h 4 fX
( 6 -r- '2 ;JL -+- /• ) ( 6 -i- -2 |Jt. H- /• — l )
de sorte que
( 6 -h 2 a — I j . . . ( 6 -T- 4 ;JL ) On peut donc écrire
B (rt)< P4u,(«>-r--i r ï -^ 1 ^ 7 7 ~ ^••- )
' {0-\-'ilX)\ \ 6/-f-2[J.-hl 6 -i- 2 |JL -f- I 6* -r- -2 |i. -+- -2 /
et
lis
liin — ; = o.
if'-^*\>- ^ a<>Va''
"où il résulte comme auparavant que
im
lOO riIAPlTRK m.
Il suffit donc, pour envisager Tordre de grandeur de la fonction entière,
de considérer les termes dont les indices sont supérieurs à -j et inférieurs à ak^ k étant un nombre supérieur à l'unité.
11. On voit ainsi facilement qu en désignant cette parlie du développement par G'(<2) et la partie correspondante du développement de cJ'- par G(a), on a pour/) >> o
Donc
(j\ 'G(a) < G'(a) < {ak)P G(rt).
lim sup. '■^—- — - = lim Slip. 1:^ kl'
et
car
ai>e^
. c fi(a) . ,
Il m inf. — lim Mit.
kl'
,. C(a) ,. e«— A(a)— B(rt)
lin) — ^ — - = lim = I.
Poury^ << o, la limite inférieure devient la limite supérieure et inversement.
Examinons enfin les points limites de la suite
lim - —
Nous avons trouvé que tous les points limites sont entre
-7— et k^. .le dis que le seul point lijuite est l'unité. En effet , kl' ' '
soit ,Tq un autre point limite de la suite; je prends A assez voisin
de I 1)0 ur nue
kp
< 1 f — ^ol,
\ki>-i I <li-^-ol,
ce (
vol
pii est toujours possible, étant donné que k peut être aussi sin de F uni té cpron veut.
LA METHODE DE L\ SOMMATION EXPONENTIELLE. lOI
Mais, dans ce cas. .ro n'est pas entre — et kP; donc Xq ne peiil
pas être un point limite de la suile enN isagée. On en conclut que
ai>e
ce qu'il fallait démontrer Plus généralement
i'iÂ) lin»
V Cl"
V«?[log,.J'/
"y /iP[log/«]v ^
En elTet, dans les inégalités fondamentales (2.3) et (24), /> est un nombre qnelconqne. Prenons le supérieur à p >> o et remarquons que
/z?(log/i l'y— r >e'^.
On voit que l'égalité (25) est démontrée. D'antre part,
ap Y?
c'est-à-dire
2/i?[log/i]'/^
É'"rtP[loga]'/
et
car
Vu"
,^ ^ " -"/il , . . p // = 1 ^ '
lim inl. -77 jz — = 77 »
,. [log«±log/:|'/
Il m —, T- =
„^^ [logrtj'y
d'où, /■ étant aussi voisin de rnnité que l'on \eut,
J 1 m ri 1 = 1 •
(1 = 00 e'^aPl loga]-/
On entrevoit donc facilement que
,,^=0 aP[loga]v r(p-}-i)
12. Ces calculs effectués, nous pouvons établir facilement le théorème suivant {^) '■
Si^ au point Xq situé sur le cercle de convergence ou sur le polygone de sommahilité (sommets exclus), /"(^) est de la forme déjà examinée^
P^/lo
on a
(28) lim
r=« aP(logGf)y r(p-+-i)
Gomme auparavant, P^(^) est un polygone en z de degré ^, A'/ le coefficient de z*i et/o(^) est d'ordre p' < p au point x^. D'après la dernière lijpo thèse,
OÙ fi{x) est régulière à l'intérieur du cercle de rayon | :ro | et d'ordre ^'-\-z<:,^ sur la circonférence; /;{(^) est régulier au point jTo. Par suite, les sommes exponentielles de/3(^) formées en ^0 tendent vers/3(^o) et, divisées par une quantité qui tend vers l'infini, deviennent o.
