ÉTUDE GÉNÉRALE DE LA SOAIMATION DE M. BOREL
1. L emploi des moyennes arllhmétlques d'ordre quelconque n'est pas sans restriction. Il exige que les coefficients de la série de Tajlor étudiée soient à croissance finie, c'est-à-dire qu'il y ait «n nombre k tel que
lim — — n^^ II''
Dans le cas général où les coefficients ne sont plus assujettis à une telle condition, on doit donc s'adresser à des méthodes plus perfectionnées. Une autre exigence non moins importante est que la méthode cherchée soit simple pour pouyoir être utile dans les recherches théoriques et pratiques. La sommation exponentielle de M. Borel, qui consiste à remplacer les s,t{x)^?iv\QnYs, jnoyennes exponentielles
satisfait, comme nous le yerrons, à chacune des deux conditions.
Pour étudier les propriétés principales de ces moyennes, prenons une série numérique quelconque, réelle ou complexe,
<l) «0+ Wl4- «2-r-. . .-^ W/i-f-.. .,
et formons les moyennes exponentielles correspondantes
(') Voir à ce sujet les Leçons si suygeslives de M. Iîorkl, Sur les séries divergentes. Paris, Gauthier-Villars, 1901. En particulier pour les références, p. 94.
78 CHAPITRE m.
où
5,j = Wo -+- "i -H ...-+- "w .
Si la série (i) est convergente et a pour somme 5, on a
lim B( a) = s,
ce que nous exprimons en disant que la série (i) est sommable par les moyennes exponentielles.
En effet, dans ce cas,
Sfi^= s -\- z,i ; d'où
lé'"!?.
Mais, d'après le théorème de Gesàro,
un £,j= o.
Ce qui donne le résultat voulu.
D'autre part, il arrive réellement que la limite de B(«) pour a = 00 existe sans que la série (i) soit convergente. La sommation par les moyennes exponentielles est donc plus puissante que la sommation ordinaire. Remarquons cependant que, quoique la sommation par les moyennes exponentielles réussisse souvent pour les séries dont les termes ne sont pas à croissance finie et que, par cela, elle paraisse plus générale que la sommation par les moyennes arithmétiques, il peut arriver pourtant que la suite
^oH- ^1
tende vers une limite pour /i = oo et la limite de B(a) pour a = oo
LA MÉTHODK DE LA SOMMATION EXPONENTIELLE. 79
n'existe pas. C'est le cas de la série
pour X ^= i (').
2. Mettons nos moyennes exponentielles sous forme d'intégrale afin que nous puissions les étudier plus facilement. Soit
On voit tout de suite que
B{a)—iio=J -^[e-c'.s{a)]da = j e-^[s'{a) — sia)] da ;
ou bien, si l'on pose
on a
c'est-à-dire
(4) B(a) — «0=/ e-^u'(a)da.
On peut encore simplifier cette formule par une intégration par partie. En effet
Je-'"^ u'(a) da = [e-'^ u(a)\^-{- j e-^u{a)da, 0 »- 0
et nous allons démontrer que si B(a) ou, ce qui revient au même, si l'intégrale du premier membre a une limite pour « ^ oo, il en est de même de l'intégrale du second membre et Ton a nécessairement
lim e-« u{a) = G.
( ' ) Hardy, The application to Diriclilet's séries of Borel's exponential metliod of summation {Proceedings of the London Mathematical Society^ séries If, vol. VIII, 1910, p. 286).
8o CHAPITRE III.
Nous établirons ainsi l'égalité
(6) / e-^u'{a)da=: — ^«0+ / e~'^ u{a)da.
Je-'^ li' {a) da =^ — ?«o+ / e~'^ u{a 0 «-^0
Pour démontrer la première partie de l'énoncé, supposons (jue la première des intégrales
j e-^ u'{a) da, j e-"^ Li{a
) dtiy
ait une limite bien déterminée pour a =: oo et que la seconde n'en ait pas, et montrons que cette hypothèse nous amène à une absurdité (*). Posons à cet effet
e-« ii{a) = 9(a) = 'f i(rt) + io.2{a).
