c,i a,i — bfi

hm — = lim = o,

« = 00^'- „z=oc /l''

de sorte que nous pouvons nous servir du résultat du n*' 1^2, ce qui nous donne

lim .ç^,r(c„, Xq) =/2(a'o).

Enfin

ce qui démontre le théorème.

Si l'on pose /' = i , on voit en particulier que le théorème (p. 38) d'après lequel les moyennes arithmétiques ordinaires

tendent vers /(^o), reste vrai sans aucune modification, même dans le cas où les coefficients ne tendent pas vers o, mais

hm — = o.

l'étude des SIN{iULARITÉS SLR LE CERCLE DE CONVERGENCE. 63

14. Nous avons vu cependant que, plus généralement, on peut conclure de l'allure des moyennes arithmétiques à l'allure de la fonction. Par exemple, si les moyennes arithmétiques d'ordre quelconque sont bornées en valeur absolue pour /i i= oc, cette fonction, elle aussi, est bornée au voisinage angulaire (< -) du point considéré. Inversement, l'allure de la fonction peut déterminer celle des moyennes arithmétiques, comme nous allons le voir.

Les a,i étant tels que lim n~^'a,i=i o, siy à V intérieur du cercle

n:=to

de convergence^

Hm sup. I f{x) I ^ A,

on a nécessairement

lim sup. |5'„'''(a7o)I ^ A.

Le lemme fondamental s'applique de nouveau :

00 ao

et, d'après le n" 12,

(-22) nms\p{Cn,X(,)=f,{xo).

nz=ao

D'autre part, notre théorème (p. 47) nous montre que la 'suite \s\!'{bm^o)\ est bornée pour n = oD. Il ne nous reste qu'à faire voir qu'il en est de même des moyennes arithmétiques d'ordre r. Remarquons pour cela que

(•23) sr=2B'/;-/-'sr,

et supposons que les moyennes arithmétiques d'ordre /'< /■ sont bornées en valeur absolue, c'est-à-dire que

Nous devons conclure que

Mais, en général,

de sorte que (23) nous fournit l'inégalité

d'où, en posant r — /'= A,

1 Sr I < GA(,. + i)'" j^r + ;^ +. . .+ ^^^^\^, ,.] > c'est-à-dire

enfin, selon la formule

lim

on obtient

un sup. < -7-7 -

Nous pouvons donc affirmer que la suite | 5;f (6,j, ^0) | est bornée parce qu'elle l'est pour r — i , ce qui, joint à (22), démontre le théorème.

En résumé, si la suite s\'j'{xq) tend vers une limite A, la fonction s'approche de A quand x tend vers Xq à l'intérieur du cercle de convergence au voisinage angulaire (<C '^) àe ce point. Si celte suite n'a pas de limite, mais si elle reste bornée en valeur absolue, la fonction est indéterminée autour de Xq, mais elle est bornée au voisinage indiqué. Si, enfin, lim sup. | ^Jf (^0) | = ^7 la

fonction devient infinie au voisinage de ^o-

l'étude des singularités sur le cercle de convergence. 65

Les moyennes aritlimétlques d'ordre /• caractérisent ainsi en grande ligne l'allure de la fonction dans un point quelconque du cercle de convergence. Il nous reste à étudier plus particulièrement le cas oiW;;'^(^o) devient infini et montrer que le degré d'infinitude de cette expression coïncide avec celui de la fonction.

l'étude des POLES ET DES POINTS CRITIQUES ALGÉBRICO-LOGARITHMIQUES sur le CERCLE DE CONVERGENCE (^).

15. Supposons que/(j;) soit en ^o de nature algébrico-logarilhmique, c'est-à-dire soit

où ^<j{x) = XgX^i ^ Kg^x'i-^ -\- . . .H-Ao,/,(^-) est d'ordre c'< p en Xq. Si l'on suppose encore que

lim — = o,

nous avons nécessairement p < /• -f- i . On peut s'en convaincre facilement parle théorème de Cesàro.

Dans les conditions indiquées, on a

c'est-à-dire que la partie dominante de la singularité se décèle complètement dans les moyennes aritlimétiques d'ordre r — o.

Déterminons tout d'abord l'ordre de grandeur des moyennes arithmétiques des s,i d'ordre quelconque formées au point i pour

(') P. DiENES, La série de Taylor sur te cercle de convergence {Comptes rendus, igoS, t. CXL, p. 189), — 1*. D 11: ne s, £'ssat sur les singularités des fonctions analytiques {Journal de Matliématiques, 191 1). — M"'" V. Diexes, Note citée. — P. et V. Diexes, Recherches nouvelles sur les singularités des fonctions analytiques {Annales de l'École Normale, 1911)-

la fonction

log'7

Nous savons que les S\f de cette fonction sont précisément les s,i de

log-/

par conséquent, d'après (i5),

de sorte que

(25) hm " ^

n=«. /iPlog-Z/i r(p-l-aH-i)

Cette remarque nous fait connaître d'une manière précise l'ordre de grandeur des s\f^ en nombre q -+- 1 dont la somme forme

le 5if> de

P-z/log

en Xq. On. peut décomposer d'autre part/^ (x)

où ^2{^) est liolomorphe en x^ et l'ordre de ^i(^) sur le cercle entier est pi<C 0' -\- e <:^ p. 11 en résulte comme auparavant que pour n assez grand

/i étant aussi petit qu'on veut, c'est-à-dire que

(26) lim — — — = o ou lim — !i^ = o,

l'étude des singularités sur le cercle de convergence. 67

et, a fortiori^

qui entraine

lim ^ = 0,

lim — = 0.

Montrons que (26) est valable pour les moyennes arithmétiques d'ordre quelconque s'il est valable pour les Sn- Supposons plus généralement que pour r'> o mais inférieur à r, on ait

lim -^ = o,

et démontrons qu'il en résulte nécessairement

im — ■^— — o.

On a d'abord, par définition,

avec

lim £«= o.

Par suite^ en posant /' — /*'= a,

-rt-1 I

is',ri <. '--^'-^ ui-a ' •••^(,,-,)i-c

Soit a'<^ a <; I , et partageons la somme au numérateur en deux parties par le terme dont l'indice k de t est la partie entière de n — n^\ et soit £v le plus grand des quantités | tn^\ \, \ ^n-'i-, • • . ,

I tk\. Il est évident que lim £v= o? de sorte que la première partie

est inférieure à la quantité

tendant vers o pour n=^az. 11 en est donc de même de la pre-

mière partie. La seconde, à son tour, est inférieure à

,ia [x:i-a "^ (/f^gi-a "^•••"^ ,ii-aj'

où A est le plus grand des nombres | £/|. Mais le nombre des termes dans le crochet est/i*'; par suite, la seconde partie est inférieure à

qui tend évidemment vers o avec — •

Nous avons supposé dans la démonstration que /* — /•'<< i. iMais quelle que soit la valeur de cette différence, en appliquant successivement le même raisonnement un nombre fini de fois, on arrive au résultat général clierclié.

Dans notre cas /-'= o et /• doit être remplacé par /• — p. On a ainsi

lim — ^ = o.