D'autre part, les 5„(c„, a^o), formées pour la fonction /2(^) au
(') P. et V. DiKNES, loc. cit., p. 409.
LA MÉTHODE DE LA SOMMATION EXPONENTIELLE. lo3
point Xq, satisfont à la condition
« = oc 't >
En eflet,
exprimons maintenant que son ordre sur le cercle de rayon i (au plan des z) est p' -^ £ < p. On aura
limsup.-^7 !-i = o'-i- £ — I < p — I.
Donc, pour n assez grand,
e' étant arbitrairement petit. Ce qui montre immédiatement que, pour n assez grand,
comme il fallait le démontrer.
Formons les sommes
on a
B(c„, a, .ro) < ^^^^^^
P(a) étant un polynôme.
Mais nous avons vu que
11m , = lu" — ^s
d'où enfm
I^l CllAPlTUK II[.
I^es sommes exponoiilielles de ia fonction envisagée sont
donc, d'après (26) et (2())^
(3o) Il m — — — '- .
C'esl la relation générale cliercliée entre les points critiques algébrico-logarithmiques situés sur le polygone de sommabilité, d'une part^ et les coefficients tayloriens qui figurent d(nis l>(r/, Xq)^ de Vautre.
On voit sans difficulté que la formule (2-) contient, comme cas ])a!'ticuliers, les pôles, les points critiques logarithmiques, les pôles logarithmiques, les points critiques algébriques et les points algébrico-logaritlimiques, sans (pi'elle soit épuisée par les singularités énumérées. Nous remarquons que, tout en satisfaisant aux conditions indiquées, le point Xi^ peut être situé même sur une ligne singulière. Au fond, il ne s'agit que de la partie dominante de la singularité, c'est-à-dire de la partie qui montre de quelle manière la fonction devient infinie au point envisagé.
Ir^. Le théorème général démontré précédemment est valable pour une série de Tajlor quelconque, définissant une fonction analytique, mais il a le défaut de ne s'appliquer qu'aux points singuliers situés sur le cercle de convergence ou sur le polygone de somn)al)ilité ; par contie, il a une remarquable simplicité, grâce à l'idée ingénieuse de M. Borel, d'employer pour fonction sojnmatrice la fonction exponentielle e^. 11 ne nous reste qu'à cherclier à étendre le champ où peuvent être situés les points singuliers de la nature indiquée, pour cju'ils puissent être atteints par une méthode analogue à la précédente et dans la généralité el dans la simplicité. Une pareille généralisation nous est fournie immédiatement par la sommation exponentielle généralisée de M. Borel ('), où l'on prend ])our fonction sommatrice ^'"' au lieu
(') E. HoREL, Leçons sur les séries dh'ergentes, ^. ru», f^aris. GaiUliicr-> illars,
lOf.I.
LA METHODK Dl;: LA SOMMATION EXPONENTIELLK. lO >
le e", (/esL-à-dire où ia fonction f{x) est rej)résentée^ dans un lomaine assez étendu, par la formule
f(.T)= liin '^^^^
Soit j^o ^m point singulier de la fonction envisagée où elle s écrit sous la forme {'-i')- Faisons une supposition analogue à celle qui exige que le point singulier en question ne coïncide pas avec un sommet du polygone de sommabilité, c'est-à-dire supposons (fue ^0 lie soit exclu du domaine de sommabilité d'ordre /• que par TelFet de la singularité à ce point. Plus précisément, supposons (|ue le domaine de sommabilité d'ordre /* de f^{x) contienne déjà Xq à son intérieur. Dans des cas pareils, nous dirons que x^ est atteint par cette sommation.
Dans ces conditions, on peut refaire le raisonnement précédent (|ui nous a conduit à la relation (3o). Il ne faut que calculer les sommes exponentielles généralisées d'ordre /■ de la fonction
hi^]
au point i .
