I' im — T- = I

n=^ [lognj^/

et

if) lim -^

n = o.n9 A^pr(p-M) Si l'on divise l'inégalité (i3) par (logAi)^/iP, on obtient

(i4) liminf. — -^ ->- -^

^ «:r.oc /iP[10g/i]y - A-P J\p -f-1)

Cette inégalité, combinée avec (12), nous montre que, pour ji assez grand, le rapport

est entre j-- et 1 . Mais k est aussi près de l'unité qu'on veut, d'où il est évident enfin que

s'i^ P (i5) lim

/i^c» nPlog-y/i r(p-i-i)

l/ÉxrDE DES SIXGULARITHS SUR LK CKRCLE DE CONVERGENCE. 53

10. li nous reste à évaluer l'ordre de «randeur des 5,' relatifs à

fl{^)=^b„Tn,

dont l'ordre en .ro est p'<p et dont les coefficients b,i tendent vers o pour n = dc. En elTet, on voit immédiatement que les coefficients Cl de la fonction

Pal ioîr— ^

^' = y ex"-

tendent vers o, car cette fonction est d'ordre p << i sur le cercle entier.

On peut poser

n—Q rt = 0

oii 'f2(*^') tîst holomorphe en :ro, '^\{^') est d'ordre p, = c'4- î <^ 3 sur le cercle entier et lim a„ = lim ,3//^ o. Par conséquent, d'après

le théorème de M. Fatou,

lim ( 3o -+- 3i Xo -^ . . . -f- 'pn .r'o' ) = ©g (a^o ).

D'autre part,

, ,• log a„