partie fournit une somme intérieure a
Le troisième groupe conlieni tout ce qui est entre les deux premiers. Le nombre total de ses termes est donc
où î[-^] indique la partie entière de œ. Soit \ar\ le plus grand des modules des coefficients qui entre dans le troisième groupe. On a évidemment
(14) kn^r^Kn.
La somme fournie par ce groupe est donc inférieure en valeur absolue à
(jui. à son tour, est inférieur à
\a — b\n\an\~i-AjCtr\\ogr-+- lo- ^ f. — ^ / J ,
où dans le second terme on a éliminé n par les inégalités (i4) et où Ton s'est servi de l'équation d'Euler
lini |i -h -—...-+--) — logn = c (const.) /i =-. X \ 2 n j
sous la forme
lim iH- - -f- ^ -h...-r- -j— — 1 ! —'«S" = 'og? -4-c,
de sorte que limcr= c. Mais /• tend vers Tinfini avec n et, d'après /•= 30
nos hypothèses,
lim r\ar\ logr = o.
Ce qui montre que la seconde intégrale considérée reste aussi finie pour /î = x, et cela indépendamment des limites d'intégration, comme il fallait le démontrer.
En particulier nous avons obtenu une limite supérieure pour l'écart de la fonction sur le cercle entier
I ^ Cl A — C2 a.
I^ CHAPITRi: I.
OÙ c, et c. sont deux nombres positifs, a est la plus grande valeur de l'expression mio^m ,a,n-
Réciproquement, si La fonction est continue et à écart fini su?' le cercle de convergence^ la série
oàr\est un nombre positif aussi petit qu'on veut, est convergente, et, (te plus,
Il m — Al loijf/i = o.
En effet, d'après la formule de Caucliy,
car, la fonction étant continue sur le cercle de convergence, on peut prendre pour chemin d'intégration ce cercle même. Mais si
la fonction est à écart fini, cette intégrale est d'ordre -, ce qui suffit pour démontrer le théorème réciproque.
8. 11 résulte de ces deux théorèmes que la double condition [la fonction soit continue et à écart fini sur le cercle de convergence) ne dépend que de la grandeur des coefficients. Par conséquent, une fois celte condition remplie, l'opération H^' (ou R*^)
qui remplace an par — ^ ne peut que renforcer cette condition.
L'ordre de la fonction sur le cercle entier est donc un nombre bien déterminé, qui peut d'ailleurs prendre même les valeurs dz oo, et dans sa définition on peut se servir également des opérations H°^ ou R«.
Pour faire voir qu'il en est de même de l'ordre d'un point du cercle de convergence ou plus généralement de l'ordre d'un sommet Xq de l'étoile, nous allons établir une proposition fondamentale dont nous nous servirons souvent dans la suite.
Envisageons l'arc de cercle (a, b) de centre O et de rayon l^r^l passant par Xq. Par hypothèse, le triangle formé par l'arc [a, b),
LES RKCHERCHKS DK M. HADA.MARD. L ORDHK I) L N POINT SINGULIER. J3
et par les deux rayons (o, a) et (o, b), ne contient aucun point singulier à son intérieur.
Si f{x) est continue et à écart fini sur C arc {a, b), on peut remplacer f (a:) par (a somme des deux fonctions f^ (x) -^-/^{x) dont la première f^[x) est holomorphe à l'intérieur du cercle de rayon \xn\ et ¥{^J\(x) [et en même temps R^/, (x)], est continue et à écart fini sur sa circonférence; /^{x) est holomorphe sur l'arc {a^b).
Fis;. 2.
La démonstration en est bien simple. En effet, d'après une formule fondamentale de Gauchj, la fonction étant continue sur l'arc (a, 6), on peut écrire {fig- 2)
I r fi^^dz
D'autre paît/, (j?) est développable en série de Tavlor
car
[f\"HT)]o __
/-, ^ . dz
bn,
et comme /(j;) est à écart fini sur l'arc {b,a), on a
àn\<
I ^0 \" fi
l6 CHAPITRE I.