Par défini lion, celte somme s'écrit
Mais la relation (ai) du Cliapilre II montre (jue sa croissance est éiiale à celle de
S \rn'\'?\\oz^^n\i'Çr
106 CIIAPITHK III.
Posons a''^=zb et prenons log /i au lieu de log /i + loi; /*: nous aurons à examiner ainsi la croissance de
n=zl
de sorte que
lim
OU bien, en remplaçant b par a'\
« = 00 «'■P(loga)'7 Tfo^i)
On démontre mainlenant la relation générale chercliée par une méthode identique à celle dont nous nous sommes servis précédemment. La formule
(52) lim -; ^— = A«
u = ooa'-p(\o<;a)i l^p-t-i) ^
est la généralisation de (3o) avec lequel elle coïncide d'ailleurs pour /• = 1 .
On voit par la dernière formule que les sommes exponentielles généralisées B,. (a,:ro), formées en un point singulier atteint par la méthode^ sont en relation simple a\>ec la structure de la singularité^ dont elles permettent de déterminer la partie dominante .
J3ans la notation introduite par M. J3orel (^), nous pouvons exprimer le résultat comme il suit:
Si la croissance de la fonction est celle des sommes exponentielles généralisées d^ ordre r est
(') E. BovxYA., Leçons sur la théorie de la croissance, Chap. I. PaiiS;, Gaulhier Villars, 1910.
/' fois plus grand; en effet,
et le second membre de la dernière égalité est le symbole de la
croissance de
a''P(rloga)7 pour rt = oc.
On sait que la portée des sommes exponentielles généralisées peut effectivement surpasser celle des sommes exponentielles simples. Par exemple, si l'ensemble des points singuliers de la fonction n'a d'autres points limites que l'infini, ou s'il ne contient qu'un nombre fini de points, les points qui peuvent être atteints par la méthode, comme l'a montré M. Borel, sont aussi près qu'on veut d'un point quelconque du plan complexe. D'autre part, la relation (32), quoique plus compliquée que (3o), ne laisse pas beaucoup à désirer en ce qui concerne la simplicité.
Ce que nous avons encore à faire dans cette direction, c'est de nous affranchir le plus complètement possible des restrictions relatives à la situation de la singularité étudiée. Comme, pour étudier un point singulier, nous avons besoin d'une représentation de la fonction dans des points réguliers tendant vers le point en question, et comme toutes ces représentations se font par des fonctions entières (ou polynômes), c'est-à-dire par des fonctions uniformes, il est impossible que le même développement permette de soumettre à ces recherches le plan complexe entier.
Une autre exigence, la simplicité des résultats, rend nécessaire un choix définitif entre les représentations connues, surtout si l'on veut examiner des singularités moins simples. Nous allons montrer dans les Chapitres suivants qu'il y a des méthodes qui satisfont à toutes ces exigences.
L'KTUDE DES SINGLLMUTKS PAU LA MÉTHODE DE M. iMlTTAG-LEl FLEll.
1 . Nous avons vu dans le Chapitre précédent que les singularités situées en dehors du polygone de sommabilité ne se trouvent plus à la portée de la méthode exponentielle pour pouvoir étudier les points singuliers qui ne sauraient être atteints par cette sommation, nous devons tout d'abord pousser plus loin la représentation des fonctions analytiques afin d'arriver à des domaines d'holomorphie de plus en plus étendus. D'autre part, comme notre but est d'examiner la relation entre l'allure de la représentation en un point singuber et l'allure de la fonction au voisinage de ce même point, de chercher des développements qui représentent pour ainsi dire même les singularités, notre choix doit se porter sur la représentation où cette correspondance entre formule et fonction est la plus simple possible.
Mais, pour arrivera des résultats précis, il faut distinguer assez nettement les deux côtés du problème ainsi formulé. En efl'et, l'allure de la fonction au voisinage d'un point singulier peut avoir deux sens bien différents. D'abord la fonction peut tendre vers une valeur bien déterminée quand on s'approche de ce point sur une ligne ou à l'intérieur d'un domaine de forme déterminée; elle peut être bornée dans le domaine envisagé ou bien elle peut j devenir infinie, etc. Ce sont des allures générales où Ton ne spécialise pas davantage la nature de la singularité et nous savons qu'en beaucoup de questions de l'analyse, ce sont justement ces distinctions-ci cpii jouent le rôle prépondérant.
