hy)~3]M pUp-^'?.q — if
aM[2/> + ay
-,. ©ïf--0'
Posons ensuite
et remarquons que, n étant un entier positif, on a
(«) ZCJar/'(i — a?2)7= [a:2-+- (i — .r»)]" = i,
si Ton prend toutes les valeurs entières non négatives de /?, q, telles
p que - -l-<7^= n.
On aura d^abord
|Ap,,|<2C» M
\'^ / (/> + ?--) et, en appliquant la formule de Stirling (t. I, p. i^Q))
/i!= n'»e-'»/Iït7î.cp(/i), [i<«(/i)<e««J.
I A^,^| < 2XMC; \2l
^ , r.{p--r'iq)
= c-aMC? ^ -é/——! — -,
X<ev
Donc
I A,,,, 1< / ' mc;î /— — — — -i ;
€l, à cause de régalité (8), on aura
-en prenant toutes les valeurs entières de pj 7, telles
Par conséquent»
Mc"« M
La série (6 6«) est donc absolument et uniforménrient convergente.
Or, étant donnée une fonction /(^) avant une dérivée première finie et continue, on peut former une suite de fonctions /„ (j:) deux fois dérivables qui tendent uniformément, ainsi que leurs dérivées premières, vers /(^)et/'(a:) respectivement. [On pourra prendre, par exemple, comme fonctions approchées, des lignes brisées inscrites dans la courbe ^=/(x), dont les sommets seront arrondis par de petits arcs de cercle tangents.] Les fonctions /„ (a:) seront développables en séries normales (6)
Mx)= 2 ^^'p':,^'(^-^^)''
p — ù tf — O
ses coefficients étant donnés par les formules (7), et
A' étant un nombre fixe et En le maximum de )/' (x) — f„ {x) |, qui tend vers zéro par hypothèse; donc
F(ar) =Um/n{x) =/(.r). c.q.p. D.
2. Généralisation. — Une fonction continue quelconque est déi'eloppable en série normale.
Pour établir cette proposition, nous admettrons le théorème de Weierstrass, diaprés lequel une fonction continue quelconque est développable en une série de polynômes absolument et uniformément convergente (t. 1, p. 288),
(10) f(x)= Mo(ar)-h Ui(x)^...-r- Unix) -h..,,
OÙ Ton* peut supposer, pour fixer les idées, | Un {x) \ <— > pour/i>o* Ceci posé, nous allons résoudre le problème algébrique suivant :
Mettre le polynôme
sous la forme
p=o 7=0 de telle sorte que le maximum, de
soit aussi petit que possible (o5j:£i). Nous pouvons appeler ce nombre le maximum normal de degré m^ nà\x polynôme P (^r).
Le fait remarquable que nous allons découvrir est que le maximum normal de degré m d'un polynôme quelconque P(x) a pour limite^ lorsque m croit indéfiniment, le maximum du module de
P{x)y {Oixj,!).
Il est clair que, si cette afOrmation est exacte, il suffira d'effectuer sur chaque terme Un de la série ( lo) la transformation conduisant au maximum normal d^un degré m assez élevé,
p + ff = mn
u. = ^^\'^':,xP(i-a^)'>,
p = <7 = o pour que la série
p = tj = p = q q = o
ao ab
soit absolument convergente, et, par conséquent, normale. On pourra même prendre les nombres m assez grands pour que
diffère aussi peu que Ton veut de la somme des maxima des modules des termes de la série (lo), et si cette série (lo) a été convenable-
268 SBRGE BERNSTEIN.
ment choisie, on pourra aussi rapprocher le maximum de la somme 22 I Ap.y I ^'^ ( I — œ)f autant qu'on le veut du maximum de |/( J:) |.
