') On étend ce théorème aux fonctions canoniques de genre quelconque, par l'artifice de Laguerre. Soit w une racine (/? -h i )•*""• de 1, on étudie la fonction
25l CHAPITRE IX.
la fonction V étant croissante ainsi que la fonction ^ (r) "=. rV (r), avec la condition V (o) = o.
Cherchons le minimum de e^^''^ : r^\ on trouve ^(r) = /w.
Soit o la fonction inverse de tj^, on a
r=ç(m), V(r)= r'J^/nrfm, de sorte que le minimum cherché sera
©•(m) m rfm
On a donc, relativement à la fonction /(x)j en supposant toujours/(o)=i, l'inégalité
|aiaj.. .a,rt | et a fortiori
(12) .^^<T(mr.
Si la condition M (r)^e^^''^ n'est remplie qu'à partir d'une certaine valeur de r, les inégalités (i i) et (12) auront lieu à partir d'une certaine valeur de m.
Soit maintenant une fonction entière-dtJiî^le genre est fini.
En complétant un peu ce qui précède, on voit facilement qu'il existe un nombre jjl répondant aux conditions suivantes : quelque petit que soit s >- o, 0/1 a V inégalité
<i3) UirXer^'-^
à partir d*une valeur finie de r, et Von a V inégalité
pour des valeurs infiniment grandes de r. |jl est l'ordre apparent. Nous démontrerons le ihéorème suivant : l'ordre réel ne peut dépasser V ordre apparent.
Nous pouvons supposer /(o) = i car, si le premier terme du
développement taylorien était KxP^ on écrirait
f(x) = KxPFix),
et l'on remplacerait / par F.
Nous avons alors, en nous reportant au lemme qui précède,
V(r) = rlA+e,
•^ — r- m dm =
et, par suite, d'après la relation (12), on a
L'inégalité (i5) a lieu lorsque m est choisi assez grand, e étant donné.
Donc la série
converge pour £ > o, ce qui prouve le ihéorème.
Nous ne pouvons donner une idée des problèmes qui se posent dans cette théorie toute récente.
Renvoyons aux livres classiques de M. Borel, de M. E. Lindelôf (*) et de M. Blumenthal, en notant que ce dernier semble nous ramener aux méthodes relatives au domaine réel, évolution très intéressante.
y III. Application. — Équations différentielles linéaires dont les coefllcients sont des polynômes ; méthode de Laplace. — Les in tégrales complexes servent fréquemment pour l'intégration des équations différentielles. Montrons comment.
Laplace emploie la transformation suivante. Il pose
^ dSy
(*) E. LiNDELÔP, Acta SocietaUs Scientiarum fennicœ^ l. XXXI, 1902.
l'intégrale étant prise suivant un chemin complexe, et il ramène l'équation d'ordre quelconque à une équation dont Mordre sera le degré maximum des polynômes coefficients. Bien entendu, il faut choisir convenablement le chemin A.B.
Rappelons les formules d'intégration par parties :
rUrfV = [UV]- TvrfU,
rUV'»-^»rfx = [UV«]--fU»V«-i]-H...-+-(— i)«[U''V]-h(— 1)«-^» TvU'^-^idjT.
On a, y"^ désignant la dérivée d'ordre m en j: :
xy = f\z(3: e-^) dz = [V. e-' J — f^ e=' dz,
y^=Jy,ze'''dz,
xy'^= Cz Vc(:r e=*) dz = [^V, e'^'] - T^^^ e-^ dz, • î
ym— j\ ,zfn e-' dz,
— r rd(z'^\)
xy"'== I z'f'\.(Te^')dz =[z"'\ze='^]— I -^ ' e-^ dz.
On calculera de même
xPy, x/\y~^, ..., xPy'»'^.
Suivons maintenant l'idée de Laplace et prenons, pour simplifier l'exposé, une équation de la forme
(ao-f- bQx)y'^-^(ai -h ^>i x)7'«^-t-. . .-h (a,;i-h 6,„ar)j' = o.
La transformation donne
R, P et Q désignent des polynômes.
Annulons séparément les deux termes.
PÉRIODE DES INTÉGRALES. FO>XTIONS PÉRIODIQUES. t255
' D^abord, annulons la fonction sous le signe, en posant
as
iP et Q ont le même degré^ donc en décomposant en éléments simples, on aura, en supposant les racines distinctes,
-- = ( K H ' h . . . ) rfz,
V = C «K=(S — W,y'.(5 — Wj)/'i ... (5 - («);„/'«..
Telle est la valeur de \ ,
Supposons que les constantes //| et A2 aient leur partie réelle positii'e. Prenons A = Wi et B = a>2 ; nous aurons
donc nous aurons une intégrale parliculicre.
Plus généralement, soit Q| un lacet décrit, autour de a>«, avec une origine arbitraire, et soit Û', ce même lacet décrit en sens inverse. Nous pourrons prendre pour chemin d'intégration Alî une combinaison de lacets telle que OiQ^Û'iû.,, etc.
On peut encore prendre pour chemin AB un chemin parlant de l'infini et revenant à l'infini, un lacet partant de — x et y revenant, le long de l'horizontale passant par C0|.
L'intégrale
a un sens si l'on a
p -h a > o, en ])Osant
De plus, le terme complémentaire s'annule.
Si l'on avait, au contraire, p -f- w << o, on formerait le lacet partant de H- ao et y revenant, le long de l'horizontale passant par (i)|.
256 CHAPITRB IX.
Supposons maintenant que (i>i soit une racine double^ on a alors
Nous avons toujours une intégrale, formée avec le lacet allant à Tinfini, mais il faut, en plus, retrouver l'intégrale particulière correspondant au chemin joignant deux racines, quand ces racines sont confondues. Étudions ceci.
Posons
5 — o), = r e^, /lo = R «'^,
^" = - [cos(X — 6) -+- t sin(X — 6)].
Nous avons une région^ autour de tO|, définie par la condition
cos(X — 0) < o,
telle que V tende vers zéro quand z — o), tend vers zéro, en restant dans cette région. En prenant un chemin fermé, autour de cOf, formant, en (0|, une pointe située dans ladite région, nous aurons encore un chemin fournissant une solution particulière de Téquation.
Equations à coefficients constants. — On peut, par la méthode de Laplace, retrouver les résultats élémentaires connus sur les équations différentielles à coefficients constants. Soit
bQ= bi = . ,. = o.
Soit Iz le polynôme caractéristique d'Euler,
Nous aurons ici R ^ o et il faut annuler
e^'VArfc.
L'intégrale est nulle si nous prenons un contour fermé à l'intérieur duquel la fonction V^A* soit holomorphe.
Prenons un contour C entourant une racine simple s de Ai = o.
Od aura
