A — 3) / i — ar«-f-iaar

(') Cette formule que j'avais obtenue comme limite d'une formule d'interpolation rectiligne dans une Note : Sur V interpolation {Bulletin de la Société mathématique de France^ i9o5), résulte aussi de la formule de Grcen généralisée par M. Hilbert : Grundziige einer allgemeiner Théorie der linearen Intégralgleichungen (Zweite Mitteilung : Gottingen Nachrichteny 1904).

(') Voir BoREL, Leçons sur les fonctions de variables réelles^ p. 60.

SUR LES SÉRIES NORMALKS. tîGl

la série (3) étant absolument et unifornuément convergente tant que

S i ; donc, en particulier, pour o5|^|l i, oSal i,

qui sont les seules valeurs dejr et a que nous ayons à considérer.

Par conséquent, en décomposant chaque terme de la série (3) en une somme de termes de même signe au moyen de l'identité

(i— arî-h2aar)*a= ( i — :r')*-h A-.2ax(i — ar')*->-f-. . .-4- (aaa?)*,

j? étant positif, on la transformera en une série à double entrée absolument convergente

<4)k-ai=ATïir.-^i^)-^-2fB,.,-''(.--*4

.3...[2(/>-hy)-31

De même, en remplaçant x par — x, on aura

x-\-(x = v/i 4-a* donc

///.• X la: — a|-4-ar4-a i^Ols) -! ! =v'l

l'exposant p ne recevant que des valeurs paires. Mais une série absolument convergente sur oi

est identique à la série ^^ bp^qXP{ï — x)^^ absolument convergente et par conséquent normale sur le segment ci, dans laquelle les ît 6p,^rz=Bp,^ -h^Bp,,^4- ... +Bo,^. Cette

coefficients b

remarque étant faite, nous allons conserver le développement (4 bis) et l'introduire dans la formule (2).

On aura ainsi

X v/i H- a« doL-h/ii)—f(\) -¥- xf'{o),

362 SERGE BBRNSTEIN.

et, en intégrant terme à terme la série absolument et uniformément convergente, on trouve

pzso <7=o

Ap,^= o

(/>pair) (/> impair)

1 r\n^)dx

OLP doL

(i-haî)'

Ao.o= f /'(a)(n-a«)^6fa-f-/(i)-/7i).

Nous avons donc obtenu un développement normal de la fonction /(j?) deux fois dérivable. Avant d'aller plus loin, nous pouvons remarquer, en passant, que la condition nécessaire et suffisante pour que la courbe yz=f{x) [/(^) étant deux fois dérivable] soit convexe est que tous les coefficients k\i.^g {k-\-q^i) soient négatifs; on pourra vérifier également, comme exercice, que si un des coefficients Aj;t,^(Ar-f-<7^i) est nul, tous les autres étant non négatifs, tous les A', jt, ^ {k-^qli) seront nuls et la courbe sera une droite.

Sans insister sur ces propriétés, dont nous n'avons pas à faire usage, transformons les formules (5) en intégrant par parties :

r.ZIl),/V'(a). — =^-,1

La ' (i-+-aî) »J

(5 his)

Ai,,=

A'o,.= [/'(•) (/îi- 0-/(0) + /(i)-jr/'(«)rf(i--a')'l-

Or, en verlu de la formule (3), où l'on aura posé az= o, il vient

et, en vertu de la formule (4 bis), où Ton pose a = i, il vient

On aura donc finalement

où

(/)pair) i(P+9>o),

Ap,y=o (^impair) I

A..0 =/(!)- r /(»)rf(i + a«)i

20 L'égalilé (6) n*est établie jusqu'à présent que pour les fonctions deux fois dérivables.

Mais nous pouvons écrire a priori le développement normal dont les coefficients sont donnés par les formules (7), en supposant seulement que f{x) admet une dérivée première finie et continue. Nous allons démontrer que^ dans ce cas, le développement

(6 bis) F(x) = \ V Ap,ya7/'(i — a:î)7

sera aussi absolument et uniformément convergent, et nous en déduirons alors facilement que la fonction F (x) qu*il représente est identique kf{x).

Soit

le reste de la série des modules de F (jr), où

en supposant mit.

Or, lorsque a varie de o à i,

)rf

aA»

atteint son maximum

P. P ^^ égal a ^--i^: 1 1 — pour a = (

p-^^g^lj

Donc, en désignant par M le module maximum de/'(^), on a .■3...h(/>-^V)-31M

OLP