LA SOMMATION T3E LA SÉRIE DE TAYLOR SUR LE CERCLE DE CON VERGEIN CE
2. Le premier résultat clans l'étude de la convergence sur le cercle est dû à M. Hadamard. Supposons avec lui que les coefficients tendent vers o au moins comme /i~S £ > o, c'est-à-dire supposons que l'ordre sur le cercle de convergence soit < i et regardons un point régulier de cette circonférence. Le tliéorcme de M. Hadamard établit que, sous la condition indiquée, la série de Taylor converge nécessairement dans un tel point.
Pour plus de simplicité, soit i ce point. On a
a a) oc''.
D'autre part, par hypothèse,
de façon que
(2) £^ = /ilI + Ai+A2(i-:r)-4-....
Mais nous avons vu dans le Chapitre précédent (n'* Ll) que la multiplication par ne change pas l'ordre de la fonction
A,(i — 37)+ AaCi — x)'^. . .
dans aucun point du cercle, sinon en i où elle reste holomorphe. La fonction A., + A2(i — x) -\~ . . . est donc d'ordre inférieur à i sur le cercle; par suite, les coefficients Cn de son développement autour de l'origine tendent vers o. La comparaison de (i) et de (2) nous montre cependant que
a,) -+- «1 -+-..•+ rt« =/( i ) + c„,
ce qui démontre la pro])osilion.
M. Fatou (') a remarqué que le même résultat subsiste, c'est-à-
(') Fatou, Séries Irigonométriques et séries de Taylor {Acta malliematica, t. XXX, p. 389).
l'étude des singularités sur le cercle de convergence. 35
dire la série converge en chaque point régulier du cercle de convergence^ même si l'on ne précise pas du tout la façon dont les coefficients tendent vers o. La démonstration s'appuie sur le théorème célèbre de Riemann que voici :
Soit donnée une série trigonométrique quelconque
^ansin/t6 -\-bn cosnQ =^ A„, et supposons que lim a„= lim bn-=^ o.
La différence entre la somme A, + A2 + . . . + A„ et l'inté-
grale
ou
F(0 =-2, ;ïî
et où (6, c) est un intervalle arbitrairement petit contenant le
point ^= B à son intérieur^ tend vers o avec- si Von choisit
pour p(t) une fonction continue en (^, c) ainsi que ses cinq premières dérivées satisfaisant aux conditions
p" (t) n^ ayant qu'un nombre fini d' extréma dans Vintei- \alle{b, c)(i).
Il suffit donc de démontrer que l'intégrale (3) de Riemann tend pour n=: ce vers une valeur bien déterminée. Voici le raisonnement de M. Fatou. Nous avons vu dans le Chapitre précédent (n" o) que
( ' ) Riemann, Ueber die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe {Werke, p. ^56). Pour ne pas interrompre la marche d'idée que nous suivons, nous avons mis la démonstration du célèbre théorème à la fin du Volume sous forme d'une Note.
les deux fonctions
f{T)=^anCv^ et -2^^"
n = 0 n=zl
ont les mêmes singularités. Par conséquent la seconde, comme la première, est liolomorplie au point œ = e^^. 11 en résulte que
est une fonction holomorphe de t sur un petit arc entourant le point t = ^.
D'autre part, deux intégrations par partie appliquées séparément à F,(^), à Fo(^), donnent, grâce aux conditions limites imposées à p(^),
(4J / F(Op(0^| ^-f—i |A
sin
sin (6 — t)
. ^— t sin
dt
et la partie réelle et la partie imaginaire de [F(^)p(^)]" satisfont également aux conditions de Dirichlet, leur valeur en 9 étant F','(9) respectivement F!', (8), de sorte que, d'après le théorème classique sur l'intégrale de Diriclilet (*), l'intégrale considérée tend pour n =z ce vers la valeur F"(Q), ce qui démontre le théorème de M. Fatou.
