Regardons d'autre part '•^..[x). IN" 12 nous assure que

lim s)p{cn, Xq) = ©2(^0),

nz=<x>

car 02(-^) est liolomorphe en Xq et lim n~'^Cn=^ o. Pour pouvoir

descendre aux moyennes d'ordre inférieur, établissons le lemme suivant où, pour plus de simplicité, nous supposons que

Si lim s\p =0, on a nécessairement pour j-' <; r

lim -^ = o.

Parlons de la formule

<{'■') V^ ry(r'—r]çi(r)

qu'on déduit facilement de la définition des S)|' et écrivons l'hjpo-

l'étude des singularités sur le cercle de convergence. 69

thèse que s\["' tend vers o sous la forme

On sait que

Br-'i> ^

d'où, en posant /' — /•'=: a, c'est-à-dire

Soit A" la partie entière de -; il est évident que

OÙ £v est le plus grand des termes | c,,|, | £„, |, . . . , | î/f| et

Cette partie du crochet, comme £v, tend donc vers o avec -• L'autre moitié

i^AH-,1 iv.i , ^ i^oi <B y ^,

OÙ B est le plus <;rand des | £/|. Mais le facteur de B est le reste d'une série convergente, car /i — /i — ^ tend vers oc avec /?. Nous, avons donc démontré que

c'est-à-dire que

,.^r(,-'^.)Sir' ■ ^„,„ jT ^„.

Dans notre cas, r' z= r — p, de sorte que

lin, ÊZHkll^ = o.

n=oo n?

Si l'on ajoute enfin que

5';-P'(a„, ;ro) = A^ s'^^Kq^ p) "^ A^-i s^'^^q - i, ?) -H- • .

-I- Ao s\';-P\o, p) + .ç<rP'(^«, ^o) 4- s['r^\cn, Xo),

et si l'on divise chaque membre par /zPlog^/i, on obtient le résultat (24). Le théorème proposé est complètement établi.

Inversement, si les s^l^'^^a:^), ou les moyennes arithmétiques d'ordre supérieur à /- — 0, satisfont à (24), la partie dominante de la singularité est

A^log'/

Regardons en effet la fonction

\~ x'o) Par hypothèse,

n-oo nPlog'7/l

c'est-à-dire

Appliquons le théorème de Gesàro aux deux fonctions

et

^lAf^=2srr.(,„,..„).

log?

: ^=ya,,xn.

Nous savons que

lim ; =

«=» n'Iog'Z/i r(/-|i)

par suite, que

linJS''-^'^^'-"')

Le théorème de Gesàio nous donne, par conséquent,

La partie dominante de la singularité, celle qui détermine l'ordre de grandeur de la fonction autour de ce point, est donc bien algébrico-logarithmique de degré (^, p) comme il fallait le démontrer.

17. Cette réciproque du tliéorème fondamental sur les points critiques algébrico-logarithmiques nous suggère un problème plus général. Les s,i(xo), par exemple, n'ont pas nécessairement un ordre d'infinitude aussi bien déterminé que dans les théorèmes précédents. Les modules des s,i peuvent avoir pour limite supérieure X tout en ayant des points limites finies. Même si les modules ont une croissance bien déterminée, les arguments peu- A^ent ne pas avoir une limite pour n=cc. Mettons-nous dans le cas général. Dans quelles conditions est-ce que l'hypothèse

(27) lim sup. \sn\ = ^

a pour conséquence nécessaire

(28) liml/(.r)| = =c,

du moins si Ton s'approche de i le long du rayon?

Dans les recherches de ce genre, c'est de l'influence des arguments des coefficients dont dérive la difficulté principale. Eneflet, si les coefficients sont positifs, (28) résulte toujours de (27), comme Abel l'a déjà démontré. D'autre part, les Sn de la fonction

sont — I , + I , — 2, -f- '2, . . . , — /?,+/?, . . . , de sorte que (an) est satisfait, la fonction a cependant la valeur — 7 en 1.

Sans avcir l'intention d'épuiser le problème posé, nous allons établir quelques propositions pour mettre en évidence la nature de l'influence des arguments dans les questions semblables. Nous avons besoin pour cela de l'inégalité, facile à vérifier,

lim inf.

pjgm,| p.^e^o(.,^

Pne^^'^l

cos ~

OÙ les nombres pA^'*^ se trouvent dans un angle a << t: du plan complexe (sommet à l'origine).

