LES RECHERCHES DE M. IIADAMARD. L ORDRE DLN POINT SINGULIER

Mais on voit tout de suite que cette expression ne croît que pour

lim A- = I.

Pour le voir, il suffit d'écrire que l'expression considérée

s'accroît par le changement de n en n -\- \ . Si l'on remarque enfin

que

et que

lira ( ) T,w — (to )f»> limA^^ limT,<»>-<^ = o,

r, = 0 \ ''i / rj = 0 "O = 0

la seconde partie de l'énoncé se trouve démontrée aussi.

11. Réciproquement, si Von a pour 9 quelconque entre a et b lira sup. \{i — ^)^f{?e'^)\ < A

et

lim sup.(i — o)'^I(p) < A, p = i

V ordre de la fonction sur V arc {a, b) est au plus égal à w. Prenons, en eflet, un nombre w" > (o et regardons l'expression

Pour montrer qu'elle a un sens, écrivons-la sous forme d'une série

f (ï— t)^"-'^ f{tei^) dt

= f (i — t)^"-'^/(te'^)dt-^ I ^...-^ I -+-•••,

t/„ di •' n — \

dont chaque terme est une fonction continue de 6, et faisons voir

que le reste

\\n = f {^-ty"'f{tei^)dt

tend vers zéro d'une manière uniforme si n croît indéfiniment. Mais, d'après nos hypothèses, on

— (ji)

indépendamment de 6. Notre série est donc uniformément convergente et la fonction R^VX^'^) ^^^ continue sur l'arc (a, h).

Montrons encore qu'elle y est à écart fini. Nous avons à considérer les expressions

D'après les remarques précédentes, nos hypothèses nous permettent de renverser l'ordre des deux intégrations, de sorte que nous avons à évaluer les expressions

/ {i--t)iù"-\ clt ne^'"^f(te'^)dQ. -

La seconde intégrale est justement l'écart de la fonction /(.^), donc elle est moindre que ^ > ce qui donne la limite supé-

ruHire finie

r ( w" ) ( oi" — tù )

Par conséquent J\^"f{.x) est continu et à écart fini sur l'arc («, b) si m" dépasse aussi peu qu'on le veut le nombre or. En d'autres termes l'ordre cherché ne dépasse pas (o. Ce qu'il fallait démontrer.

Tirons les conséquences immédiates de ces deux théorèmes pour pouvoir déterminer rapidement l'ordre dans les cas les plus usuels.

Si l'ordre def(x) sur l'arc (a, b) est to, celui de f{x)'^^{x)^ oit ^{x) est kotomorphe en chaque point de Carc considéré, est

LES RECHERCHES DE M. HADAMARD. l'oRDRE d'lN POINT SINGULIER. i3

au plus (o; en particulier, si 'iy(j-) ne s'annule pas sur (a, b), l'ordre de produit est précisé me /)t o).

Si (0 est positif, la première moitié de l'énoncé résulte immédiatement du fait que le produit (i — p)***"^V( p^'^) ^(?^'^) ^^t borné pour p = i et que, comme nous l'avons vu (n** 6), une limite supérieure de l'écart du produit est celle de l'écart de f{x) multipliée par le maximum de |'i/(./')| et par le nombre fini des extréma des parties réelles et imaginaires de ^ dans l'intervalle. Le même raisonnement nous montre que, si to est négatif ou nul, l'ordre du produit n'est pas un nombre positif.

Plus précisément, soit f{x) de l'ordre — k sur l'arc (a, b), et. soit e la partie entière de / + i si A" n'est pas un entier, et soit e = k dans l'autre cas. La dérivée e''""" de /(^) 'i;(:r) se compose de termes de la forme cD^~'/D' 'l (/-^o, i, 2, ...,<?), où D'^^ est une fonction holomorphe sur l'arc considéré et l'ordre de D^"'"/ est, par définition, celui de /(.r) augmenté de <^ — /•. Mais si /' ^ o,

on a

de sorte que, d'après la remarque de tout à l'heure, les termes correspondants sont d'ordre négatif. Enfin, le terme clD^J est le produit d'une fonction d'ordre positif — k -\- e et d'une fonction liolomorplie, donc son ordre est au plus — k-\-e. En résumé, l'ordre de la fonction ly(f'b) est inférieur ou égal à — k -{- e, ce qui montre que celui def'ii est inférieur ou égal à

comme il fallait le' démontrer.