Par hypothèse, la limite
lim / f cp(a) + cp'(a)J fl?a
existe et la limite
j o' (a) (ta = lim / c^[(a) da -+■ i Um 1 o'^{a)da,
c'est-à-dire la limite de o{a) pour a = ao n'existe pas. Supposons pour fixer les idées que ce soit cp< (a) qui ne tende pas vers une valeur bien déterminée pour <2 := 00 et supposons sa limite supérieure d'indétermination positive. On peut alors désigner deux suites de points a,^, [i,i tendant vers l'infini et telles que
liinçi(a„) = A et lim cpi(^,i) = B > A ^ o.
Soit H une quantité positive inférieure à B — A. On voit aisément qu'on peut former des y.,i et des [B/^ deux suites ^v et ,rv-l- Ov où ^v+ ^v<C ^v+i et telles que
(f[(a)dar= cpi(;rv-i-8v) — oi(a;v) > H.
(') Cette démonstration est due à M. Hardy, Besearches in tlie tlieory of divergent séries and divergent intégrais {Quarterly Journal of Mathematics, vol. \X\V, 1904, p. 3i).
LA AIKTIIODi: DE LA SOMMATION KXPONEM lELLi:. Si
Si '■^i(a) n'a qu'un nombre limité de zéros dans TinlerNalle (o,-i-oo), on aura, pourrt, e est-à-dire pour ai assez grand,c5|(r/)>>o: donc, a forllori^
f?i(«) 'T-o\{(i)]chi
ce qui est en contradiction avec l'hvpotlièse que (-]) existe.
Si '^{(a) a une infinité de zéros, on prend pour x^,-^o^, les mêmes j^,, et pour x,, le plus i^rand zéro de w,(«) inférieur à [i^, et l'on arrive à la même conclusion.
Passons à la seconde partie de notre remarque. Il est évident, d'après ce (ju'on vient de lire, (jue e ~" u{a) a certainement une limite pour a = az, étant donné qu'elle est la dilVérence de deux expressions dont chacune tend vers une valeur bien déterminée j)Our a = X. De plus, si la limite ainsi mise en évidence était différente de o, le raisonnement précédent montrerait que la limite de »(«) pour « =r oc n'existe pas.
Si Ton ajoute enfin que
on obtient, ^râce à l'équation (5), la formule définitive de M. Borel :
as
( 8 ) lim B ( 6r ) = / e-« u(a) da .
3. Nous avons vu que l'intégrale (8) a toujours un sens quand B(a) a une limite pour « = oo. L'inverse n'a pas lieu nécessairement. La sommation par l'intégrale (8) est donc plus générale que la sommation par les moyennes exponentielles B(rt). Nous dirons que la série (i) est sommahle ( B) si l'intégrale (8) a un sens.
L'emploi de cette intégrale présente cependant des difficultés non sans analogie avec celles des séries simplement i^et non absolument) convergentes. Pour y échapper, nous allons restreindre la généralité de l'intégrale (8) par l'introduction de la notion de sommabilité absolue. Nous dirons que la série (() est absolument sommable (B) si chacune des intégrales
da {\ — ç,,\.i xj
a un sens. II est évident qu'une série absolument sommable (B) est sommable (B) et qu'elle est aussi sommable par les moyennes exponentielles, B(a). En effet, la condition (9) montre, pour A = o, que l'intégrale (8) a un sens, et pour A =: i , que l'intégrale (4), c'est-à-dire B(«), a une limite bien déterminée pour a = oc. La sommabilité absolue (B) est donc la moins générale des trois sommabilités étudiées à présent.
Examinons brièvement l'effet de l'addition et de la soustraction d'un terme sur la sommabilité de la série (i). 11 s'agit d'établir la relation de la sommabilité de la série (1) à celle de la série
On voit facilement que la fonction qui correspond à «(<:/) dans le cas de la nouvelle série (i') est justement «'(«), de sorle que l'é(}uation (5), jointe à la remarque qui la suit, nous démontre la proposition : si (1') est sommable (B), (i) Uest aussi, mais pas inversement. Comme les moyennes exponentielles B(a) s'expriment identiquement \^voir (4)] par des intégrales de même espèce, il est démontré que si{\') est sommable par les moyennes exponentielles B(a), (i) l'est aussi, mais pas inversement.
