Supposons que les coefficients cin de la série

ce n—0

au lieu de tendre vers o, satisfassent à la condition plus large lim — = o (r >o).

En général, la série n'est pas convergente en aucun point du cercle de convergence; nous devons donc recourir à une méthode de sommation plus puissante que la méthode simple qui consiste à chercher la limite des s,i. Nous allons voir que la méthode générale des moyennes arithmétiques permet d'étudier d'une manière assez complète l'allure de la série de Tavlor sur son cercle de convergence.

Voici la définition des moyennes arithmétiques d'ordre réel /•. Soit

c'est-à-dire soit

Les expressions

06) sr>^E(i::ï^ (« = ,,.,...,.,

sont, par définition, les moyennes arithmétiques d'ordre r. M. Knopp (') et M. Schnee (-) ont démontré que, pour /• entier, cette définition est équivalente à la définition ordinaire

dans le sens que l'existence de la limite pour /i = x de (i6) entraine celle de la limite de (i-) et inversement.

A l'aide des moyennes arithmétiques ainsi définies, démontrons tout d'abord le théorème important de M. Hadamard sur la sommation de la série de Taylor aux points réguliers du cercle de

(i8) lim -^ = o (£> o),

(i) Knopp, Grenzwerthe von Beihen bei der Annàherung an die Konvergenzgrenze, 1907, p. 19.

(-) ScHNEK, Die Identitàt des Cesàro'schen und Hôlderschen Grenzwerthes {Math. Annalen, t. LXVII, 1909, p. iio).

56 CHAPITKE II.

les moyennes aritJunéliqaes d'ordre r ont une limite bien déterminée en chaque point régulier du cercle et celte limite est la valeur de la fonction f{x) = Sa„.r" à ce point.

Pour le démontrer remarquons que, à cause (Je(i8),/(^) est d'ordre moindre que /■ + i sur le cercle de convergence et que ^c étant le point régulier en question,

où

est holomorplie. Il en résulte que

\y^,^aax'^x^^ = ^'è\'p{x,)x^^= -

{i-xy-^^^ " ' ^^ /^ V "/ (,^)/-+i {v-xY

et la dernière partie du second membre est, comme f\{oc)^ d'ordre inférieur à /• -f- i sur le cercle entier car, d'après les propriétés de l'ordre, le facteur (i — x)"'' ne change pas l'ordre dans aucun point du cercle, sinon au point i , dont l'ordre est au plus /•. Le rapport des coefficients tayloriens de la seconde et de la première partie du second membre tend donc vers o. On en conclut i\ la relation

ce qui démontre enfin, en tenant compte des propriétés bien connues des coefficients binomiaux BJ[^^\ que

\\n\s\'p{xQ)= /{xq), comme il fallait le démontrer.

12. M. Marcel Riesz (^) a généralisé ce résultat en montrant, jjar un calcul qui ne manque pas d'intérêt, que la condition (i8)

( ' ) M. HiKsz, Sur les séries de Dirichlet et les séries entières {Comptes rendus, •séance du a^ novembre 1909).

peut être i-emplacée par la condition plus générale

lim — : = o,

n = <*> fl

sans qu'on ait à modifier le théorème. ISous ne reproduisons sa démonstration que pour le cas /" = i , et supposons, pour simplifier l'écriture, que ^•(,= i .

J3'après le théorème de M. Fatou, la série

est convergente en x =\ car, par hypothèse, ses coefficients tendent vers o pour n = ce et le j^oint i est régulier. Les sommes

et, a fortiori^ leurs moyennes arithmétiques tendent donc vers ':^{\), Mais

Il ^ I 2 * * ' /i 11

ce qui nous montre que

lim i^ = o

(.v„ =z rt^-|-ai+ a2-4-...-T-a„).

n^oD n

D'autre part,

Sçs-^ S^-\-...-^Sn-\ 1 Sn

lî 1 1 1"' ■ 1 ''"-'1

de façon que

Supposons maintenant qiiey(i) =:/'(])= o, ce qu'on peut toujours réaliser en ajoutant ^/(x) une expression a 4- bx convenablement choisie, et appliquons le théorème de M. Fatou à la série

58 CHAPITUE II.

On le peut, étant donné que la fonction représentée par elle est liolomorplie au point i . Il en ressort (|ue la limite de ^J/^ existe, comme il fallait le démontrer.

Par un passage de /' — i à /•, on établit ainsi facilement la proposition pour ;• entier. Ajoutons une remarque générale qui est en quelque sorte la réciproque du théorème précédent. Si les 5^f (^o), pour /i == 00, tendent vers une limite bien détenninée A, f{x) s'approche indéfiniment de A quand on s'achemine vers ^o ^ l'intérieur du cercle sans y loucher.

Supposons, en effet, que

lim ^iL±ll^ = A, c'est-à-dire que

^ Il et soit/> un indice tel que | £//| <; î pour n^p. On aura

ao 00 00

P(^) est un polynôme de degré />. Mais, par définition,

de sorte que

I f{x) — A |< I I — ^ |'-+i \V{x)\-\-z\i — x !'•+» y B^r » ) 1 X 1", ce qui démontre notre remarque, car

et

I J rp] j

\\m\i — x\'-^'^V(x) = o, hmsup.-^ ; — L <^ ,

.r=l x=l I — 1^1 COSCpo

où, par hypothèse, | cpo| <! — •

L'existence de la limite de f{x) dans le voisinage angulaire (<7i) du point considéré résulte de l'existence de la limite des moyennes arithmétiques.