Supposons maintenant que la fonction holomorphe ^(x) ne s'annule pas dans l'intervalle considéré. Si l'ordre co' de fà était inférieur à Tordre w de /(^) (on a vu qu'il ne pouvait le

dépasser), j étant holomorphe, l'ordre de /'i>^ =/ serait inférieur ou égal à (L)'<(o, ce qui est manifestement absurde. Le théorème énoncé est donc démontré dans toute son étendue.

i^. Ces résultats établis, déterminons l'ordre dans des cas simples, mais importants pour l'application. Regardons tout

d'abord la fonction

Si /• est un entier positif ou nul, la fonction est un poljnome, donc son ordre est partout — 00. Supposons doue qu'il n'en soit pas ainsi. Nous allons démontrer qu'au point 1 son ordre est — /'. Remarquons pour cela que A étant la partie entière de r et A =( — 1)^'+' /'(/• — 1) . . . (/• — A), on a, à partir de /i = A -h i ,

. ( Al — I — /') . . .( A -i- I — r) r(/i — /■)

r(A + ] — /•) V(n-hï)

;race à la propriété caractéristique de la fonction eulérienne r(x) ce V{x) = r{x -+- i).

Mais la formule classique de Stirling, d'après laquelle

nous montre que

V(n) = ri(n)n ^e-", lim Tj(/i) = \/'2 7r,

r(Ai + i)

avec

lim e„ = o.

On calcule maintenant l'ordre par la formule (17) :

Q ^ IH- lini !^ 1 . — ,^

L'ordre de la fonction envisagée sur son cercle de convergence est donc bien égal à — /• ; mais le seul point singulier est le point i ; par conséquent, c'est son ordre qui est donné par Q.

Posons, pour /-négatif, p = |/|; les coefficients B<-') s'écrivent

LES RECHERCHES DE M. HADAMARI). l'oRDRE d'uN POINT SINGULIER. '25

Regardons encore la fonction (i — ^)'" log^(i — ^), ou plus généralement

(i-:r)'P^[log(i-a7)],

où Pq{^) est un polynôme de degré rj en x\ Son ordre au point i est — /• comme le montrent facilement les théorèmes des numéros 10 et M. En effet, les expressions (i — p)*^/(?^'^) et (i — p)'^l(p) relatives à la fonction (i — x)'' seront multipliées par log(i — p ), dont le produit par {i — p Y tend vers zéro, quelque petit que soit s. Pour /• négatif, les deux théorèmes sont applicables, il est donc évident que l'ordre reste — /•.

Si /• est positif, on choisit un entier e >> /• et l'on calcule la dérivée d'ordre e de la fonction envisagée. On obtient une expression de la forme (i — ^)'~*^5 multipliée par un polynôme en log(i — x). Cette expression rentre dans la forme étudiée tout à l'heure, son ordre est donc — i' -{- e. 11 résulte donc de la définition de Tordre que celui de (i — .z')''log^(i — x) est — r.

ORDRE ET DEGRÉ d'iNFINITUDE.

13. Dans les exemples précédents, Tordre et ce qu'on appelle d'habitude le degré d'in/initude sont représentés par le même nombre. Il n'est pas inutile, peut-être, de remarquer dès maintenant que ces deux nombres fondamentaux relatifs aux singularités sont en général bien distincts. D'abord, tandis que nous avons défini Tordre sans aucune ambiguïté pour chaque sommet de Tétoile, et en particulier pour chaque point Xq du cercle de convergence, le degré d'infmitude n'a pas toujours un sens aussi précis.

Soit donné un chemin quelconque aboutissant à Xq, dans chaque point duquel, Xq excepté, la fonction soit holomorphe. Ordinairement, on entend par le degré d'infmitude de la fonction, le long de ce chemin, le plus petit nombre r tel que

lim (x — xoyf(a^) = o,

ou bien le plus grand nombre s tel que

lim sup. ; {x — TqY f {x) \ = »,

les limites étant prises en suivant le chemin donné.