Supposons maintenant que (i') soit absolument sommable (B). // en résulte encore que (i)est aussi absolument sommable (B), Il suffit de démontrer pour cela que l'intégrale
e~^ I u{a)\ da a un sens lorsqu'on suppose que
;-« \u' {a)\ da
en a un.
Mais
I u{a) 1 ;^ I Mo 1 -+- / I u'{a) I da de sorte que si l'on pose
^0 on a
I u{a)\ < I Mo ! -+-cp(rt).
Il suffit donc de démontrer (jue
/ e-« '^{a)da a un sens si l'on suppose que
en a un, les fonctions cp et -û' ('tant positives.
Par hypothèse, t étant donné arbitrairement, on peut (ixcr h tel que
Jf e-'^o'(a)da <t. b'>b:
a fortiori.
Le nombre b étant ainsi fixé, on choisit un b^^ b tel que, pour a:> bf, on ait e"^ cp(6) < z. On aura ainsi, pour Z>'> ^,,
c~-f^' o(b') < '2 c, c'est-à-dire
lini e-'< 'fia) = o.
Mais
Ji e-^ (^ {a) da — I e-<f o'{a) da — [e-/^ o{a)]'^,
ce qui démontre la proposition.
En tout cas, si la somme de (i) existe, désignons-le par s', la somme correspondantes de (i) existe aussi et l'on a l'égalité
(lo) s — u^-i- s'.
Au cas de la troisième métliode, linverse est vrai aussi : Si (i) est absolument sommable (B)^ (i ) l'est aussi. En elFel, la condition de la sommabilité absolue, l'existence des intégrales {[)) pour A =: o. I, 2, .... 00, sont vérifiées pour (T) lorsqu'elles sont vérifiées pour (i). En particulier, l'intégrale
/€'" II' {a
)da
a un sens d'où Ton conclul, grâce à (5), que e~" cp (a) = 'f » (a) -\- 1'^-2 (a) a une limite bien déterminée pour a = ce. Mais on peut voir facilement que cette limite ne peut être (|ue zéro, ce qui établit de nouveau Tégalité (lo). Supposons, en effet, que
lim çi (rt) = A > o,
cV^st-à-dire que, pour « >> ^,
cp,(«)>A'<A.
IN ou s aurons
el, conlrairement à notre hypothèse, rintéi;Tale
/ e-« liia) du n'aurait pas de sens.
i. Les séries absolument sommables (B) se rapjjrochenl donc (hîs séiies absolument convergentes. On peut, dans une telle série, intervertir le rang d'un nombre limité de termes ou remplacer un certain nombre de termes consécutifs par leur somme, ou inver- )»ement remplacer un terme par une somme d'un nombre fini de termes sans altérer ni la sommabilité, ni la somme de la série.
Kt les séries absolument sommables (B) sont vraiment dans le sens positif et dans le sens négatif du mot la généralisation des séries absolument convergentes.
i*^ Une série absolument com-ergenle es/ abso!ument sontmable (B).
?/' Il y a des séries simplement (mais non absolument) convergenles qui ne sont pas absolument sommables (B).
\a\ sommabilité absolue de M. Borel n'est doue pas la généralisation de la notion de la convergence; elle ne généralise que la notion de la convergence absolue.
\ oici la démonstration de la première proposition. La série
oc
> I //// 1 étant supposée convergente, soit 5 sa somme. Le théorème
de M. Ccsàro nous montre que
liiii e-- y. I «0 1 + I ih I H-. ...~ I Un\ ) ^ = 5, II— a
c'est-à-dire (ju'en posant
on a, i^ràce à l'équation (4),
lim / e « \j'{a)da = s — \ ii^ [.
De même, de la convergence de la série | ;/> | -{- | (r,^^ | __ . . .^ [[ résulte que l'intégrale
a un sens. On peut en conclure, comme précédemment, que
lim e-« Lî(a) = o,
par conséquent que l'intégrale
Jf e-'i \}{a)da
a aussi un sens.
Si l'on remarque enfin que ^
la première proposition est établie.
Pour démontrer la seconde, citons l'exemple de M. Hardy ('), où le terme général de la série, si \f7i est entier, est
(') Loc. cit., p. ij.
8(i CHAPITRE m.
el les autres termes sont zéros. M. Hardy déinonlre que l'inté- «;rale correspondante
/e-^\u(a)\da
n'a pas de sens.
