Théorème de Heine-Cantor. — Le procédé de sommation

(*) Ici on n'a pas le droit de supposer, sans précautions supplémentaires, que B — A est supérieur à 21t. On vérifiera facilement que l'énoncé serait encore exact si, les «autres conditions étant remplies, on remplaçait la condition A<a?<B = A-h2ir par la condition qu'il y ait des valeurs congrues à x dans ( A, B) et les conditions que doit remplir X pour t — x par la condition que Ton ait X ( t ) = V ( t ) = W ( t ) — o pour toute va leur de (A, B ) congrue à x sauf pour Tune d'elles pour laquelle il faut que l'on ait "k(t) = 1, \'(t) = V(J) = o.

( 2 ) Au paragraphe VII du Mémoire de Riemann on lit : « Si les coefficients a n et b n tendent vers zéro pour n croissant à l'infini, les termes de la série û [celle qui, peut-être, représente /(x)] finiront par devenir infiniment petits, quel que soit a?; sinon, ils ne pourront le devenir que dans des valeurs particulières de x. » C'est le théorème du n° 57. Quant au théorème de du Bois-Reymond, il est admis, mais moins nettement, à la fin du paragraphe III et dans le paragraphe X.

SÉHIKS TRltiONOMÉTRIQUES QUELCONQUES. 121

de Riemann étant plus général que le procédé ordinaire, pour qu'une fonction soit représentable trigonométriquement, il faut qu'elle satisfasse à la condition i' J du n° 59. Et alors, d'après le théorème de M. Schwarz (n° 6), la fonction F(£), qui admet f(t) pour dérivée seconde généralisée, est entièrement déterminée à une fonction linéaire additive près. Nous avons vu que, quand F(t) est ainsi déterminée, la série trigonométrique qui, sommée par le procédé de Riemann, donne/, est entièrement déterminée. Donc : il existe au plus une série trigonométrique convergente ( l ) qui représente une fonction donnée.

Ce théorème a été démontré tout d'abord par Heine (Journal de Crelle, t. 71); mais en imposant diverses restrictions aux séries considérées parce que le théorème du n° 57 n'était pas établi. C'est M. G. Cantor (loc. cit.) qui a donné l'énoncé précédent en même temps que des énoncés plus généraux.

Jusqu'ici on a supposé la série partout convergente et égale à/; admettons qu'en certains points exceptionnels l'une ou l'autre de ces deux hypothèses ne soit plus remplie. M. G. Cantor a montré que le théorème est encore exact lorsque l } ensemble des points exceptionnels est réductible (n° 7).

S'il y avait deux séries trigonomé triques convergentes représentant /, sauf peut-être en ces points exceptionnels, leur différence serait égale à o, sauf en ces points et, par suite, dans tout intervalle ne contenant pas de points exceptionnels, la fonction F(f ) correspondant à cette différence serait linéaire d'après le théorème de M. Schwarz. Soit A. un point exceptionnel isolé; avant A, F(/)=K + K,f; après A, F(t)=K!-\-K.\t. F étant continue, on a

Mais, d'après le second théorème du n° 58,

F(A-hA)-t-F(A — A) — »F(A)

(M Ou même seulement à coefficients tendant vers zéro et sommables par le procédé de Riemann.

l'X'l CHAPITRE V.

doit lendre vers zéro avec h ; donc

n ^ K , K| := IV | .

Par suite, s'il n'y a qu'un nombre fini de points exceptionnels dans (o, 27c), F(l) est partout égale à la même fonction linéaire, le théorème est démontré.

S'il y a un nombre infini de points exceptionnels, notre raisonnement montre que F(t) ne peut changer de forme qu ? aux points limites de cet ensemble. Mais on peut refaire, à l'occasion d'un point limite isolé, le raisonnement fait pour A, et l'on voit ainsi que le théorème est exact si, dans (o, 211), le premier dérivé de l'ensemble des points exceptionnels n'a qu'un nombre fini de points. On peut ainsi s'élever de proche en proche jusqu'à l'énoncé général de M. Cantor.

62. Théorème de Paul du Bois-Reymond. — ïl n'y a qu'une seule série trigonométrique convergente représentant une fonction donnée y, nous venons de l'apprendre. Mais quelle est-elle? C'est la série de Fourier de / quand cette série est convergente et représente y, mais dans les autres cas n'y a-t-il pas une série trigonométrique, autre que la série de Fourier de /, qui représente la fonction donnée /?

MM. Dini, Ascoli et surtout P. du Bois-Reymond ont répondu négativement à cette question dans des cas étendus (*). Ici on ne fera que la seule hypothèse : f est bornée (-).

