PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS

1. Les deux espèces de points de discontinuité, — Parmi les discontinuités que peut présenter une fonction /(#), d'une seule variable réelle, il y a lieu de distinguer un mode simple de discontinuité qui se rencontrera souvent dans la suite.

x est point de discontinuité de première espèce pour f{x) si, quand x croit vers ,r , f(x) tend vers une limite bien déterminée qu'on notera, avec Dirichlet, f(x — o) et si, quand x décroît vers x 0j f{x) a une limite qu'on notera f(x -h o) ( 2 ).

La propriété essentielle des points de discontinuité de première espèce est d'être toujours comparables entre eux; j'entends .par là que, si <p a, en x , un point de discontinuité de première espèce pour lequel o(x -\-o) et <f(x — o) diffèrent, quelle que soit/, admettant aussi x comme point de discontinuité de première

( l ) Dans cette Introduction j'ai réuni un certain nombre de définitions ou d'énoncés qu'il importe de connaître pour bien comprendre le reste de l'ouvrage* Il n'est d'ailleurs pas nécessaire de lire ce Chapitre préliminaire avant les autres; il suffirait que le lecteur s'y reportât s'il lui arrivait d'être arrêté par quelque difficulté. J'ai mis dans le texte de nombreux renvois à l'Introduction.

(?) Pour abréger on écrira /(-t- o) et /(— o) à la place de/(o -h o), /(o — o).

espèce, on pourra toujours trouver la constante K de manière que pour V=-.f f- K'f on ait K(jf # + o)= F(x — o). C'est-à-dire que, au point jf , il ne subsiste plus qu'une discontinuité en quelque sorte artificielle. Bien de pareil n'existe pour les autres points de discontinuité qu'on appelle points de discontinuité de seconde espèce.

Celte propriété permet, dans certains cas, de conclure pour tous les points de première espèce en s'appuyant sur l'étude d'un point de première espèce particulier (n°31).

2. Points réguliers. — Nous dirons que x est un point régulier pour f si /(x -f- o) elf(.r — o) existent et sont tels que

f(x»-*-o) -+-f(ar — o) = *f(r );

tous les points de continuité sont des points réguliers.

Tous les points réguliers sont comparables au sens du numéro précédent; la discontinuité artificielle dont il a été parlé n'existe même plus. La propriété de ces points qui nous servira le plus est la suivante : la fonction ?(/) définie par l'égalité

?(') =f(T»+-'*t) +/{*<> — a/) — ï/(*o), est continue pour / = o.

3. Fonctions monotones; conditions de Dirichlet. — On dit qucA***) est une fonction partout non décroissante ou, plus brièvement, que/\jr) est une fonction croissante si, quels que soient x h

et J*> on a

(J'i-x t )[/(x l )-/(jr i )]^o.

/\x) ne décroissant jamais, quand x croît, et ne croissant jamais quand x décroît, f(x % -r~ o) ei/(x 9 — o) existent toujours; une fonction croissante n*a donc jamais de points de discontinuité de seconde espèce. Ses points de discontinuité forment d'ailleurs toujours un ensemble dénombrable, car, si l'on a

<i < jti < -r 4 < . . . < ar* < 6,

on a aussi

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