Indiquons encore brièvement deux propriétés importantes de la sommation exponentielle. Si les deux séries ^f(,i et Sc,^ sont sommables (13) simplement, absolument, ou par les moyennes exponentielles et si leur somme est ii^ respectivement r, la série ^(aun -h bi^n) est sommable (B) simplement, absolument, ou par les moyennes exponentielles. La démonstration en est immédiate.
Si les deux séries 11 Uu et Se,/ sont absolument sommables (B) et si Ton pose <v'/^ -- Wo^'// + «i ^^ /?» + ••• + '<// <',), la série Stv,, est absolument sommable (B) et sa somme est ui^. CiOmme nous ne nous servirons pas de ce tbéorème, nous renvoyons le lecteur aux Leçons sur les séries divergentes de M. Borel (p. i o4), où l'on en Irouve une démonstration élégante.
o. Passons maintenant à la série de Taylor. jNous allons démontrer deux propositions réciproques concernant la sommabilité d'une telle série,
(II) f{x)=^anX'K
n=zO
En voici la première. Si la série (ii) est absolument sommable (B) pour X ^= Xq=^ poe'^"j elle est absolument sommable (B) sur le segment entier (o, Xo). De plus, cette somme est une fonction analytique de x, qui na pas de point singulier à V intérieur du cercle ayant pour diamètre (o, Xq).
Pour cbaque valeur de .r, on a tout d'abord une u{a) correspondante
■^^ Cl"
a(a,cc)=y a,t,x" — r— F(a;a).
La transformation ap = b, si l'on pose après x = pe'^o, remplace les intégrales à considérer,
(la
• oc
= x'^ I e-« \¥'^^\ax)\ da
LA MKTllOOE DK LA SOMMATION KXPONKXTIELLE.
par les intégrales
Par hypothèse, ces intégrales ont un sens pour p = po? et, pour p << po: elles ne diffèrent de ces dernières que dans le facteur
^ <ie ?». La première partie du théorème est établie. Pour démontrer la seconde, remarquons que, d'après le même raisonnement, les intégrales
- j e '-\ F;X'(6e'9o) \db ont toujours un sens quand
c'est-à-dire elles ont un sens pour les points 3 ([ui satisfont à la condition
Si l'on pose x = ze^^», on voit que ce sont les points à l'intérieur du cercle de diamètre (o, X'o) qui sont déterminés par cette condition. Il en résulte, en particulier, que l'expression
e~ -F{be'%)db
détermine une fonction visiblement holomorphe de la variable :;, par conséquent de la variable x=ze'^'> à l'intérieur du cercle considéré. Comme, d'autre part, le long du segment (o, Xq), cette fonction coïncide avec la somme de la série sommable (i i), elle est nécessairement le prolongement analytique de J (x) . Notre proposition est complètement démontrée. Remarquons cependant qu'il n'en résulte nullement que la série (i i) soit absolument sommable (B^ à l'intérieur de ce cercle.
Inversement, si f{x) est holomorphe à V intérieur et sur la circonférence du cercle c de diamètre (o, Xq), la série (i i) est absolument sommable (B) sur le diamètre du cercle, y compris son extrémité Xq.
On peut tracer, [)ar hypothèse, un cercle c' concentrique à c et
<ie rayon R'>> ' à l'intérieur duquel, de même cjue sur sa
circonférence, f{x) soit encore holomorplie. Soit (o', x'^) le diamètre ([ui coïncide avec {o^Xq) à l'intérieur de c. Calculons ha fonction u{a. x) correspondante en se servant de la formule de C^auchv,
On ohtienl
ii{a,x} = ; / f(z)y — '—dz— : / •!- ^e- dz
nz=0 *■■
et
Supposons X choisi de telle façon que, lorsque z parcourt ht circonférence c', on ait
cl soit M le module maximum de '-—7^ sur c' . On a ainsi
e~<' I u{ a, x)\<^ I e-~"-^ \ dz \ = MIV e-^'-. Par conséquent, l'intégrale
/ e-« I it (a. :r ) \ da
a un sens. Et, comme on le voit facilement, il en est de même de; intégrales
da.
