l A *i -- *> ) —A x *— H — -HA jr* -«- o> —A *n — 0)] T

PROPRIÉTÉS DKS FONCTIONS. 3

et cela montre que les points en lesquels la différence

surpasse e sont, quel que soit e > o, en nombre fini.

Les fonctions décroissantes, qu'on obtient en changeant x en — .r dans les fonctions croissantes, jouissent évidemment de propriétés analogues. Les fonctions croissantes et décroissantes constituent l'ensemble des fonctions monotones.

On dit qu'une fonction bornée satisfait aux conditions de Dirichlet si elle n'a qu'un nombre fini de points de discontinuité dans l'intervalle (a, b) qu'on considère et si cet intervalle peut être partagé en un nombre fini d'intervalles partiels dans chacun desquels la fonction est monotone. Une telle fonction n'a évidemment que des points de discontinuité de première espèce.

4. Fonctions à variation bornée. — M. Jordan a appelé ainsi toutes les fonctions bornées qu'on peut obtenir en faisant la somme ■d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante ou, si l'on veut, en faisant la différence de deux fonctions croissantes.

Une telle fonction n'a tout au plus qu'une infinité dénombrable de points de discontinuité, qui sont de première espèce, et l'on peut remarquer qu'il suffit de modifier la fonction tout au plus en ses points de discontinuité pour que tous ses points soient réguliers.

On peut encore dire qu'une fonction /est à variation bornée si «lie varie moins vite qu'une fonction croissante bornée, entendant par là qu'il existe une fonction croissante bornée F telle que l'on ait toujours, pour h > o,

Si, en effet, cette condition est remplie, /est la différence des deux fonctions croissantes F et F — /, et d'autre part, si /est la différence des deux fonctions croissantes cp et <|/, elle croît moins vite que cp 4- A. Cette seconde définition est souvent commode, elle montre en particulier qu'une fonction satisfaisant aux conditions de Dirichlet est à variation bornée.

/ étant à variation bornée, on peut, d'une infinité de manières,

écrire, pour x > a,

/(*)=/(a)-hl>(*)-Niar),

P(.r) et N(#) étant deux fonctions non négatives et croissantes. Soient p(x) et n(x) les limites inférieures, pour x donné, des valeurs de P(x) et N(#); on a évidemment

p(x) et n(x) sont les plus petites fonctions P(.<r) et N(j?).

Ces quantités p(x) et n(x) s'appellent les variations totales positive et négative de f dans (a, x); v(x) =p(x) -f- n(x) est la variation totale de f dans (a, x)) elle est au plus égale kF(x) — F (a).

Il est évident que les deux différences p(x ) — p{x — o) et n(x ) — n(x — o) ne peuvent être différentes de o en même temps, sans quoi, en appelant d la plus petite des deux, les fonctions p\{x) et n K (x), égales à p(x) et n(x) pour x < x et à p(x) — <f , n( x) — d pour x ^ x , seraient des fonctions P et N plus petites que p et n. De même les différences/? (x -f- o) — p(x ) y n(x -{-o) — n(x ) ne peuvent différer de o en même temps et, comme ces différences sont égales deux à deux quand x est point de continuité pour/, on en déduit que, pour un tel point, p(x) y n{x) et v(x) sont continues.

Il est facile de voir que la somme, la différence, le produit de deux fonctions à variation bornée est à variation bornée ; cela est vrai aussi pour le quotient de deux fonctions pourvu que le module du dénominateur ne descende pas au-dessous d'une certaine limite différente de zéro. J'examine seulement le cas du produit; en conservant les notations précédentes et en affectant de l'indice i les quantités relatives à une seconde fonction, on a

//i =[/(«)+/>- »] L/i(«) +Pi- »t 1

= ppi-h nrii-h ptfia) -h pft(a) — [pn { -+- np x -+- n x f(a) -+■ n/i(a)],

ce qui démontre la propriété et fait voir en même temps que la variation totale du produit est au plus égale à

['-H/(«)IH*i-H/i(«)|].