Notre série de Taylor converge donc en chaque point régulier du cercle. Mais, en réalité, la convergence n'est pas restreinte à ces points : la série peut converger aussi dans des points singuliers. Par exemple :
3. Si les coefficients tendent vers o, la série de Taylor converge en chaque point ^o d'ordre- négatif du cercle de convergence (dont le rayon est supposé égal à i).
En effet, d'après le théorème de M. Hadamard sur la séparation
(') Voir par exemple Jordan, Cours d'Analyse^ •>« édition, t. II, p. 233,
l'étude des singularités sur lk ckrcle de convergence. 37
des singularités (p. i 5), si J\a:) est d'ordre co <; o en Xq, on a
OÙ la fonction ^b,iX'^ est d'ordre w -+- £ sur le cercle entier et la fonction Sc„^'' est liolomorphe en Xq. z étant arbitraire, on le choisit de façon que w + £ <; o et J'on en conclut que
de sorte que la première série est absolument convergente sur le cercle entier, en particulier en Xq.
D'autre part, comme b,t tend vers o pour n=:^oc^ il en est de même de c„ = <7,/ — b„. On peut donc appliquer à la seconde série le théorème de M. Fatou, et l'on voit ainsi que la seconde série converge en Xq^ ce qui démontre la proposition.
Mais on peut aller encore plus loin. En efi'et, pour que la série dont les coefficients tendent vers o soit convergente en x^^ il suffit de supposer que f{x) soit continue et à variation bornée ( * ) sur un petit arc de cercle (a, j3) entourant le point Xq, sans supposer rexistence d'une fonction limite dans les autres points du cercle (-).
La continuité en Xq n'entraîne pas, en général, la convergence de la série à ce point. En partant en efl'et de la série de Fourier divergente d'une fonction continue, on peut construire une série de Taylor divergente dont les coefficients tendent vers o et qui a cependant une fonction limite continue. Pour assurer la convergence, il faut donc ajouter à l'hypothèse de la continuité une condition supplémentaire.
Voici la marche du raisonnement qui nous conduit au théorème énoncé. On démontre d'abord sans peine que, la fonction limite f{e'^) étant supposée continue et à variation bornée dans l'intervalle (a, ^), il en est de même des fonctions
/,(^)= r''-^<">-"Vfa= r'/'"'-"v.r+.r"[/(e-»)-«.]^6
(') Jordan, Cours d'Analyse, 2* édition, t. I, p. 54-
(-) P. DiENES, Sur la sommabilité de la série de Taylor ( Comptes rendus, 1911, t. CLIII, p. 802).
et
représentées à l'intérieur du cercle comme fonctions de :r = re^^ par les séries
dont la seconde est convergente aussi sur la circonférence et représente ainsi la seconde fonction pour ces valeurs de la variable. On en conclut que F(^), F'(/) et F''(^) sont continus et à variation bornée dans (a, [^). Et comme, par hypothèse, p, p' et p" sont aussi continues et à variation bornée, il en est de même de [F(^) p(0]' de sorte que, d'après le théorème classique de l'intégrale de Dirichlet, le second membre de (4) tend vers une valeur bien déterminée; le théorème deRiemann nous assure donc de la convergence. Ce qui démontre la proposition.
4. La fonction étant supposée à variation bornée en x^^ on aurait le même résultat si y(^), c'est-à-dire sa partie réelle et sa partie imaginaire, avait en ^Tq une discontinuité de la première espèce. On pourrait remplacer de même l'hypothèse que la fonction soit à variation bornée par des conditions plus générales sans que le théorème cessât d'être vrai. Mais au lieu des considérations de ce genre, qui cependant ne manquent pas d'intérêt, nous allons établir un théorème plus simple et plus général, en nous servant, à l'exemple de M. Fejér (i), des moyennes arithmétiques des 5«(-). Supposons que les coefficients tendent vers o.
