SERIES TRIGONOMÉTRIQUES QUELCONQUES. I
dans laquelle ^t(t) est une fonction de période 27t, ayant une dérivée première à variation bornée. A. ces égalités il faut en joindre une troisième
. (27l-hl)0 — t)
/27r-ha sin *(0 MO zA-, dt = o, sin f^ll
dans laquelle [x 2 (/) désigne une fonction qui jouit de toutes les propriétés de [*<(£) et qui, de plus, s'annule pour la valeur .r comprise entre a. et 3-n-f- a. Cette égalité résulte de ce que l'intégrale
qui y figure est, au facteur — près, la somme des (n -+- 1 ) premiers
termes de la série de Fourier de ^>(x) p 2 (&)i série qui est absolument convergente.
60. Retour au procédé de sommation ordinaire. — La somme des n -h 1 premiers termes de la série qui représente f{x), quand on la somme par le procédé ordinaire, est évidemment égale à
[. (in-hi)(x—ty-\ Sm 2 —T=Tt *■ s,n -*- J
valeur que Ton obtient en prenant la dérivée seconde de la somme des n -h 1 premiers termes de la série F(.z>); au lieu d'étudier directement cette somme, nous allons lui faire subir des transformations analogues à celles qui ont permis de passer de la condition 2 à la condition a'.
Demandons-nous tout d'abord dans quel cas la série trigonométrique s, qu'on obtient en dérivant deux fois de suite terme à terme la série de Fourier de 4>, peut être remplacée par la série trigonométrique s { qu'on déduit par le même procédé de la série de Fourier de <ï> A, où \ est la fonction de l'énoncé 2'. Mais, pour parler de la série de Fourier de <P\ il faut que cette fonction ait la période air, aussi supposer a-t-on dorénavant que Von a
A<a?<B£A-H2TT, a(*) étant supposée de période 2tc et égale à o dans (B, \-l-21c)
IlR CHAPITRE V.
On a évidemment A«*X A*<1>
par suite, si l'on emploie le procédé sommatoire de Riemann, s et 5| peuvent se remplacer mutuellement quand on a
on supposera dorénavant ces conditions remplies.
Si Ton emploie le procédé de sommation ordinaire, on est conduit à considérer la différence des sommes des n premierstermes de s et s,, laquelle s'écrit
m + * ,j [ sin(.2/i -+- i)i!lZI"|
Posons
et désignons les dérivées par des accents, on a
[sin(/i -h i)al" sin(/i-hi)wi . i . „ \ ) , * = — - — \ p sm - u cosec* - u \ sin, m J sinja ( r 2 2 \
■+■ ( i n -+- i ) cos nu J p cos - u coséc' - u >
— (-2/1 -+- i) sin nu jp sin - u coséc' - u>
— (n-\ — ) sin nu j p cot - u i
— ( /iH — J cos nu) p j.
Par un calcul élémentaire qu'il est inutile de développer ici, on vérifie que les quantités placées entre accolades ont des dérivées» bornées jusqu'à l'ordre 2, pour les trois premières quantités, et jusqu'à l'ordre 3, pour les deux dernières, si ^(t) a des dérivées continues jusqu'à l'ordre 4? tiu moins autour de t = x\.
SÈMES TRIGONOMKTRIQUES QUELCONQUES. I 1$
on supposera celle condition remplie. Alors la première quantité est une des fonctions jjl 2 dont il a été parlé à la fin du numéro précédent, les deux suivantes sont des fonctions [x f , les deux dernières des fonctions jjl. Si donc nous partageons l'intégrale à calculer en cinq autres à l'aide de l'égalité précédente, il est évident que ces cinq intégrales tendent toutes vers zéro; la première à cause de (C), les deux suivantes à cause de (B), les deux dernières à cause de (A.). De sorte que s peut être remplacée par s h même quand on emploie le procédé de sommation ordinaire (').
Avant de conclure, remarquons que pour
/(0-~[(K + K t ^K. 2 ^)MOL
la série de Fourier de f est certainement convergente et que sa somme, quand £ = .r, égale 2K0. Comme les fonctions F(/)et<ï>(*) correspondant à cette série sont égales à (K -h K { t -f- K 2 t 2 )\(t), on peut écrire
r m+<x ,j sin(a/n-i)— —
(])) lim — / (K-hK,tH-K,**)X(0£; — <# = aK t .
« = -**./« " dti 8in^=-'
En faisant dans (D) : K = o, K, = C,, K 2 = — » et en utilisant
le résultat précédent, on est conduit à l'énoncé de Riemann ; Soit A < x < B^ A -\- 2w, et \{t) une fonction ayant des dérivées continues jusqu } à V ordre 4, telle que Von ait
X(A) = X(Bj = X'(A) = X'(B) = o, X(a?) = i, X'(a?) = X ff (a;) = o; alors la différence entre A + A, + ...+ A H [voir le n° 59)
(*) En utilisant, par exemple, l'intégration par parties, il est possible de ne se servir, dans la démonstration, que de la formule (A) qu'on peut considérer comme une conséquence immédiate de a'. Mais, dans tous les cas, les différentes intégrales que Ton rencontre ne peuvent être traitées toutes de la même manière; aussi, en ce qui concerne cette partie du Mémoire de Riemann, les notes de ïl. Weber me paraissent avoir besoin d'être complétées.
et
*TzJ k w v dt* sm\(x — t)
tend vers zéro quand n croit indéfiniment (' ).
Riemann remarque que, si l'on modifie / en dehors de (A, B), on ne modifie en rien la convergence ou la divergence, au sens oi> dinaire, de la série trigonométrique qui représente f quand on lui applique le procédé de Riemann. En effet, une telle modification ne peut avoir pour résultat que d'ajouter à F une fonction linéaire, d'après le théorème de Schwarz (n° 6) démontré postérieurement aux recherches de Riemann, et cette fonction d'après (D) n'a aucune influence sur la convergence ou la divergence. C'est par ce raisonnement que Riemann démontra que la convergence au sens ordinaire, de la série trigonométrique, qui représente une fonction f quand on lui applique le procédé de Riemann, ne dépend que de la façon dont se comporte f au voisinage du point considéré. Cet énoncé n'est pas entièrement équivalent à celui du n"34.
Il est intéressant de remarquer que ce résultat suppose démontré le théorème de Schwarz et, par suite, le théorème du numéro suivant. D'ailleurs, dans le Mémoire de Riemann, on trouve aussi l'énoncé du théorème de M. G. Cantor qui a fait l'objet du n° 57; le théorème de du Bois-Reymond qu'on lira plus loin est aussi admis implicitement par Riemann ( 2 ).