L ETUDE DES SINGULARITES SUR LE CERCLE DE CONVERGENCE. Sg

13. Regardons les points singuliers du cercle de convergence. En ce qui concerne les points d'ordre négatif on établit facilement le théorème suivant :

Si Yim n~''a,t=z o, les moyennes arithmétiques (r ordre r

tendent vers une limite dans chaque point jCq d'ordre négatif du cercle, et cette limite est la valeur dont la fonction s'approche indéfiniment quand x tend vers Xç^ à V intérieur du cercle.

La démonstration est identique à celle dont nous nous sommes servis pour le cas/- = o. On écrit/(^) = /, {x)-^ f2{x)\ f^{x) est d'ordre négatif sur le cercle entier, son développement taylorien, et a fortiori les moyennes aritlimétiques d'ordre /•, convergent en chaque point du cercle, en particulier en Xq. D'autre part /o (-2^) est holomorphe en Xq et l'on voit aisément que ses coefficients tajloriens c,i satisfont à la condition lim n~''c,i= o, de façon que,

d'après le théorème du numéro précédent, les moyennes arithmétiques correspondantes convergent vers /g (-^o)- Ces deux résultats réunis démontrent enfin le théorème en vue.

Pour les points de continuité, nous allons généraliser de même le théorème correspondant (p. 38) (^) :

Si V\m 7i^^'an^= o, les moyennes aritlimétiques d'ordre r

convergent en chaque point Xq du cercle oit Von a, pour toute courbe qui de l'intérieur du cercle de convergence aboutit àx^, lim/(;r) = A.

La démonstration consiste dans la réduction au cas /• = o par notre lemme fondamental de la séparation des singularités que nous allons exposer.

Soit donnée la série

ayant pour ravon de convergence l'unité, et ne faisons aucune

(') P. DiENEs, Comptes renduSy 191 1.

6o CHAPITRE II.

hypothèse supplémentaire sur les cin. Soit Xq un point du cercle de convergence.

Si, à Vintérieui' du cercle de couver gence^ (19) limsup. |/(:r)| = A(fini),

on peut poser

où fi {x) et f'ii^) sont Jiolomorplics à V intérieur du cercle de rayon 1 ; de plus^ f^{^) ^^t holoniorphe sur un petit arc comprenant Xo à son intérieur et lim b,i=^ o.

Par ce lemme, la singularité en Xf^ pourra être considérée comme appartenant entièrement à une fonction ayant un développement taylorien dont les coefficients tendent vers o.

Nous avons vu (p. 89) que la condition (19) entraîne l'existence d'un petit arc (a, (i), comprenant x^,, à son intérieur, tel que/(j7) est bornée dans le triangle Oa^i {fig. 4)- La formule de Cauchy

Fiff. 4

nous donne ensuite

f(x^~ ' f f(^)dz . 1 r f(z)dz .,^f.,

l'Kl J Z — X ITZl J r, Z — X '^ ' -^ ^ ^

P.Poaoa. - °''-^'-

Mais \f{x) I est bornée vers l'arc (a, p). On en conclut à l'existence

L ETUDE DES SINGULARITES SUR LE CERCLE DE CONVERGENCE. fil

de la limite de ^r(^), par conséquent à celle de fr{x) pour /• = i . I3'autre part

Mx)=^b,,{r)xn.

avec

fiz)dz

et l'on voit aisément que, pour /• = i , b,i{r) tend vers une valeur bien déterminée b^ le coefficient tajlorien de la fonction f^ (^x) = limyV(^). Montrons que lim b,i=z o.

/• = 1 71= aa

Posons à cet eflet x = /e'? et envisageons les fonctions examinées de X c(»mme fonctions de cp, ;• étant pris pour un paramètre. Remarquons tout d'abord que

r'f{^)dz ^^, r''^ \dz\

Jet, ^-^ A i-^-^r

A' étant supérieur au module maximum de f{x) dans le domaine triangulaire (O, a, ^3).

Un calcul élémentaire nous montre cependant qu'on a indépendamment de /• >- /'i > I a,) I

OÙ les constantes B et G sont déterminées uniquement par | ao |. En se servant convenablement de cette remarque, on voit que les fonctions/^(^), ainsi que leurs carrés, sont absolument sommables (intégrables) sur leurs cercles de convergence respectifs (de ravon égal à r pour fr{^) et contenant les seuls points singuliers possibles : ^ = 7.;. et ^ = ^,) ; et, de plus, les intégrales ainsi considérées ont une borne supérieure finie pour /' = i . 11 en résulte, grâce à la formule bien connue de Parseval relative aux coefficients des séries trigonomé triques, que la limite supérieure

pour/':r= I des quantités ^l'"" I ^"('■) I" ^^^ finie. On en conclut

(l2 CHAPITRE II.

enfin que la série ^|^//|^ est convergenle, c'est-à-dire que

lim b,i =0.

Si l'on remarque enfin que la fonction /:,(^) = lim cp,.(^)

;• rr 1

est holomorphe sur l'arc (a, p) comme sa forme d'intégrale le montre immédiatement, le leinme proposé se trouve établi.

l^es conditions du lemme sont satisfaites par la fonction f {x) qui, à l'intérieur du cercle, tend vers une limite A. On peut donc poser conformément au lemme

00 oc

f{x)=f,{x)-^Mx)=:'^bnOC'^+^Cr,X".

Comme lim bu= o, notre théorème de la page 38 nous assure que

les moyennes arithmétiques correspondantes ^■/^(^/^,^o) et a fortiori s\'^\bni ^0) s'approchent indéfiniment de A pour îi = oc. D'autre part, /2(^) est holomorphe en Xq et