Si^ pour chaque chemin à V intérieur du cercle de convergence aboutissant à x^,
lim f{x) == A,
on a nécessairement
lim ^o+^i<^^o)+---+^A^(a-o) ^ ^
(>) L. Fejkr, Ueber die Fourierschen Reihen {Math. Annalen, t. LVIIT). (^) Voir la note citée précédemment.
l'ktude des singularités sur le cercle de convergence. 39
Pour le démontrer, nous allons généraliser le théorème fondamental (le Riemann de la façon suivante :
La différence entre A, -I- Ao-h- .. 4- A„ et l'intégrale (3) tend vers o pour n = ce, les moyennes arithmétiques de la différence tendent donc également vers o. Mais les moyennes arithmétiques de cette différence sont identiques à la différence des moyennes arithmétiques des deux membres, et l'on voit facilement qu'on peut intervertir de même la formation des moyennes arithmétiques et l'intégration en question. On arrive ainsi au résultat remarquable que la différence entre
et Vîntes: raie
tend vers o pour n = 00.
S'il s'agit d'une série de Taylor, il faut prendre pour F(/) la fonction
Aaà /l'-
on plus précisément deux intégrales de l'espèce indiquée formées respectivement par les deux fonctions F,(/) et ^-^^t).
Il suffit donc de démontrer que dans les conditions indiquées cette intégrale I tend vers une limite bien déterminée pour n = x. Cette démonstration sera basée sur le lemme fondamental que voici :
Si, pour chaque chemin à V intérieur du cercle de convergence aboutissant à Xq, (5) limsup. |/(:r)|£M,
il y a tout un arc (a, 3) comprenant Xq à son intérieur tel que quand on s'approche à V intérieur du cercle d'un point quel-
4o CIIAPITHK H.
conflue de Varc (a, P), i"
linisup. \f{x)\<M -f-r. (r^ > o)
2'^ la fonction
/(?«<i i;e/'5 zme limite bien déterminée et la fonction-limite ainsi définie est continue et à nombres dérivés bornés.
La première partie de la proposition se démontre très facilement. En effet, si ri étant donné il n'j avait pas un arc de la nature indiquée, il j aurait toute une suite de points x^ du cercle de convergence tendant vers x^^ tels que, au voisinage de Xs, la limite supérieure de |/(^) | dépasserait M -\-'r^. Mais on pourrait déterminer alors, à r intérieur du cercle^ un point ^v pi'ès de x^ de façon que | /(jc;^ ) | > iM + rj. On pourrait donc construire par les points x[f un chemin pour lequel (5) ne serait pas satisfait.
Pour démontrer la seconde partie, regardons la fonction
le chemin d'intégration étant une courhe rectifia ble quelconque à l'intérieur du cercle de convergence. Cette fonction est définie tout d'abord pour les points :27à l'intérieur du cercle de convergence. Soit maintenant .r un point de l'arc (a, [3). Les parties réelles et
imaginaires de ^ sont des fonctions bornées n'ayant qu'un
seul point singulier sur la ligne rectifiable aboutissant à x\ elles sont donc intégrables.
D'autre part on voit facilement que, pour une autre courbe aboutissant au même x-=^Xq^ l'intégrale a la même valeur. En effet, a el b étant deux points quelconques des deux courbes,
et
dx^
de soiie que
En prenant a et b assez près de Xq, chacune des deux intégrales du second membre est inférieure en valeur absolue à t. La différence au premier membre est donc plus petite qu'une quantité quelconque donnée à l'avance ; mais elle est déterminée, étant donné que chacun des termes est un nombre déterminé. Elle est donc o. Ce qui démontre que pour les points de l'arc (a[j) la fonction f\{x) a une fonction limite indépendamment du chemin suivi à l'intérieur du cercle de convergence. On en conclut immédiatement à la continuité de la fonction limite/, (e'^).
Etablissons enfin que cetle fonction continue f^ [x) est à nombres dérivés bornés sur l'arc considéré. Soit x un point quelconque de cet arc et .r -h Jiy un point à l'intérieur du cercle de convergence, h^ tendant vers o de telle façon que.r-|-Av+i soit plus près du cercle c|ue x -\- lisj. Nous avons vu que dans l'intégrale
le chemin d'intégration est une courbe rectifiable quelconque à l'Intérieur du cercle de convergence. Prenons maintenant pour ce chemin le rayon {o^x + li^) et la ligne polygonale convexe déterminée par les points x + /^v On a ainsi
de sorte que
où R est un nombre fixe déterminé une fois pour toutes quand l'arc (a, ^3) est donné. Il en résulte que
lim sup.