Or, la résolution du problème posé résulte immédiatement de la remarque suivante :
Soit
et
L = maximum de \^ 7^ I ^/j.7 1 37/^(1 — x)"!. pz=o <7=o
Je dis que, si Ton remplace chaque terme ap^pXP{i — x)f dans lequel p -h g = m — A:(A>o) par
ap^fjXP{\ — a:)7 [a: -h (i — a:)]*'
la transformée de P(j?) que Ton obtiendra
P(x)= 2 àp.n^n^-^)'' sera telle que
L| = maximum de ^ I^/'.çI^^'Cï — x)^S,\j.
p + q ssm
En effet, avant la réduction des termes semblables, le maximum de la somme des modules reste le même, car chaque terme est remplacé par une somme de termes de même signe; mais la réduction des termes ne pourra que faire diminuer la somme des modules. Par conséquent, les conditions les plus favorables, dans lesquelles on pourra se placer pour diminuer autant que possible le maximum considéré, seront de ne prendre que ceux des termes
ap^qjcP ( ï — x)'^ (P'^q = m),
pour lesquels p -\- g z=z m. On devra donc mettre le polynôme donné
F (a') = rtrtX" +«n i x"~* -h . . . -+- «0 sous la forme
A,rtT"«-h A„i ix'"-'(i — ar) -f-.. .-h Ao(i — x)"^. L'identification A;„ a:'" -H A„i i :r'«- » ( I — a: ) -h . . . -h Ao ( I — a;)'" = a„ a:'» -f- ai,i a:"-* -t- . . . -f- a©
conduit à (m -4- i) équations linéaires qui déterminent les (m 4- i) coefficients Aq, . . . , A^^, :
/ Ao = Oqj Al — /nAo= ctif
\ A;,,— A,„i-f-...-4-( — i)'"Ao= a,„,
où ajfr=o, si ^> Al.
Donc
,' Ao= a©, Al = ai H- mao,
Aj= aiH-(m — i)aiH aj,
A*= a* -h CJ,jt4.iajt-i-H. . .-h Cj;,ao,
A,« = a,rt + a,«i -h . . . -4- ao.
Les formules (i3) peuvent aussi être tirées directement de l'identité
a^ar^-h. . .-+- aïo^H- ao= a,ia:«[a7-h (i jr )]"»-«-+-. . .
-f- axx[x -4- (i — x)]"»-» -h ao[r -4- (i — a-)]"*.
Quoi qu41 en soit, les formules (i3) résolvent le problème posé : le module normal de degré m du polynôme donné sera
N = maximum de \^| Ait |j?*(i — :r)"«-*.
Mais, fi m croît indéfiniment {n étant fixe), on a En effet,
/• kik-i) k /ky '""Â
= aoH ai-] ; ^a,-h...= aoH «i -4- ( - aj
/Il m {m — I) m \mj
Deux cas sont à distinguer.
^yo SERGE BERN8TEIN.
Premier cas : k est un nombre fixe; le second membre est alors une somme d'un nombre limité de termes qui, sauf le premier, tendent vers zéro. On a donc
lim ^=ao=P(o) = p(^).
Deuxième cas : X croît indéfiniment; alors chaque terme du second membre a pour limite «j ( — J > et le nombre de termes étant limité,
le second membre aura pour limite
aQ-hai h.. .-4- a,i( — ) =P( — )•
Donc, dans ce cas également,
m = «Gj, \nij
Par conséquent,
où t'^iil tend vers o avec — > quel que soit A". Mais alors
2|AA|ar^(i-:rr-^ = 2|p(^) + ^ii'
< f M -f- a) V Cj^a-^d — 3:)"*-**= (M 4- a) [a: -h (i — x)Y^ = M H- a,
où M est le maximum de | P J et a un nombre qui tend vers o
avec — (M. c. Q.F. D.
Remarque. — On pourrait aussi arriver à la même conclusion, en appliquant la formule
(i5) /(^)= Hm^2-^(i^)^*''^''^'~'^^'""'''
valable pour une fonction continue quelconque, qu'on peut établir
(') On vérifiera aisément que a < — » où ,Q = | a, | -+-.. .-t- (/i +i)* |a„|.
directement par des considérations analogues à la démonstration classique du théorème de Bernoulli dans le calcul des probabilités (*).