PROPRIETES DES FONCTIONS. 5

C'est une expression qui nous servira plus loin; mais nous y remplacerons l'origine a de (a, x) par l'extrémité x, ce qui est évidemment permis (*).

5. Nombres dérivés. — On appelle nombres dérivés de la fonction continue f au point x, les plus petites et plus grandes

limites vers lesquelles tendent le rapport - — -. J > quand

on fait tendre h vers zéro positivement d'une part, négativement d'autre part. Ainsi, en chaque point, une fonction continue a quatre nombres dérivés finis ou non. Lorsque ces quatre nombres sont finis et égaux, f(x) a une dérivée, au sens ordinaire, égale à ces nombres dérivés.

Les fonctions /, qui satisfont à la condition, si connue dans la théorie des équations différentielles sous le nom de condition de Lipschitz, qui s'exprime par l'inégalité

I/(*-hA)-/(*)|<*|H

où k est une constante, ont évidemment leurs nombres dérivés bornés; la réciproque est vraie ( 2 ).

6. Dérivée seconde généralisée. Théorème de M. Schwarz. — D'autres généralisations de la notion de dérivée pourraient être utiles. C'est ainsi que, pour le n° 37, il y aurait avantage à définir la

dérivée de/ en x par la considération du rapport ^— —^-

au lieu du rapport ordinaire ; cela conduit à une définition de la dérivée, qui comprend la définition classique comme cas particulier, mais qui est plus générale puisque, par exemple, elle conduit à attribuer une dérivée nulle à -\-\/x' 2 pour x=o. Je n'insiste pas sur ce point et j'indique une généralisation plus importante.

La dérivée première est définie comme la limite du rapport de la différence première de f k l'accroissement de la variable; consi-

( 1 ) Pour plus de renseignements sur les fonctions à variation bornée voir le Tome I de la deuxième édition du Cours d'Analyse de M. Jordan ou le Chapitre IV de mes Leçons sur l'Intégration et la recherche des fonctions primitives.

( 2 ) Voir mes Leçons sur l'Intégration, p. 72.

dérons maintenant le rapport de la différence seconde de/ au carré de l'accroissement de la variable. Ce rapport s'écrit (*) :

Vf I A* h- h)-f(x)] -f- \/(x - k) -/(x)] A* A*

/(x-+- A)-4-/(,r — A) — a/(rr)

Quand la dérivée seconde ordinaire existe, elle est la limite du rapport précédent, pour //. = o ; mais il se peut que cette dérivée seconde n'existe pas et que la limite existe. Ce serait le cas, pour x=Oj si f était une fonction continue sans dérivée première telle que f(h)= — /( — A). On convient d'appeler dérivée se-

A 2 / conde généralisée la limite de —^ » toutes les fois qu'elle existe.

Remarquons que cette dérivée seconde généralisée est, d'après

la première forme du rapport -£<> positive ou nulle en tout point or

où /est maximum; cela va nous servir à démontrer une propriété analogue au théorème des accroissements finis : si la fonction f a en tout point une dérivée seconde généralisée <p , la quantité J h<t est comprise entre les limites inférieure et supérieure de © dans (x — h, x -+- A).

A* f( x ) Il suffira, par exemple, de démontrer que — ' ne surpasse

pas la limite supérieure de cp. Posons

♦ (*)= ~ fc »' (x—Xo)*-h J - ^ {x — Xo)-hJ(x );

la fonction continue "k(x)=f(x) — ^l^) s ' annu 'e pour x Q — h r Zqi #o-r-/t, donc elle atteint son maximum pour une valeur x f intérieure à (x — A, x -\-h); x K pourra, d'ailleurs, égaler x . La dérivée seconde d'un trinôme du second degré étant constante, on a

A*Xçr) tff(x) A»fr(a?) A 2 /(.r) A»/(g„) £* "~ ** X: 4 ~ A» A* '

(') En réalité, si l'on prend les différences à la façon ordinaire, on est conduit

. f(x-t-2h) -f-/| u rapport — —

équivalente à celle du texte.

f(x-i-2h)~t-/(x) — 2f(x-hh) . ... ,.,. ••

au rapport . ., ' qui conduit a une déliniiion non

PROPRIETES DES FONCTIONS. 7

d'où

AV(y,) A»X(y,) , J£/(£e).

d'après notre remarque la limite du second membre, pour k = o,

A 3 f( x ) est au moins — rr^- > donc on a

Al 1

Le théorème est démontré.