26 CHAPITRH I.

Faisons à cet égard la remarque suivante. Soit j?,, le point limite de la suite Xu, (^ = i , 2, . . . , oo) située, pour plus de simplicité, sur le cercle de convergence. Si la fonction devient infime en chaque point Xk le long du rayon qui y aboutit, on peut désigner un chemin pour lequel le degré d'inflnitude en Xq soit aussi grand qu'on veut, même si la fonction reste bornée en x^ le long d'une courbe quelconque ne touchant pas la circonférence. En effet, ;• étant donné arbitrairement, nous pouvons aller assez près de x^ sur le rayon (o, Xk), pour que dans ce point x',. on ait

\{x^—x'krf{x',,)\>kk,

où Aa est un nombre positif quelconque. Cboisissons Aa de façon que limAA = oc; on voit que sur la ligne brisée (.r'^.rj,, ...^x',.^ ...)

k — aa

le degré d'infinitude est au moins /•.

On écarte l'effet des singularités voisines, en excluant les chemins tangents au cercle et en prenant pour degré d'infinitude le plus grand degré le long des courbes ainsi admises.

z\fin de montrer la divergence des deux notions ainsi précisées, M. Borel (*) a donné un exemple où l'ordre dépasse de beaucoup le degré d'infinitude. Voici une remarque bien simple qui fait voir la cause de celte divergence.

Soit une série convergente à termes positifs c,i. On peut toujours

remplacer une infinité de c,, par -, de telle façon (rue la conver-

gence n'en soit pas troublée, par exemple les termes d'indice n"\ Soit c'n la suite nouvelle des coefficients ainsi obtenue, et regardons la fonction

Son rayon de convergence est l'unité, et son ordre sur le cercle de convergence est aussi égal à i, car

lim — i ^- = I — liin — p 5

(' ) K. Borel, Leçons sur les séries à te/mes positifs, p. 77. Paris, Gauthier Villars; 1902.

LES RECHERCHES DE M. HADAMARD. l'oRDRE d'ln POINT SINGLLIER. 27

D'autre part, son degré d'infinitude est o; en effet son développement tajlorien converge absolument dans tous les points du cercle, de sorte que |'f (.r)| a une limite supérieure finie sur le cercle.

14. Dans cet exemple, comme dans celui de M. Borel, les coefficients sont à croissance très irrégulière. On pourrait donc croire que c est cette irrégularité qui est la cause exclusive de la divergence observée. Pour faire voir qu'il n'en est pas nécessairement ainsi, considérons la fonction

11(37) =V(— i)^(v''«)^« = Va„a7".

OÙ z{x) est la partie entière de x.

Les modules des coefficients, égaux à Tunité, sont évidemment à croissance régulière, et Tordre de la fonction sur le cercle de convergence de rajon i est l'unité. Envisageons, d'autre part, le degré d'infinitude. Posons, pour simplifier l'écriture,

On voit facilement que

lim ?iip.

Nous allons montrer que, pour un point quelconque Xq^ i du cercle de convergence.

lim sup.

où A est un nombre fini qui dépend d'ailleurs de x-q. Remarquons, à cet effet, que, si l'on pose

on a identiquement

Dans le CiJS actuel

qic^^k, pk = ^o,

c'esL-à-dire

et ainsi

rn-1

ii — x'^) (a/,— a/,-Hi) + (i — ^o)^«

Considérons maintenant le rapport

SniXQ)

Ou voit, d'une part, que

lim(i-^o)-7^ = o,

et, pour les indices k qui ne sont pas de forme ;•-— i , on a

D'autre part, lorsque k — r- — \ ^ nous avons [a^— a/f^.< | — 2, et, dans la somme, on a des termes de cette sorte en nombre y/Àï, ce cjui démontre l'égalité (19).

l^our en tirer la conclusion cherchée, écrivons que

^{xx^)

Xq)x'^

donc, pour toutes les valeurs de x inférieures à

^{xx^\

où B est la plus grande valeur du rapport

Sn(Xo)