OÙ M est le module maximum de f{z) sur l'arc (a, b). Le rayon de convergence est donc au moins \X(^\.
La fonction/:. (^), la difl'érence de deux fonctions dé veloppables, est donc aussi développable autour de l'origine; soit
D'autre part^ elle est liolomorplie sur l'arc (a, 6), comme le montre immédiatement sa forme d'intégrale.
11 en résulte, grâce à l'inégalité (i6), que les quantités
bnX'^
satisfont à chacune des deux conditions du théorème du numéro 7 (p. 1 1), de sorte que H-/, [x) est à écart fini sur le cercle entier de rayon |^o|- ï^^ théorème est démontré.
Si donc il y a un to tel que l\^f{x) est déjà continue et à écart fini sur l'arc (a, è), toutes les fonctions W^'^^f[x) (a > o) le sont aussi. En eflet, d'après le théorème précédent, on peut décomposer W^'^J\x) en deux parties, dont l'une, soit co2(^), est holomorphe sur l'arc (a, 6), d'où l'on conclut qu'il en est de même de \A'-^o.,{x) = H^'^^f.2(x); d'autre part, l'autre partie, cp, (^), est telle que H^co, (x) = H'^+^y, (x) est continue et à écart fini sur le cercle entier de rayon |:z^'o|, donc ïi^'^^J\ (x) l'est aussi.
11 n'y a, par conséquent, qu'un seul nombre qui délimite les nombres to tels que H^/(^) soit continue et à écart fini sur l'arc («, b). INotre définition de l'ordre fait donc correspondre à chaque sommet de l'étoile et à chaque point du cercle de convergence un nombre et un seul.
9. La notion de l'ordre, du moins dans le domaine restreint considéré, est établie d'une manière complèiement rigoureuse. Nous devons montrer maintenant qu'elle est utile. La fonction étudiée étant^ définie par les coefficients a,i, l'ordre doit être en rapport, aussi peu caché que possible, avec ces coefficients. Le
LES RECHERCHES DE M. ilADA.MARI). L ORDRE d'lN POINT SINGULIER. I7
problème général se pose donc pour nous de déterminer l'ordre de la fonction en chaque point du cercle de convergence, de même qu'en chaque point de l'étoile, et, en particulier, de calculer Tordre de la fonction sur le cercle de convergence, et tout cela exclusivement par les coefficients <7„.
La dernière question relative à l'ordre sur le cercle entier se résout immédiatement : cet ordre Q est lié aux a,i par la formule
(17) ' û = I -h lim sup.
log/i
En eifet, si Q est déterminé par cette équation, on a pour n assez grand, s étant arbitrairement petit,
û + ^-i I «/i \<ti " .
Par conséquent, les coefficients de la série de Tajlor relative à la fonction H^"*"^/(jr) satisfont aux conditions du théorème de la page I I ; ce qui montre que H^+^y (^) est déjà continue et à écart fini sur le cercle de convergence, dont le rajon est supposé égal à I . D'autre part, il y a une infinité d'indices pour lesquels
\an\>n - .
de sorte que les coefficients tayloriens dnàe la fonction H^'^/(^) ne satisfont pas à la condition que la série
^ fin
soit convergente pour yj cpielconque (positif). 11 suffit de prendre Tj << - pour s'en convaincre. 11 en résulte, grâce au
théorème (p. i4), que \{^'^f{x) ne peut pas être à la fois continue et à écart fini sur le cercle. Ce qui démontre la proposition.
La détermination de l'ordre dans un point du cercle de convergence et dans les sommets de l'étoile, deux problèmes notablement plus compliqués que celui que nous venons de résoudre, nous occupera un peu plus loin ([uand nous aurons les movens nécessaires pour y répondre.
l8 CHAPITRE I.
Nous pouvons faire cependant quelques remarques simples dont nous nous servirons plus d'une fois dans ce qui suit.