Si / est représentable par une série trigonométrique, c'est qu'elle est mesurable (n° 8); étant de plus bornée, elle est sommahle (n° 10). Soit F la fonction correspondant, comme il a été dit, à la série représentant /. On a

L m oTÂ^ =/( " );

nous savons que — t est bornée (n° 11), donc (n° 12) on peut

(') Dinu Sopra la série de Fourier, Pise, 187.1. — Ascoli, Annali di Matematica, t. VI, 1873. — P. du Bois-Rkymond, Abhand. der bayer. Akad., t. XII. ( J ) Lkbksguk, Annales de l'Ecole IS'ormale, 1903.

SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUKS QUELCONQUES. 123

intégrer sous le signe « lim ». Appelons F< et F a deux fonctions primitives successives de F, on a

ou, puisque F est la dérivée seconde de F 2 ,

F(x) — y(o)-a:lim A2 f^ 0) = f f f{t)dtcft.

La limite qui subsiste dans cette formule existe bien puisque tous les autres termes sont déterminés, et l'on a

F(x) = f f f(l)dtcfà + Ax-+-B.

Connaissant F (a;) on pourrait appliquer la méthode du n° 59 à la recherche de la série trigonomé trique; il sera plus rapide de remarquer que, en conservant toujours les mêmes notations, $(x) est de la forme

*(ar)= / f f(t)dtdb x* H- olx -+- (*;

d'où, puisque £ et '\ sont les coefficients du (/i-hi) ièrae terme

de la série de Fourier de <I>,

^n l f Ç* f'/( t)cosnx dtd0dx—^ 9 n* 7zJ J J o Jy n*

b i r ilz r r r H

'{ = - I f I f(t)$innxdtdftdx

Maintenant, en changeant l'ordre des intégrations, ce que permet la considération des intégrales triples (n° 10), en effectuant d'abord les intégrations en x, puis celles en 8 et enfin celles en t, on a

a n =- f f(t)cosntdt-{-9. A f f(t)dt\,

b n = - / fit) sinntdt — n 2rA — - 2a / f(t) (itz — t) dt I.

Pour que a n et b n tendent vers zéro, quand n croît, il faut évidemment que les quantités entre crochets soient nulles; donc : si une fonction bornée f est développable en série trigonométrique convergente cette série est la série de Fourier de f.

Si l'on admettait qu'il y ait des points exceptionnels en lesquels la représentation par la série trigonométrique cesse d'être valable, le raisonnement précédent ferait connaître, à une fonction linéaire additive près, la forme de &(x) dans tout intervalle ne contenant pas de points exceptionnels. Et le raisonnement du numéro précédent montrerait que cette fonction linéaire est' toujours la même si l'ensemble des points exceptionnels est réductible; de sorte que, dans ce cas, le théorème précédent est encore exact.

63. Exemple de série trigonométrique partout convergente qui n'est pas une série de Fourier. — Nous avons dû supposer, dans le numéro précédent, que /est bornée; le théorème s'étend cependant au cas où f est sommable et ne devient infini qu'au voisinage des points d'un ensemble réductible. On peut même démontrer que, si certaines fonctions non sommables sont représentables analytiquement, ce ne peut être que par leurs séries de Fourier généralisées (n° 19).

Je renvoie pour ce point à mon Mémoire, cité au numéro précédent. Ce qu'il importe de remarquer, c'est que la question posée n'est pas résolue complètement pour les fonctions non bornées. Il est d'ailleurs facile de voir que, si l'on conserve aux mots série de Fourier le sens que nous avons adopté (n° 19), il existe des fonctions qui sont représentables par des séries trigonométriques convergentes, qui ne sont pas des séries de Fourier. En voici un exemple qui m'a été indiqué par M. P. Fatou.

Nous avons vu incidemment (n° 53) que, pour une série de

Fourier, la série N — - était convergente et même nous avons

calculé sa valeur. Donc, la série ^ — ■= n'est pas une série de

Fourier; elle est cependant partout convergente (n° 26).

64. Théorème sur la multiplication des séries de Fourier. — Supposons/' continue, auquel cas F a une dérivée première F' et une dérivée seconde F" =f. Soit X la fonction qui figure dans

SÉRIES TR1G0N0MÉTRIQUES QUELCONQUES. Iï5

l'énoncé du n° 60. Comme l'on a A*FX A^F.. , x

¥(x — -ih) — ¥(x) \(ar-h-ih) — X(ar — ih) , A*X — z h 4/1 4 h, 1

il en résulte

Ii m ^1 = /.X-+-2F'.X'h-FX".

La fonction 2F'X'+FV a une dérivée, sa série de Fourier est donc convergente. Mais on sait que la série obtenue en dérivant deux fois la série qui représente FX converge en même temps que celle qui se déduit de F, c'est-à-dire en même temps que la série de Fourier de /. Par suite, les séries de Fourier de /et f\ convergent en même temps au point #, les conditions du n° 60 étant remplies.

C'est là un énoncé très particulier; j'ai tenu à l'indiquer en terminant parce qu'il montre qu'il y aurait intérêt à n'assujettir les fonctions X, [jl des paragraphes précédents qu'à des conditions moins restrictives.