Regardons d'autre part les points de l'arc (a, ^) de l'argument + r,v, la suite t,v tendant vers b d'une manière monotone, l^our
chaque v on a
/• e«(0+-Ov) — e'^
on peut déterminer à chaque yjv un /•v> J\^\ de sorte que, £ étant aussi petit qu'on veut, on ait
y\ ( /-y ei^^-^A-? ) -f, ( 6^-9 ) /i ( g^-^Q+-^^v' ) -/i ( g^'Q )
gj(6+-0v' - e"
On en conclut que
lim sup.
gà9-i-"riv' e'9
qui prouve enfin qLie/i(:r) est à nombres dérivés bornés sur Tare (a, fi). Ajoutons que le lemme ainsi élabli ne suppose aucune restriction sur les coefficients tayloriens.
o. Servons-nous du lemme ainsi étabb. M. Lebesgue (<) a démontré qu'une telle fonction f^{x) a une dérivée pour un ensemble de points dont le complémentaire est de mesure nulle et. que, de plus, une telle fonction est l'intégrale indéfinie de sa dérivée considérée seulement pour l'ensemble des points où celle-ci existe. Soit ^(^) = ^,{t)-^ l'huit) la fonction égale à/; (c^'^^'^ «ù la dernière existe et égale à A aux autres points.
Gela posé, reprenons l'intégrale 1, et, pour pouvoir effectuer successivement deux intégrations par partie, montrons que la dérivée de F(^) est continue et à nombres dérivés bornés.
Tout d'abord, x étant un point quelconque à l'intérieur du cercle de convergence ou sur l'arc (a, ^),
OÙ le chemin d'intégration est une courbe rectifiable quelconque. Mais
dx
(') Lkbesgue, Leçons sur r intégration, p. l'ïà.
l'étude des singularités suit LE CERCLE DE CONVERGENCE. 43
et e'^ étant un point fixe de l'arc, si l'on prend pour chemin d'intégration le rayon (o, e'^) et l'arc (e'^, cM)^ nous aurons d'après le lenime précédent
Par suite,
ce qui démontre que F(/) est continue et à nombres dérivés bornés comme la fonction f\{e^^).
La seconde dérivée de F(^) existe donc pour chaque point de l'arc, sauf peut-être un ensemble de mesure nulle, et dans ces points
En particulier, on démontre sans peine parle raisonnement dont nous nous sommes servis dans la seconde partie de la démonstration du lemme précédent^ que si, à l'intérieur du cercle Vnw f (x) ^^ S.^
on alim 'i/(7)= A. Plus généralement soit a un point du rayon (o,e'^) ;
/=0' traçons autour de a comme centre un cercle c^ de rayon \e^^ — a| passant par conséquent par e^^. Le cercle de convergence et la partie de la circonférence C\ près de e^^ déterminent à l'intérieur du cercle de convergence deux voisinages distincts de c^^. Supposons que dans le premier voisinage lim f{x) = A et dans le
second lim f(x)=--B, et, dans la définition de 'l, ayons égard à
cette circonstance en donnant à 6, dans les points où sa détermination est arbitraire, la valeur A respectivement B selon que ce point se trouve sur la frontière du premier ou du second voisinage. Nous avons ainsi
Effectuons dès lors la réduction de Tinlégrale 1 à une intégrale plus simple. Une première intégration par partie, grâce aux condi-
CIIAIMTRK II.
lions imposées à p(^), nous donne
sin(/i + i) —
sin —
dt.