U ordre d'un point régulier situé sur le cercle de com^er-
sence ou à l'intérieur de l'étoile est
En effet, une fonction est à écart fini dans un intervalle, en chaque point duquel elle a une dérivée inférieure en valeur absolue à un nombre fixe A. On le voit immédiatement par l'égalité
/ ncosn^f(^)dO= I f(J))d(s\nn())
[/(6)sin/i0]^-- / /(e)sin/iec^O,
qui montre que l'écart en question est inférieur à
Mais les fonctions H^/(ip) satisfont à la condition exigée j^ouro) quelconque, car elles sont toutes holomorphes sur un petit arc contenant le point x. L'opération ne peut donc pas priver la fonction du caractère d'être continue et à écart fini sur le petit arc considéré, en d'autres termes l'ordre de ce point est — ce.
D'après la définition de l'ordre dans un point, si dans un point de l'arc la fonction est d'ordre to, elle est sur l'arc entier d'ordre au moins égal à to. Inversement, si la fonction est d'ordre to sur l'arc entier, elle est d'ordre (o au moins en un point de l'arc, comme on le voit tout de suite en divisant l'arc en parties de plus en plus petites. Ces deux remarques rendent évident le tbéorème suivant :
L'ordre sur un arc de cercle est le plus grand des ordres pris dans les di(/erents points de cet arc.
10. Un problème, non sans importance^ est d'élucider le rapport entre l'ordre et le degré d'infinitude de la fonction en un point singulier, étant donné que ce sont ces deux notions par lesquelles on caractérise généralement l'allure de la fonction. A cet égard, M. Hadamard a donné les deux théorèmes réciproques que nous allons établir.
LES RECHERCHES DE M. HADAMARD. l'oRDRE d'uN POINT SINGULIER. ICj
Regardons un sommet de l'étoile Xq et son voisinage triangulaire déjà considéré.
Fig. 3.
Si sur rare de eerele (a, 6), extrémités comprises^ la fonction est (Tordre positif w, << w, on a uniformément pour les arsunients entre a et b
et
lim (i — o)w/(oe'S) = o lim (i — p)wl(p) = o,
où l(p) est l'écart de la fonction de 9, /(p^'^), sur l'arc de cercle (a', b') de rayon p.
Tout d'abord ces égalités sont satisfaites par toute fonction liolomorphe sur l'arc (<2, 6), extrémités comprises. D'autre part, on peut décomposer/(^) en deux parties, dont l'une est holomorplie sur l'arc considéré, l'autre est d'ordre o/ = to , -h s < ^ •> sur le cercle entier, de rajon |^o|- ^ suffit donc d'établir le théorème pour une fonction d'ordre inférieur à to sur le cercle entier. fJe plus^ pour simplifier l'écriture, on peut supposer que \jCq\ = i .
Mais, dans ce cas, la formule fondamentale (17) nous montre que les coefficients tajloriens an de notre fonction /(jt) satisfont, pour n assez grand, à l'inégalité
|a„|</i«'-i+£, où; t étant arbitrairement petit, on peut supposer que
CO' I -h c << W — l,
et, comme nous le verrons plus loin, les coefficients binomiaux B^,"" définis par l'équation
— \ — = yBr^«
satisfont à la condition
lim
Ap[)Hqiions maintenant un théorème bien connu de Gesàro d'après lequel, les b,i étant positifs,
lim
lim -T—
-7 = 00 On
si la dernière limite existe. Nous aurons
lim (i — p )^
lim
lim
I an I
ce qui démontre la première partie du tliéorème.
Pour en démontrer la seconde, rappelons que, d'après le numéro 7, p étant fixé,
Hp)'àci^\an i p«-+- C2(max. de | a„ | p«/ilog/i).
Nous avons vu que
lim
;(i-p)"'^I«/.ip"=o:
d'autre part, dans le second terme du second membre, on peut négliger un nombre fini de termes, par exemple ceux dans lesquels
les modules des a^ sont plus t^rands que-; ■ En remplaçant p
r & 1 logn I - i
par 1 — 7), il suffit donc de considérer le maximum de
quand r, est fixé, et chercher la limite de ce maximum pour 7^ = 0.