Supposons, en particulier, que cp soit constamment nulle; alors A 2 /'(.r ) est constamment nulle. Quels que soient x, x t , A, on a donc

C'est dire que les deux différences f(x t -\-h) — f{#\) et f(x-\-h) — f{&) sont égales ou, en d'autres termes, que f(x) s'accroît de quantités égales quand la variable s'accroît toujours de la même quantité. D'après un raisonnement bien connu et qu'on développe ordinairement à l'occasion du mouvement uniforme on doit conclure de là que /est une fonction linéaire. D'où le théorème de M. Schwarz : les seules fonctions continues qui ont une dérivée seconde généralisée constamment nulle sont les fonctions linéaires. La dérivée d'une différence étant la différence des dérivées, on peut encore dire : deux fonctions continues dont les dérivées secondes généralisées sont partout finies et égales ne diffèrent que par une fonction linéaire. Cela fixe le degré d'indétermination du problème qui consiste à chercher une fonction connaissant sa dérivée seconde généralisée; ce problème sera étudié au Chapitre V.

7. Ensembles de points. — C'est à l'occasion de la théorie des séries trigonométriques (voir n° 61) que M. G. Canlor a commencé l'étude des ensembles de points. Je me contenterai de rappeler ici un certain nombre des définitions posées par M. Cantor, renvoyant pour une étude plus complète à la Note qui termine mes Leçons sur l'Intégration.

Un point P est point limite de l'ensemble E si tout domaine (*), contenant P à son intérieur, contient aussi des points de E. L'ensemble des points limites de E constitue le dérivé E'de E. Le dérivé E" de E' est le second dérivé de E. On forme ainsi une suite finie ou même transfinie de dérivés. Si l'un d'eux ne contient aucun point, E est dit réductible.

8. Ensembles mesurables; fonctions mesurables ( 2 ). — Appelons intervalle les domaines spéciaux obtenus en assujettissant chacune des coordonnées à une inégalité telle que a £ <a7/<;6,. La mesure d'un tel intervalle, les axes étant rectangulaires, est par définition le produit des différences (6/ — a,-).

Soit E un ensemble de points tous contenus à l'intérieur d'un intervalle 1. Enfermons les points de E dans une infinité dénombrable d'intervalles i et soit a la limite inférieure de la somme des mesures des / quand on choisit ces intervalles de toutes les manières possibles. Soit [3 la limite analogue relative à l'ensemble des points de I ne faisant pas partie de E. Si a 4- [3 est égale à la mesure de I, E est dit mesurable et sa mesure est égale à a. La mesure d'un ensemble ne dépend ni des axes de coordonnées ni, ce qui est la même chose, de la position de l'ensemble par rapport à ces axes.

L'ensemble somme de E et de E, , c'est-à-dire celui qui est formé à l'aide des points de E et de E l7 est mesurable si E et E, le sont. La mesure de E H- E, est la somme des mesures de E et de E,, si E et E 1 n'ont pas de point commun. Ce théorème s'étend à la somme d'un nombre fini quelconque d'ensembles et même à la somme d'une infinité dénombrable d'ensembles.

Si l'on considère les ensembles mesurables E,, E 2 , ... en nombre fini ou dénombrable, l'ensemble & des points appartenant à la fois à tous les E/ est aussi dénombrable ; sa mesure est la limite inférieure des mesures des E/ dans le cas particulier où chaque ensemble E/ contient les ensembles d'indices plus grands, E /+1 , E/ + 2? • . • •

(*) Il s'agit ici des points d'un espace ayant un nombre quelconque de dimensions.

( 2 ) Pour les démonstrations, voir mes Leçons sur l'Intégration, Chap. III et VII.