V.w efîet, d'après la condition

o(.r) = %ni' -T- z„ni'

aNoc

liin£,ii= o.

Par suite,

oc 00

Cl. d'après le théorème de Cesàro,

lim^:^:^^ = lims„ = o.

, /i II — X,

suffit donc de déterminer Tordre de grandeur de la fonction

Pour cela, nons allons étendre à cette fonction les résultats acquis tout à Tlieure relatifs à la fonction exponentielle.

Regardons, tout d'abord, la somme A'(a ) des b premiers termes, b étant la partie entière de j et A > 1 . Lne limite supérieure de ces termes est

donc

par suite encore, d'après (18),

,. A' (m (23) liin —-^^ =0.

Prenons ensuite la somme W (a) des termes dont les indices sont éi;aux ou supérieurs à Aa, et soil de nouveau b la partie entière de ka.

LA METHODK DK LA SOMMATION EXPONENTIELLE. 99

On a

Soit u. un entier plus grand que \p\ -\- i et laissons de côté les 4 '^ premiers termes de B'(a). Gela est permis, car nous avons démontré que la somme d'un nombre fini de termes du développement de c" divisé par e" tend vers zéro, comme un nombre inférieur à i , élevé à la puissance a.

Regardons maintenant le ( 4 ;ji. -f- i ) '^""' terme de la parenthèse en remplaçant /) par le nombre plus grand ;jl. Ce terme est

(6-r-Ij...(6-i--2|a)...(6-i-4iJL)

Etant donné que, pour /• >> 2'jl,