Explicitons maintenant la condition (i>,) : le point ;=za-|-/[j étant iîxé, traçons la droite
tiont l'équation est, en posant ^ = ; -4- /r^,
elle passe donc par :: et elle est normale à la droite passant par :; et par Torigine. Le point ;; étant fixé, la condition (12) est donc satisfaite par tous les points du plan x qui se trouve du même coté de celte droite que Torigine. Si :; parcourt c\ l'enveloppe des droites ainsi construites est une ellipse qui contient le segment (o, ^0) à son intérieur. Le théorème est démontré. '
Les deux dernières propositions déterminent exactement le domaine où la série considérée (1 i) est absolument sommable (B). Tout d'abord, die est absolument sommable (B) dans les points réguliers du cercle de convergence. Yln ellet, on peut tracer un cercle passant par l'origine qui contienne ce point régulier sans qu'aucun point singulier soit situé à l'intérieur ou sur la circonférence de ce cercle. Mais le domaine de sommabilité peut dépasser considérablement le cercle de convergence. Faisons, en eflet, la construction suivante. Dans chaque direction (o,x) prenons le premier point singulier et traçons la droite normale à (o, .r) passant par ce point singulier. En chaque point à l'intérieur du domaine, fermé ou ouvert, ainsi délimité, la série (i 1 ) est absolument sommable (B), car le cercle d'holomorphie existe pour chacun de ces points. Nous exprimons ce fait par l'énoncé : la série {w) est absolument sommable (B) à V intérieur du polygone de sommabilité.
La première proposition nous assure enfin (|ue la série de Taylor envisagée n'est pas absolument sommable (B) à l'extérieur du polygone. Sur le contour du polygone, correspondant à cet égard au cercle de convergence, la sommabilité est douteuse.
L ETUDE DE LA SÉRIE DE TAYLOR A COEFFICIENTS QUELCONQUES AUX POINTS SINGULIERS DU POLYGONE DE SOMMABILITÉ (* ).
6. Nous avons vu que les moyennes exponentielles, c'est-à-dire les limites pour a = oc, représentent bien la valeur de la fonction aux [)oints réguliers du cercle de convergence, mais elles peuvent avoir une limite aussi dans d'autres points du cercle. Par exemple, soit Xq un point singulier d'ordre négatif situé sur le cercle de
(') Voir surtout le Chapitre III de noire Essai dans le Journal de Mathématiques 1909 et la Note citée des C li., t. 153, page 804.
yo CHAPITRK III.
convergence, ou sur un côté et non dans un sommet du polygone de soinmabilié et soit /(.ro) la valeur limite de /(./') quand on s'approche de .Tq.
, On a nécessairement
(i3) lim B(a, a^o) =/(:ro).
Nous pouvons écrire, en efî'et,
où f\{x) est d'ordre négatif sur le cercle entier dn rajon \x^\ et f-y{x) est liolomorplie en Xq. De plus, ce point se trouve à l'intérieur du polygone de sommabilité attaché à/oi^), ^'^i^ oii bien .^o est sur le cercle de convergence et alors la remarque est évidente, ou bien il se trouve sur un coté du polygone attaché kf[x) et, dans ce cas, le contour du nouveau polygone coïncide avec celui du premier, sauf que le côté passant par .r,, est bifie.
Mais, d'après le théorème correspondant du Chapitre précédent, la série de Taylor, qui représente/*, [x) à l'intérieur du cercle de rayon |.roj, converge encore en Xq,
lim 5;,(xo) = /i(^o) et, a fortiori^
(M) 'im c~" y 5;j(^o) -T =/i(^'o)-
a =00 Jm^ n\
D'autre part, grâce au théorème fondamental de M. Borel, démontré dans le paragraphe ])récédent, les moyennes exponentielles relatives à f->(x) et formées en .ro, tendent, pour a=:oc, vers la limite bien déterminée /'o (-^o)? de sorte que
lim e-« > s"„{xq)— =/2(^o),
n =r oo ■'■^" iT' •
ce qui, joint à (1/1)5 nous donne
oc
lime-«y [5;,(;ro)-f-5;;(;ro)]^ := lim e-^V .ç„(.ro) ^ =/('?^o).
Le théorème est démontré.
LA MKTIIODK l>E I.A SOMMATION EXPONENTIELLE. ()!