De Ja seconde intégration par partie on obtient
^ sin(/i -t- i)
'^ \ sin —
parce que l'égalité
[F'(Op(/)]'=F'(Oo'(0 + P(0<l^(0
subsiste pour cliaque point de l'arc considéré, sauf peut-être pour un ensemble de mesure nulle. On en conclut par le tliéorème de M. Lebesgue cité tout à l'heure que le second membre a pour intégrale indéfinie la fonction F'(^)p(^) et comme toutes les fonctions considérées sont bornées, F'(^)p(/) est la fonction primitive du second membie, ce qui justifie enfin la seconde intégration par partie.
6. Nous avons vu que les limites -L (9 4- o) et 'i;(8 — o) existent. La fonction o{t) = 'h{t) p{t) -h •>.¥' {t) ^' {t) -\-Y{l) f {t) est donc continue à gauche et à droite an point t = G. il nous reste à démontrer que, sous cette condition, l'intégrale où nous avons écrit, pour plus de simplicité, ^ = o,
tend vers une valeur bien déterminée pour n = co.
Supposons d'abord que çp(-]-o) = o. 11 en résulte que, z étant donné, on peut trouver, au coté positif de l'origine / = o, un nombre positif a <; - tel que |cp(^)|<<£ dans l'intervalle (o, a). D'autre part.
o(t)( — dt
Mais
l'étudk des singulauités sur le cercle de convergence. 4 3
^/i Jo
in ■71 1 n
car
si 11 iit\^ I / I
et
\Mi[\- I / I \ / I \ .{n -^ lY-
-. = - -T- - + cosn ^. . .-i- ( - + cos^ -h. . .+ cosnt ) < —
int / 1 \'î ) \'^ I 2
parce que dans l'intervalle (o, a)
sin t> -t,
et enfin
G|< ^ /^ \^{t)\dt,
de sorte que G tend vers o pour n = oo. Il en est donc de même de l'intégrale 1.
Si c3(h-o) = Co 7^ o, on pose
de sorte que Tj(^^-f- o) = o. On aura ainsi On sait d'autre part que
77/1 J^ \ Slll^ / -2
et le raisonnement sur G nous montre que
Tt/l
r'- /&'mnty J, [ sint )
dt
T.n sin^c \-x Ges deux résultats réunis font ressortir que
46 CHAPITRK II.
Nous avons démontré par ces considérations l'égalité
hm — / cp(0 ■ , dt = -^ ,
n^^T^nJ^ ^^ ' \ sint J 1
et l'on démontre de même l'égalité
lim — / ^(t)(—. ) dt=^ -'
Nous avons donc établi la formule définitive
L'essentiel est pour nous, pour pouvoir profiter du théorème de Riemann, que l'intégrale considérée a une limite bien déterminée. Gela nous assure en effet que les moyennes arithmétiques des Sn tendent déjà vers une limite, et par cela le théorème général de la page 38 se trouve démontré.
LA niVP:RGENCE DE LA SERIE DE ÏAYLOR ET LES SIINGULARITÉS AU CERCLE DE CONVERGENCE.
7. Nous avons vu par les développements précédents que la série de Tajlor, dont les coefficients tendent vers o, représente la fonction définie par elle dans les points réguliers de son cercle de convergence et que, de plus, elle peut nous renseigner par sa somme ou par les moyennes arithmétiques des Sn sur l'allure delà fonction autour d'un point singulier du cercle, si toutefois la fonction tend vers une limite quand on s'approche de ce point à l'intérieur du cercle. Gela nous amène à poser la question suivante :
Est-ce qu'une série divergente 2J^nX'^ permet de conclure, par
la nature même de sa divergence, à l'aJlure de la fonction au voisinage de JCo? La réponse — si l'on précise un peu la question — est affirmative.
On sait par exemple que la fonction j\x) est bornée dans tout angle o^ < tt, le sommet à ^„ et symétrique par rapport
à (o, jTo)? ^î ^^"5 ^11 OU du moins leurs moyennes arithmétiques sont bornées en valeur absolue.
En effet
J^Zr^. =2l [^"-^ ^l(-^0^ ■^- "-^Sn{x,)]x'^, n—0
et, par hypothèse, pour /? >>/>,
-4- 5,(^o) — . . .— 5„(.ro)
On a par suite
OÙ P/j(^) est un polynôme de degré/?.
