FRACTIONS IMPLICITES. INDEPENDANCE DES PONCTIONS

X2=o. ..., ar,/=o, j^4 = o, ..., yp=zo. Sîde plus les /? fonctions // et les dérivées -^ s'annulent en ce point, le système

équivaut à celui-ci (au voisinage de rorigine) :

Cette solution est unique et les fonctions o sont nulles à Torigine.

Nous supposerons /i et —^ continus quand on a

et nous supposons a et b assez petits pour qu'on ait encore, avec G <c K < 1 :

nous formons alors la chaîne d^ approximation y,»> =/i(^i, ..., a:«, o, o, .... o),

Il faut prouver la convergence des suites

Mous ne développerons pas la démonstration, la méthode des approximations successives étant suffisamment connue maintenant.

Rappelons seulement qu'on fait usage de la formule des accroissemenls finis.

Passons au cas le plus général.

Quatrième cas, — Prenons un système de la forme

F/>(^i. ar,, .•.,.r;,;7,,^r3, ..., r,,) = Oi

dont les premiers membres sont des fonctions continues^ et admet-

/il? •

tent des dérivées partielles -r-^ continues, dans le voisinage d'un

système de valeurs j:*'. jcJ, . . ., ^l', y% . . •» J^«î pour lequel on a

F, ^o, Ks = o, ..., Fn=o.

Ces équations admettent un système de solutions^ et un seuls

les fonctions ^ étant continues et tendant respectivement vers yj, yj, ..., y*^, lorsque le point (^i, ..., x,t) tend vers (j:®, ..., ^l) à la condition qu'en ce point Icjacobien Jo ne soit pas nul.

Le jacobien en (|uestion est ici

On ramène ce cas au précédent, d'abord en faisant un cliangement d'axes pour avoir

Soit alors rt/A- la valeur à l'origine de

Comme nous avons le système donné peut èlre écrit autrement. Posons

Nous remplacerons le système donné par le suivant

Regardant alors les 'l comme connus, nous résohons ce svstème