Soient données les fonctions

et

où, du moins pour n assez grand, les p,^e'*» se trouvent dans un angle a <- et supposons que lim (po-|-p,4-. . .-\-p„) = lim5„=cc^

ce qui entraîne, grâce au théorème d'Abel, que lim zi{x) = ce. En

ajoutant un polynôme à f{.x) on arrive à ce que tous les coefficients se trouvent dans l'angle a et un poljnome divisé par o(x) tend vers o pour a: = \ , Mais, dans ce cas, l'inégalité (29) nous dit que

où B est indépendant de x qui est supposé positif et < i . 11 en résulte que

oc

liminL^ >o,

l'étlde des singularités sur le cercle de convergence. 73

Tordre de grandeur de/(^) coïncide donc avec celui de 'f (-p)- En ce cas, les arguments n'ont pas d'influence sur le degré d'infinitude de la fonction.

Si Ton remplace la condition (27) par l'hypothèse plus restrictive

lini I 5/, I = oc,

et que les s,i se trouvent, du moins pour n assez grand, dans Tangle a -< tz, le même raisonnement, appliqué aux séries

oc oc

^^J^ =y|5,,:r« et o{x)=^\sn\x", nous montre que pour x assez proche de i

I — ce Mais la comparaison des deux séries

et

par la méthode de Cesàro, nous assure que

lim — — = lim ; = o,

il X o{x)

c'est-à-dire que

lim|/(:r)| = oc,

21. Mais le cas le plus général et, en même temps, le plus compli([ué est celui où les modules des Su ne tendent pas directement vers rinfini et où les arguments des coefficients ne sont assujettis À aucune restriction. Supposons pour le moment que les coefficients soient réels et que

(3o) limsup.i-;J-' =a<\

Si l'on a pour les s,i positifs

Il m su p. = X

n:rzx  -f- -

et pour les s,i négatifs

lim sup. ■ — ^ = A,

' n le

A étant un nombre fini ou nul, la fonction représentée par 2,(^fi'^" devient infinie d'ordre supérieur à k au point i.

En efïet, désignons le plus grand terme de la suite finie

par n ^a,,, dont nous savons que

. lim a^ = co.

Dans la suite finie considérée, prenons le terme qui diffère le , 1 moins de ai ^; évaluons le nombre des termes p qui est indispensable pour parvenir de ce terme au terme maximum. D'après (3o), p est plus grand que le plus petit nombre p' satisfaisant à la condition

n ^ ^^ {n — p')f^ -^ {n — p' -\-\)'' -\- . . .-\- {n — \y'-i- nf^^n ^a,,,

car ici nous avons construit le terme maximum à l'aide de termes qui sont les plus grands possibles.

Cette inégalité peut s'écrire encore

{n — p' )f' -^ {n— p' -^\)''= -\- . . .-\-{n — \Y'-i-n''^ri ^{oLn—i)= Ji^' n^{'^n — ^)\

donc

car le second membre est le produit de deux facteurs dont le premier est le plus grand terme du premier membre.

Construisons maintenant S«.

D'après le raisonnement donné, le nombre des si^i'Sn) qui sont

plus grands que Ji '^ est au moins n'(ci.n — i); donc ils donnent

une partie de S„ d'ordre plus élevé que A -+- i . Les autres termes positifs ne peuvent pas diminuer cet ordre, de même que les S« négatifs, leur somme, en valeur absolue, étant inférieure à A/^^■'"*. Nous avons donc démontré que

liin -^ — = o.

n=x, Ofi

Appliquons maintenant le théorème de Cesàro sur les deux fonctions

et

(I — ;r)' jLd " En remarquant que, d'après un théorème de M. Appell (*),

et que, par suite,

on obtient

lim - — = r(A -h i),

lim — — = o.

,. (I — :r)^+2 ,. I ,. hn

lim — — ^ = lun ; -jrj} — r = nm — = o,

ce qu'il fallait démontrer.

Affranchissons-nous enfin de la restriction que les coefficients soient réels. Le théorème correspondant s'énonce :

Si l'on peut former des s,i deux groupes , de manière que tous les termes s„^ du premier groupe se trouvent dans un angle a < - du plan complexe {sommet à V origine) et si pour ces termes

Il ^

(') Appell, Sur certaines séries, etc. {Comptes rendus, t. LWXVII).

7() CUAP. II. — ÉTUDK DKS SINGULAlUTtïS SUR LE CERCLli DE CONVERGENCE.

et si^ pour les autres termes .s„ ,

Iim sup. — j- = a,

a étant un nombre fini ou nul, la fonction représentée par ^ ag x^*

n=zO

devient Infinie cV ordre supérieur à k au point i .

Tout ce qu'il faut ajouter au raisonnement précédent pour le démontrer, c'est que

pour X positif, inférieur et assez proche de i et que, d'autre part,

Nous laissons au lecteur le soin d'établir la démonstration détaillée qui ne présente d'ailleurs aucune difficulté.