D'autre part, on peut se demander comment les singularités toutes particulières, comme un pôle, un point critique algébrique ou logarithmique, un point essentiel, etc., dont le nombre est d'ailleurs très limité, se manifestent dans l'allure générale de la
ETinE DKS SINGULARITES PAU LA METHODE DE M. ^ITTAG-LEFFLEU. I09
représenlaliolî au point considéré. Dans l'étude de la correspondance entre formule et fonction, on doit donc distinguera correspondance entre la formule et l'allure générale de la fonction de la correspondance entre la formule et les singularités particulières de la fonction étudiée. Les deux problèmes ainsi séparés impliquent des difficultés bien distinctes.
Nous commencerons l'exposé des rechercbes de ce genre par Tétude des représentations moins compliquées et valables dans l'étoile ordinaire pour arriver après, dans le dernier Chapitre, aux représentations très générales dont la souplesse dérive de l'introduction d'un paramètre et d'une courbe arbitraire génératrice de l'étoile curviligne correspondante.
Nous verrons que les résultats relatifs aux singularités particulières, pôles, points critiques algébriques ou algébrico-logaritlimiques, obtenus par la méthode que nous allons exposer, seront complets et précis, et que, par contre, l'allure générale de la fonction, au moins dans l'état actuel de ces recherches, ne se révèle pas très nettement dans ces représentations.
LES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE LA SOMMATION DU TYPE K(a).
2. Nous allons tout d'abord généraliser, avecM. Mittag-Lefller(*), la sommation exponentielle, de façon que les moyennes ainsi définies représentent la fonction étudiée dans l'étoile entière.
Prenons à cet elï'et Fintéirrale
^ /•/«■'--^)E(gV/
OÙ ^{jc) est une fonction entière telle que E(o; = i et S est le contour d'une aire simplement connexe dans laquelle, frontière comprise, f{ocy) est holomorphe. S doit être parcouru dans le sens direct et embrasser les deux points;}- r= i et r = o.
Dans ces conditions, l'intégrale considérée est égale à la somme de deux autres avant pour chemin d'intégration une petite courbe
(') M. MrrrA(;-Li:iFLi:i!, Sur la représenlatioii d'une branche uni/orme d'une fonction nwnogène, 5-= Note. {Acta math., t. XXIX, 190Ô).
I lO CHAPITUK IV.
aiilOLir de o, respectivement autour de i,
^ flifyi\i{^\^^^ j^, fIi^Ilii('-^)d,■ X ~i j ^ y — ^ \ y j
Mais pour r = i, le résidu de la fonction sous le signe / est f(x)¥^[a)^ de sorte que
Calculons, d'autre part, le résidu pour j' = o de la même fonction. Posons
M(.T) — 7 CnX"
et nous aurons
\yl ^ y
ri—i)
Gomme cette série conver<^e uniformément sur le petit cercle (o),
on peut la uiultiplier par — '■ -et elî'ectuer l'intégration terme à
terme sur la série ainsi obtenue :
OÙ s,i(x) r= rt(, -+- <7, ^ + ... 4- (f,/'^'^ de façon que
x'X -\-.. .-^ rt,,.r«)c,,+i«"-^«,
et
-f-Vc„+, rt"-
f^'nK(i)^y
Pour arrivera notre but, il ne nous reste que chercher des fonctions entières E(^) telles que
(i) lim / '' -^ E( -) dy = o.
ETL'[)K DKS SINGULARITKS PAR LA MKTHODK DK M. MIT rA(;-LEFl l.lin . III
Soit D un domaine fini de x^ situé entièrement à Tintérieiir de l'étoile attachée à f{x), et soit E(^) une fonction entière à coefficients positifs, telle que, 0 satisfaisant aux inégalités
on ait d'une manière uniforme
(■-*) lim E(pe'f-') = o.
