V-As= Ha (fonction holomorphe

H', étant holomorphe. Posons

z — s = h et développons

,, , r hx (hx)^ 1

D'où le résidu

d'où

y = I \ e^'^ dz = 2i:ip e^'.

Nous retrouvons la solution e^^.

Prenons maintenant un contour C entourant une racine multiple d'ordre p\ nous avons alors

H' étant holomorphe. Développons encore

r hx (hx)P-i 1

gZJT = e^X , , h ... H ; — h . . . .

L ' [p^zi J

D'où le résidu

[X XP-i 1

Nous retrouvons la solution (*)

e^'( Ao -f- A| J7 -4- . . . -4- Xp^ixP-^ )

correspondant à une racine d'ordre p.

Équation de Bessel :

xy" -f- ( 2 /i -h I ) j^' -+- xy = o, n = a-\- ib.

(*) A„ Ap ..., A , sont, bien entendu, p constantes arbitraires, donc nous avons obtenu p solutions.

On peut supposer a^o, car, si l'on pose .V = ux"^"^ réqualion en u est celle en j' où n serait remplacé par — n. On aura la solution

On peut prendre, pour chemin AB, une suite de deux lacets, le premier, dans le sens positif, autour de -4-/; le second, dans le sens négatif, autour de — /.

On peut prendre un lacet, allant à Tinfini, autour de -+- £ ou de — I .

On peut, aussi bien, prendre A = f , B = — i, en suivant la ligne droite. Posons alors z = i À, on aura

ou encore

dont on obtient immédiatement le développement taylorien (*). Pour une étude approfondie, nous renvoyons aux Traités de M. Picard et de M. Goursat.

(*) H. PoiNCARK, American Journal of MathematicSy t. VII, et Acta mathematica^ t. VIII.

E. Picard, Traité d'Analyse^ t. III.

Note de M. Sehge BERNSTEIN.

De tous les développements connus, ce sont certainement les séries de Taylor

qui sont les plus simples et les plus maniables. Mais, malheureusement, ces développements ne sont applicables que lorsque la région, où Ton étudie la fonction qui, d'ailleurs, doit être supposée analytique, est un cercle. On sait bien former des développements valables dans d'autres régions, mais ces développements ne jouissent pas, en général, de la propriété fondamentale des séries de Taylor que toutes les opérations analytiques efTecluées sur elles terme à terme (addition, multiplication, différentiation et intégration) conduisent à des séries de même nature. Si Ton veut construire des développements jouissant de celle propriété et applicables aux fonctions non analytiques aussi bien qu'aux fonctions analytiques régulières dans des régions quelconques, on est conduit naturellement à envisager les développements multiples d^ordre ^^^^^^^'^^u^ ^^ ^^ foriire

^^^Xp^^^,(x - a)P(x - b)v{x - cY

qui supportent les opérations mentionnées sans changer de nature. L'élude de ces séries n^a été faite jusqu'à présent que pour le cas de deux indices, qui est le plus important. On donne alors à la série double

supposée absolument convergente sur le segment ab^ le nom de série normale sur ce segment (page i34).

26o SKRGE BRRNSTEIN.

I. — Développement en séries normales des fonctions de variables réelles.

1. Théorème. — Si la fonction / {x) de la variable réelle x admet une dérivée finie et continue sur le segment oi^ elle est développable en série normale sur ce segment.

i'* Supposons d'abord que /(a*) admel une dérivée seconde. On pourra alors appliquer la formulé ('), pour oSx^ i,

/(a:) = i r /Va)|x-a|^aH-A-hBjr,

dont on vérifiera Texactitude en la difTérentiant deux fois; pour déterminer les constantes A, B, on fera xz=zo et xzzzi^ ce qui donne

Et puisque

.j//'(«)(^ + «)^«=:^[/'(0(i + ^)-"/'(o)x]-^/(i)+I/(o), on aura

Remarquons, d'autre part, que (*) (3; \x — a|=-+- y/a*-»- x*— iix

= -+-/i-Ha* — {i — X^-\- '2.7.x)