LES RECHERCHES DE M. HADAMARD. L ORDRE D UN POINT SINGULIER
Mais le ihéorèine de Cesàro nous donne
d'où le résultat
^^ ^ \i — ia:|/ - cosa
où C est la plus grande valeur du rapport dont la limite est C ;
a est inférieur à —> les cheinins tangents au cercle étant exclus.
Le degré d'infinitude de ^(^) ne surpasse donc pas ^, tandis que son ordre est égal à i. Mais ce qui est encore à remarquer^ c'est le fait que la série formée par les modules des coefficients est
dont le degré d'infinitude sur le cercle de convergence est manifestement égal à I. Donc les modules des coefficients ne déterminent pas complètement l'ordre de grandeur de la fonction sur le cercle de convergence, les arguments des coefficients entrent aussi en jeu. 11 en ressort nettement que Vinjluence des arguments des coefficients sur l'allure de la fonction sur le cercle de convergence est beaucoup plus profonde qu'on aurait pu le croire. Le problème nouveau et général se pose donc : Déterminer les bornes et les caractères de r influence des arguments sur les propriétés générales de la fonction.
lo. Sans avoir l'intention d'aborder l'élude de ce problème, nous allons développer une remarque générale pour donner une idée assez exacte de Tinfluence des arguments. A cet effet voici un lemme qui nous paraît avoir un intérêt indépendamment de l'application que nous allons en faire.
Soient a,, ao, ..., y.k les points limites de la suite infinie
ao, «1, «2 • • • î <^«) • • • •
3o CHAPITRE I.
Entourons les points a/ de cercles assez petits pour qu'ils soient extérieurs les uns aux autres ; les termes extérieurs à tous ces cercles sont par hypothèse en nombre fini. Soit enfin mi(n) le nombre des termes d'indice inférieur ou é^al à /i qui se trouvent
di I . r I nii(n) ans le cercle tv, et formons les rapports -•
Si la limite
existe, nous dirons que la fréquence du point a/ est//. Démontrons que dans ce cas
nrrO
du moins le long du rayon (o, i) {^). D'abord on a
avec
hm e,i= o.
Mais, d'après le théorème de Gesàro,
Um(,-.x)yx".=. -^ =:lim Z!!i(ZL) ^f.
Ai= OO fl
et
lini^^i = li
d'où il résulte (20
/lr=0
(■) Le même résultat subsiste pour tous les ehemins non tangents au cercle comme .m peut le voir par une ,é«ére modification de la démonstration do;::!
LES RECHERCHES DE M. HADAMARD. l'oRDRE d'lN POINT SINGULIER. 3l
En raisonnant ainsi sur la fonction
rt=0
on obtient la relation
OÙ /'/ est la l'réquence du point limite t/ par rapport à la suite des s„ C'est une généralisation immédiate du théorème d'Abel d'après lequel, s'il n'y a qu'un seul point limite t, la fonction tend vers cette valeur |)our x ^== \ (').
Examinons maintenant la fonction
et, pour écarter Tintluence des modules des coefficients, supposons que
liin p,i — A.
Il est évident que la fonction
devient infinie de degré i au point i. ()uelle distribution des c'"-» abaisse le degré d'infinitude de la fonction examinée? Nous allons montier que, si la distribution ries e'^n su/- le cercle de rayon i est uniforme, f {x) ne devient pas infinie de degré i au point i .
La distribution des e^^n est dite uniforme lorsque, divisant le cercle en k arcs égaux, la fréquence des eJ'^» sur un arc existe et est égale à - et cela pour une infinité de valeurs de k.
11 suffit de démontrer la proposition pour la fonction
Mor)=^e'^^x'^,
(') \'oir encore à ce sujet V. Dienes, Essai sur les singalarUës des fonctions analytiques {Journal de Mathématiques, 1909, p. 3^4)-
32 CHAPITRE I. — LES aKCHERCHES DE M. HADAMAttD.
car, d'a|)rès ThypoUièse
f{x) = AJ\{x) +^e„e'a,.^«
avec
lim £„= o,
et selon le théorème déjà cité de Cesàro
lim(i — a7)\ £„e'a«a7«=:o.
Formons les fonctions
enprenani, an lieu de a„, le milieu [3^^' de l'arc qui le contient. La
relation (20) nous donne
• E lim(i — a7)cp/,(a7)=ie ^ Vc/,= o,
où IVa est la somme des A'*'»'^^ racines de l'unité. Mais
/i(^)= ?/.(a7)-heA(:r),
«A, quelque petit que soit s, tous les coefficients de th{x) sont inférieurs à i à partir d'un certain indice k. Par conséquent, pour k assez jj;rand,
iO~^)/l(^)i < |(l — a7)(p/,(a7)! + -.
D'autre part, si x est assez proche de l'unité,
|(l-a7)cp/,(;r)|< J,
d'où il résulte que
'(i--r)/,(.r)|<£, ce qui démontre la proposition.
1. Les généralités du premier Chapitre établies, nous pouvons aborder l'étude systématique du problème des singularités qui consiste pour nous à chercher en un point singulier des relations entre la fonction et sa représentation. Plus particulièrement^ nous allons étudier dans ce Chapitre la relation entre l'allure de la fonction et celle de la série de Tajlor sur le cercle de convergence.
On sait qu'une série de Taylor peut converger ou ne pas converger dans un point du cercle de convergence. Dans le premier cas, un célèbre théorème d'Abel nous assure que la série représente la valeur limite de la fonction qu'on obtient en s'acheminant vers ce point à l'intérieur du cercle sur une courbe quelconque ne touchant pas ce cercle. L'existence même de cette limite est une conséquence de la convergence. Dans le second cas, qui est le plus général, on ne peut rien conclure sur l'allure de la fonction au voisinage du point considéré : la fonction peut j être holomorphe ou simplement continue, indéterminée, infinie, etc. Le problème se pose donc d'une part de chercher les conditions de la convergence d'une série de Taylor sur son cercle de convergence, et ce serait en quelque sorte l'inversion du théorème d'Abel; d'autre part, d'établir des méthodes qui, partant de la série divergente, nous donnent le moyen de conclure sur l'allure de la fonction à ce point.
Pour ne pas amonceler les difficultés, nous étudierons toutes ces questions sur trois étapes successives. Nous supposerons d'abord que les coefficients tendent vers o, puis qu'ils sont à croissance finie et finalement qu'ils sont quelconques. Pour simplifier l'écriture, le rayon de convergence sera supposé réduit à l'unité dans tout le Chapitre.
