FRACTIONS IMPLICITES. INDÉPENDANCE DES FONCTIONS

linéaire par rapport aux^ et nous obtenons des solutions

Nous sommes ainsi ramenés au cas précédent avec toutes les conditions requises (*).

Continuité et dérivation des fonctions implicites. — I*ar lu théorie de la convergence uniforme des séries, on montrerait aisément que les solutions obtenues sont continues.

Nous pouvons alors très facilemeut étudier la dérivabilité.

\^¥{x^y) = o. Si, en plus des hypothèses faites, on suppose les deux dérivées F^ et F^ déterminées et continues, dans le domaine considéré, la fonction obtenue, jk(->p) est dérivable.

On a, en effet, deux accroissements correspondants, Ajr, A>',

vérifiant l'égalité

F{^-h Aa:, j-f- Aj') = o; d'où

V'j:(x -f- A:r, j') Aar -h ¥'y{x, y -+- Oj Ajk) Aj^ = o

(par le théorème des accroissements finis).

Si les dérivées sont continues, on peut passer à la limite, d'où

dx ^'y{x,y)

2** Cas général, — Prenons, pour simplifier,

F(jr, y\ u, V) = o, G(x, y; u, v) = o, D(F, G) ^^

Nous avons, comme précédemment, si les dérivées existent et sont continues :

^'-' {S -^ '-) -^ *" (£ -^ ^'.) -^^"Cë^ ^") = "•

(•) E. GouRSAT, Société mathématique de France^ igoS. J'ai fait une tentative d'extension de la méthode, pour le cas uîi le nombre des fonctions implicites est infini {Société mathématique de France, 1908).

s CHAPITRK I.

les e elTi tendant vers zéro avec Ax; d'où

(Kr ~ \}{t, V) * D( M, D *

II. Fonctions dépendantes et indépendantes. Jacobien. — Lorsque des fonctions se présentent, par exemple, coiume solutions d'un svstème diflerentieK il est urgent de savoir reconnaître si elles sont indépendantes, c'est-à-dire si l'on ne peut avoir aucune relation de la forme

les u étant regardés comme variables indépendantes ; autrement dit les j: ne figurant pas explicitement dans 4>.

Nous allons trouver des résultats qui généralisent extrêmement ceux relatifs aux fonctions linéaires, l.e j'acohien jouera un rôle capital.

Nous nous appuierons sur la théorie des fonctions implicites, qui vient d'être faite, d'après M. Goursat.

Lemme I. — Soieni des fondions w(jr, i\ z), f(x,^% z)^ iv(x^y^ z) dont le jacobien ne sanniiie pas : toute relation de ia forme : \du -r Brfr -+- Cdiv = o entraîne les relations

En effet, la relation donnée équivaut aux trois relations

» t^w m^àv , , âw ^ au ^ 011

A h B L -— = o, A ^ . . . = Cl, A . . . = u.

ojr ôr OJT a y oz

\ oici un svstème homogène, dont le déterminant ne s'annule pas : on a donc V = B = C = o.

Lemme IL — Soient des fonctions w, i", «r de x, y\ z dont le jacobien ne s* annule pas. soit une autre fonction tyx.y.z). qui s^exprime aussi sous la forme f{ w, %\ tv): si. par un moyen quelconque, on a obtenu une relation telle que

ttt = Vit II -^ i}d% -^ Rr/«i .

on a certainement

FRACTIONS IMPLICITKS. ÎNDÉPENDANCK DES FONCTIONS. 9

On a la possibilité, le jacobien n'étant pas nul, d'eicprinier .r, y, z en u, i\ (r; d'où

' = /(". ^y «'); d'oii

lit = fl, du -f- /^, dv H- /„, dw.

On suppose, d'autre part, qu'on a obtenu dt sous la forme

y du -\- Qdi' -f- Rdw.

11 en résulte la relation

(^ - A) du -^ (q — /!,) di^ -h ( R -.O div = o ;

d'oii : P=:/^, etc. d'après le leinnie I.

Il est clair que Ton pourrait prendre n variables au lieu de 3.

Théo R KM F. 1. — Soient n fondions w^, w^i •••> f^n de n variables Xi, X,, ..., Xn] s'il existe une relation u„=/{Ui, w^, ..., //«-i), le jacobien est nul.

En effet, on a en prenant n = 4, pour simplifier,

àu^ dui âut , ., duz

ôxx "" •'"» dx^ -'"« Ox^ -^ "• dxi '

àu^ ^, àUj dut ^, àUj

dxt -'"' àXi ^"* âxt -^ "• àxt '

Les dérivées y',^,/^,^, ... ne peuvent être toutes nulles; donc, le jacobien est nul, pour ce système homogène.

Théorème II. — Soient n fonctions W|, Wa, ..., u», de (n -\- p) variables Xi , x^, . . ., Xn^p ; pour qu'il existe une relation F(w, , «2, • • -j «n) = o, il faut et il suffit que les jacobiens des u, par rapport à n quelconques des variables .z*, soient tous nuls.

Prenons le cas suivant (les autres se traitent de nirme) : on a quatre fonctions

Ui=zFi{x,y, z, t), Mj=F„ «i=F3, 1/4 = F^.

Le jacobien d'ordre 4

\ dFi ÔV, OFf dFA l âx dy ôz dt ||

est /iw/, (|uelies que soienl les valeurs de x^y^ z^ tj dans un cer- Itiin domaine; et un jacobien d'ordre 3, par exemple :

dVj ôV,- oF,' ô.r Oy ôz

n'est />as identiquement nuly dans ce domaine.

Kn vertu de la théorie des fonctions implicites, on peut faire r inversion, d'où

X = <pi(Wi, Mj, M3, O,

5 = çj(ai, M», 1/3, 0.

d'où

Il faut voir que .1) étant nul, •!/ ne contient pas /, ou bien qu^on a

dt

Partons de Jj el bordons-le avec les différentielles, à droite, et en bas, par les dérivées partielles, symétriquement placées, comme dans le théorème de Rouché,

dVz

dV,, d¥, dV^ ,„ ox ôy ôz

ôVi

dFt

fîF/

„, cri'i . ov( j or i , ov i .

Ox

ôt

On a A EHO. En effet, A est la somme de quatre déterminants, dont les trois premiers ont des colonnes proportionnelles et le dernier est nul comme contenant J» en facteur.

D'ailleurs, développons A, nous avons

\, rfF, -h X, rfF, -f- X, rfFj -^ \, dV-, = o ou

diii= P dui -+- Q dut -r- K dui.

D'après les lemmes, on conclut

11 ne saurait, d'ailleurs, exister une seconde relation de cette