Si/(^) esl d'ordre négatif an point X(, du cercle de convergence, elle a nécessairement une limite bien déterminée quand on s'approche d'un point quelconque d'un petit arc de cercle comprenant ^^0 à son intérieur. ÎNous disons dans ce cas que la fonction limite de fix) existe pour cet arc; d'ailleurs, cette fonction limite est continue et à écart fini dans le cas considéré.
Supposons encore que la fonction limite existe pour un tel petit arc. On a le théorème :
Si la fonction limite de f{x) est continue et à variation bornée en Xq^ on a nécessairement
lim B(rt, Xq) =/(a7o).
Gomme par hypothèse,
limsup. |/(:r)[^A,
nous pouvons décomposer /(a;), grâce au lemme général de la séparation des singularités (p. 60), de telle façon qu'on ait
f{x) =Mx) -^Mx) =^ ^„^"-+-2 ''"•'^"'
oùlim6/i = o et /:,(j;) est holomorphe en Xq. D'ailleurs, la
fonction /, (j;)=/(>p) —/oi^), comme les fonctions/ et /o, est continue et à variation bornée sur un petit arc de cercle comprenant Xq à son intérieur. Le théorème de la page 36 nous assure donc que la limite
lim (60-^ ^1^0 — . "^ l>nK) =/i(^o)
existe et, a fortiori,
lirne-'î V (^0— ^i-2"o-i- • • -"^ ^«^û)tT =/i(-^o)-
La démonstration s'achève, dès lors, comme celle du théorème précédent.
De même, si Xq se trouve sur un côté (et non dans un sommet) du polygone de sommabilité. La série de Taylor qui représente
ciiAi»iTi\K m.
f\{oc) aiiloiir de Toriglne aura \xq \ pour rayon de convergence, car, dans la décomposition de/(.2^), on peut prendre pour chemin d'intégration le segment (a, [i) d'une part, et la ligne [iyosa de l'autre {fig. 5). Il suffît d'ajouter cette remarque au raisonnement
précédent pour démontrer le théorème en question. En résumé :
Les moyennes exponentielles ont une limite pour a = œ en chaque point du cercle de convergence ou du polygone de sommahilité (sommets exclus) au voisinage duquel f{x) a une fonction limite continue et à variation bornée.
7. Si l'on ne suppose plus l'existence d'une fonction limite, on doit recourii- aux moyennes exponentielles
oc
formées par les moyennes arithmétiques simples des s,i{xq).
Par le lemme fondamental de la décomposition de f{x) (p. ()o), joint aux théorèmes du numéro i du Chapitre II, on démontre facilement les théorc'uies suivants :
Si à V intérieur du cercle de convergence ou à r intérieur du polygone de sommahilité
lim J\x) = A, on a nécessairement
lim B "( «, a^o j — A.
LA MKTHODE DK LA SOMMATION EXPONENTIELLE. g3
Plus généralement, si à V intérieur du cercle de convergence ou à i inlérieur du polygone de sommabilité^
lira sup. 1/(3-)]^ A,
on a nécessairement
En résumé, la suite
<ï3) lira B ' («,iro),
formée en un point singnlici- du cercle de convergence ou du polygone de sommabilité (sommets exclus), nous décèle Tallure générale de la fonction en ce point, même si l'on ne fait aucune I hypothèse sur les coefficients tayloriens qui définissent y*(:r).
En efTet, si la suite (i 5) a une limite bien déterminée, f{x) en a s de même pour x = ^0? <i" moins le long du ravon [o^Xq). Si (i5) f n'a pas de limite, mais si elle est bornée en \aleur absolue, f{x) est indéterminée à l'intérieur du cercle ou du polygone au voisinage de Xq, et elle est bornée à ce voisinage. Enfin, si la limite supérieure pour « = x de |B^''(rt, Xo)| est infinie, /(.r) devient infinie au voisinage de ^Tq.
Regardons de plus près le cas où (10) n'est p:is bornée. Il en résulte, en particulier, que |B(<:^, Xq)\ n'est pas bornée non plus pour rt = x. Nous allons voir que le degré d'infinitude de ces moyennes exponentielles simples pour a = oc, et, a fortiori^ celui de B(*^(a, ^To), est en relation directe avec le degré d'infinitude de/( ;r) en x^^.