Mais
de sorte que
(1-1^1)2 Et un calcul élémentaire montre que dans l'angle considéré
— \x\ (Co
' cos ^-
ce qui démontre la proposition. Le même raisonnement s'applique d'ailleurs aux moyennes arithmétiques d'ordre quelconque.
La réciproque est vraie russ']. Si pour chaque chemin à l'intérieur du cercle de convergence aboutissant à Xq la /onction reste au-dessous en valeur absolue à un nombre fixe, les moyennes arithmétiques sont bornées en valeur absolue pour n = 30.
La démonstration en est la répétition presque complète du raisonnement du paragraphe précédent supposé toutefois que le
signe / ait le sens que M. Lebesgue lui a donné.
En résumé, les coefficients tendant vers o, la suite <Jn{^(i) des moyennes arithmétiques nous décèle l'allure générale de la fonction
48 CIIAPITHK 11.
étudiée au voisinage de ji'q. Si les a-//(^o) lendenl pour /i = Gc vers la limite A, la fonction tend vers la même valeur dans tout angle Oq << '^ de l'espèce considérée. Si la limite A n'existe pas, mais la suite |o"rt(^o)| ^st bornée, la fonction est indéterminée en Xq, mais bornée dans l'angle es,). Si, enfin, la limite supérieure de la suite |a-/^(^o) | est infinie, nous sommes assurés que la fonction devient infinie au voisinage de ^Cy.
8. Dans le dernier cas, nous pouvons poursuivre encore plus loin la correspondance entre la divergence de la série et la façon dont la fonction devient infinie. Nous allons établir à cet ell'et un théorème du, dans sa forme générale, à M""" Valérie Dienes (^) :
Si, au voisinage de Xç^, La fonction est de la forme
loir — î —
ow Py(.r)=: A,/^^/+ A^.,^v-i 4-. . .4- 4o et Vordre de f^{x) en Xq est p'<Cp5 on a
En particulier, dans les points critiques algébrico-logaritlimiques, la nature de la divergence de la série est en relation à la fois simple et précise avec la structure de la singularité qui se trouve caractérisée ainsi d'une manière complète par les Sn, donc, en dernière analyse, par les coefficients tajloriens an qui, par hypothèse, tendent vers o.
Tout d'abord un calcul fondamental pour la suite nous donnera l'ordre de la croissance des Sn formés au point i pour la fonction
( ' ) Vai.éuik Diknks, Sur les points critiques logarithmiques {Comptes rendus, t. CXLVIII, séance du j6 avril 1909). Voir encore P. et V. Diknes, 7?ec/ie/-c/u^s nouvelles sur les singularités des /onctions analytiques (Annales de V École Normale, 191 1, p. 089).
Les s,i de la fonction
sont
log
or, d'après l'égalité établie par Eiiler,
(6) lim(',+ l-^...+ J.|o.,A =
c'est-à-dire
(7) lim^=i.
Cherchons maintenant les Sn de la fonction On peut écrire que
d'où, en développant le binôme,
Les ternies de la forme Cx^ [f^'i'i) se trouvent sans exception dans la première parenthèse; donc, les coefficients étant positifs, on a pour x positif et inférieur ou égal à i
d'où en particulier
et d après (6)
s\f^{\o^n^c')'i (c'>c}, ou enfin
W limsup.— i^<i. •
Cherchons maintenant la h'mite inférieure. On peut écrire
loff — X -A h. . .H h R«(^),
où, à la rigueur, au lieu de - il faut prendre sa partie entière. On en conclut comme auparavant que
car il y a des termes de degré inférieur à n, qui sont négligés. En particulier
OU encore
*// = (log--^c') = (log/i — log^-l-c'y/;
d'où l'on conclut que
un int.
log/i]'/"^ Donc, d'après (8), on a pour la limite cherché
(9) lim '■'
n=^ [log/l]'/
