FRACTIONS IMPLICITES. INDÉPENDANCE DES FONCTIONS. 1 I

forme, car si l'on avait

«4=*, (ai, «j, wj) «n f/4=*j(w,, «s, Ui), on conclurait

relation entre </|, f/jj ^':i ; ^^ alors le jacobien J:t serait nul, d'après le théorème I, ce qui contredirait nos hypothèses.

Itemarr/ue, — Si Ton avait Ji = o, tous les jacobîens d'ordre ik

I • • I • Il 1 I 0(^1, 1/4 ) étant nuls, mais un lacobien d ordre 2, par exemple -rr =-?

ne s'annulant pas identiquement, on démontrerait facilement ceci :

"3=*("l, "1), Ui=W(Ui, Ut).

Il n'y aurait aucune difficulté nouvelle.

Cas des formes linéaires. — Soient p formes linéaires, à

n variables,

X, = axiXi-i-aiiXt^. . .-+- «1,1 «r,,,

Xj = rtji Xi 4- «tt Xi-h. . .-h atnXn,

X;,= apiXi-h «/,jXj-+-. . .H- UpnXn.

Théorème 1. — Soient p formes linéaires à n variai) tes, la condition nécessaire et suffisante pour qu'elles soient indépendantes est qu'il existe un déterminant non nul, d'ordre p, tiré du Tableau des coefficients.

Si le jacobien, d'ordre maximum, non nul, J^ est d'ordre r/, moindre que p, on a immédiatement la relation (* )

Donc \x est une fonction linéaire des variables X,, Xa, Xa? X», . . . , Xy

Remarque, — Si n est moindre que /), les (ormes ne peuvent être indépendantes, puisque le premier jacohien non nul ne saurait f^tre d'ordre p.

TiiKOukuE II. — Si p formes linéaires sont indépendantes, si Von effectue une substitution de déterminant non nul, les nouvclles formes obtenues sont aussi indépendantes.

Soit la substitution

le déterminant M^||&A;t|| n'étant pas nul.

i" Supposons p =^n. D'après la théorie du jacohien on a

Donc, les formes X étant exprimées avec les variables j', le jacohien est encore non nul si M n'est pas nul. c. q. f. n. 2" Supposons //=/>-!- A% alors posons

X/>-»-i = :^,,^l, Xp+j = :r^-f j, . . . , A„ = x,i.

Il suffit d'écrire le déterminant pour voir qu'on a

Or on a encore

D(Xt x,,) ^^^ r)(x„...,X;,)

Donc X,, Xa, . .., X,| exprimés en fonction des y sont indépendants, en particulier Xj, Xo, . . ., X^ sont indépendants.

III. Formes quadratiques. — Nous supposons les éléments tous réels. Certaines propriétés conserveront leur valeur dans le domaine complexe ; on le voit de suite.

Les formes quadratiques se rencontrent dans les principales questions touchant les coniques, les quadriques, les maxima, etc.

l ne forme quadratique est un polynôme homogèno du second

FRACTIONS IMPLICITES. INDËPENDANCB DKS FONCTIONS. l'i

degri'', qu^on écrit

F = '^ZaukXhXk (/», k = I, -2, ..., n\ et ank^ «*/*)•

F^e coefficient de Xf^ est ahh-, celui de Xf^Xk est 2 ank- Nous posons

I 0¥ ^1= - -; — = «11^1 -^ «narj-+-. . .-4- ain^w

On obtient de suite cette proposition :

Thkorème I. — Une forme quadratique à n variables peut être mise sous la forme d^une somme ai^'ébrique de n carrés^ au plus, déformes linéaires distinctes des variables.

Premier cas. — Un coefficient ^«aa est non nul ; supposons a, I 7^ o.

Nous avons

F = aiiT\ -h 2 Lxi-h Q,

L étant une forme linéaire de x^', X;,, ..., x,i] Q, une forme quadratique des mêmes variables.

Employons le raisonnement par récurrence. Le tliéorème est exact pour /i = 1 , supposons-le vrai pour (/i — i). Donc nous pouvons écrire, par hypothèse,

les formes^' étant indépendantes.

Ecrivons alors

a,, F -(aiixi-h L;«-+-a,,Q — LV

(Dans le domaine réel, certains carrés peuvent être précédés du signe — ; ceci importe peu.)

Nous posons : y, = «, , jtj 4- L, et nous avons m carrés (m £ n).

Supposons m = n. Si nous écrivons le jacobien des formes j^u ^2,^3, ..., ^,/, comme j^, contient x,, et puisque j^-,, Js, •••,J^/i sont indépendantes et ne contiennent pas .ri, le jacobien est non nul. Donc les formes sont distinctes. On verra qu'il en est de même pour le cas m < n.

l4 CIIAPITRB I.

Deuxième cas, — Tous les coef&cienls ahh sont nuls. On

aura

F = lax^XxX^-^ a^i L -H x^\ -- Q,

L el A élant linéaires et Q élant quadratique en x^^ ^9, ..., x^. f.e changement de variables

ramène au cas précédent. Donc la démonslralion est faite.

Il est clair qiie la décomposition en carrés peut être faite d'une infinité de manières et qu'on ne saurait obtenir plus de n carrés indépendants puisqu'avec n paramètres on peut former au plus n formes linéaires indépendantes.

Poussons pins loin cette élude.

Si Ton connaît les éléments du Calcul intégral, on devine que les demi-déri\ées partielles X,, X2, ..., X^ vont jouer un rôle capital. On appelle discriminant leur jacobien

A^!la/,/,||.

Edectuons la substitution

3r\ = Ail X\-^ fi\tyt-^'.>-^fi\ii Vu.

^t = /'SI ri-+- ''« ri-^- • .-^ f*tn y,,,

lhi\y\ -K...-h hnnyn-

le module de la substitution M ee^ || A/y || étant non nul.

()uand F est alors exj)rinié en y^ appelons \\ la demi-dérivée en y,, etc.

La règle de dérivation des fonctions composées donne immédiatement

\^^ /tu \l4-//îi\i-r-...-4- hn\\,t

et nous avons

Exprimons cx|>licitement les \ en fonction des x^ nous avons Vj — A,,a™i-h Aji^-j-f-. . .-+- A,M-^/i,