8. Pour cela, nous devons établir quelques propriétés relatives à la croissance des fonctions entières dont nous nous servons pour représenter la fonction donnée. Afin de montrer l'idée fondamentale de la méthode qui nous conduira à ces résultats, nous allons examiner tout d'abord la fonction exponentielle.
Soit donné
M. Borel ( ' ) a remarqué que l'ordre de j^randeur d'une fonction entière à coefficients positifs ne dépend pas également de tous les termes de la série; au contraire, si ronn'exij;e pas une évaluation très précise, un ou quelques-uns de ces termes^ qui s'éloignent d'ailleurs à l'infini pour <:?=:go, donnent déjà l'ordre de grandeur de la fonction.
Nous allons développer cette idée pour évaluer exactement le degré d'infinilude de certaines fonctions entières à coefficients positifs.
Prenons k pour un nombre positif supérieur à i, et désignons
par b la partie entière de j^ de sorte que
a où
La somme des b premiers termes du développement de e" divisés par e^^ tend vers zéro pour a^=^cc.
En effet, pour un a quelconque, les deux plus grands termes de la série envisagée sont ceux dont les indices sont a — i et a; par suite,
Appliquons maintenant la formule de Stirling sous sa forme
OÙ
lim r/^)
Nous avons
et
MiL)<,
(„) Aiî)< h!L
r^{b){b-\-ife ^''
(ME. BoRKL, Leçons sur les séries à ternies positifs, p. âS.
LA MKTHODE DE LA SOMMATION EXPONENTIELLE. gj
car
a</c(b-hi).
Examinons maintenant le quotient
Pour que ce rapport tende vers zéro, il suffit que
ce qui est évident, étant donné (jue
ilc — xY-
Posons
uit nous savons que
L'inégalité ((-) peut
donc
s'écrire
ou
Iim SUD. = G.
D'où Ton conclut que, /• étant un nombre quelconque, (i8) lim = G,
9. Regardons de plus près les termes du développement c" dont les indices sont supérieurs ou égaux à la partie entière de ak.
Je dis que la somme de ces termes divisée par «?" tend aussi vers zéro.
Désignons par b la partie entière de ak, de sorte cpie
ak = ô -r- r,, OU
96 CHAPITUK m.
I^^crivoiis la somme envisaoée sous la ionne
lU^O = 7-1 I -+- 7 -^ 7 7 ■■"••• '
et remarquons que
fia < 6 -4- I , c'est-à-dire
et, afortioii\
ôh<r .
D'où il résulte que
Appliquons de iu)uveau la formule de Stirlini; sous la forme (]()): nous aurons
et
^" ^^' ' r,(^b)(ù-hiy kf> e~'^^'^ -^.+1^
car
Démontrons que
grt(/.-i) lirii — := o
LaU
pour cela, il suflit qu
On peut vérifier cette iné*j;alité de la façon suivante : Ecrivons-la sous la forme
et prenons le logarithme des deux membres (19) Â-KÂlog/.-.
Il suffit évidemment de vérifier cette inégalité plus simple.
Au point  = I , toutes les deux fonctions de /r, A— I et Âlog/.,
prennent la valeur zéro. Dans le point /. = e, la fonction /. lo- /.• est supérieure (de Punité) à la fonction A — i . Donc, si, pour /.>i, l'inégalité (19) cessait d'être vérifiée, la dérivée de la fonction
A logA -(/.--,)
devrait avoir une racine supérieure à i. Mais celte dérivée est justement log A. On peut donc poser
avec
Par suite, nous concluons comme auparavant <pie, /• étant un nombre quelconque,
< ^oj II m — . — ()^
x\joutons qu'on peut démontrer de la même manière que le terme maximum, et, par suite, la somme d'un nombre fini de termes divisée par e«, tend aussi vers zéro. L'ordre de grandeur de e/^ n'est donc déterminé que par un nombre toujours croissant de termes, et nous avons essayé de réduire le nombre des termes importants au strict minimum.
10. A l'aide de ces considérations, nous allons démontrer le théorème suivant :
Soi/ donnée la fonction entière
OÙ
r^t ) lini -^ = a,
p étant \\\\ nombre réel quelconque. IJ ordre de L:randenr de Ici fonction f{a) est déterminé d' une manière très précise par
<,S CIIAPITHK III
V é<l nation
(22) li»! = ^•
fia) ai'c'^