Nous allons montrer que toute fonctiou entière, assujettie aux conditions indiquées, satisfait déjà l'égalité (i); l'expression considérée dans (i) lend uniformément vers o pour le domaine D. Il suffit pour cela que l'on ait, d'une manière uniforme,
(3) hm -— = o,
en tant que x appartient à un domaine fini, situé en dehors de la partie de l'axe réel entre i et-l-oo; c'est le contour d'un tel domaine que décrit — quand y parcourt la courbe S. D'autre part, D étant fixé, on peut prendre S, assez près du segment ( o, i) pour que XV reste à l'intérieur de l'étoile quand y varie sur S et j; dans D. Ainsi la fonction
a un module maximum H et l'on a
HI
MaxdelEl'-jl ,
où / est la longueur du contour S et y est tel que le module de c (- ) prend sa plus grande valeur sur ce contour à ce point. 11 nous reste donc à démontrer l'égalité (3).
Remarquons pour cela qu'on peut toujours tracer un cercle do rayon suifisamment grand, en particulier plus grand que l'unité, pour que le domaine entier soit intéiieur à ce cercle.
Entourons, d'autre part, le segment i f-^ d'une bande assez
étroite A VB'B, de façon que le domaine dont le contour est décrit par — =.r soit à l'extérieur de cette bande.
CIIAPITIU: IV
Partageons ce domaine en deux parlies : l'une A, cxlérieure à
l'angle AOB, l'autre Ao intérieure à \/OIV.
Fij^. G
Par hypothèse, en choisissant z pins petit que l'angle AO^,
d'après (2),
lim E(o)x) = o
(Tune jnanière uniforme, quand ./• varie dans A,, car avec x Ja «uianlitc tov est aussi intérieure à l'angle AOB. yi fo/'tiorl
Il ( 0) )
tend uniformément vers o pouc (o = -f- co dans toute aire finie extérieure à l'angle AOB, en particulier dans le domaine A,.
Envisageons maintenant Vo, c'est-à-dire la parlie de A qui est située dans l'aire limitée par OA', OiV et par l'arc du cercle A/B'.
Le plus grand module de x dans A2 est le module de A' (ou celui de B'), de sorte que dans ce domaine
D'où il j'ésulle que
|a^|<OA'= /><i
caries coefficients de E(.r ) soni positifs. Ou encore
E ( to )
t:(coj
pour un X quelconque pris de \^.
Appliquons maintenant le théorème de Cesàro, généralisé poui
ÉTUDE DES SINGULARITÉS PAR LA MÉTHODE DE M. MITTAG-LEFFLER. Il3
les fonctions entières, aux deux fonctions
et
On obtient
E(co)=:2a„a)«.
lim -^ — -- = hm — — = o,
[0 = 00 li(w) n=zx> 1,1
car h <i\ .
D'où l'on conclut que
[O = ao ii' ( W )
d'une manière uniforme dans l'aire VOB'.
On arrive ainsi au théorème fondamental de M. Mittag-Leffler sur la représentation des fonctions analytiques dans l'étoile,
^5„(a7)c,j-^,rt«-^»
(4) /(:r)=lim
La convergence \evs /(jo) est uniforme pour un domaine fini \) quelconque de ^ à l'intérieur de l'étoile. La fonction entière à coefficients positifs
est nommée fonction entière sonimatrice. Toute fonction entière à coefficients positifs satisfaisant à la condition (3) est une fonction sommatrice. Par exemple, M. Lindelof montre que
ao
satisfait à (3).
Plus oénéralement, la méthode de M. Lindelof (') prouve que
(1) E. LiXDKLÙF, Calcul des résidus, p. 121. D.
I l4 CHAPITRE IV.
toute fonction entière à coefficients positifs peut servir pour fonction sommatrice, si les coefficients tayloriens peuvent s'écrire
c„=cp(/i),
où 'f (/*) est holomorplie adroite de l'axe imaginaire, de même que sur cet axe et si, s étant aussi petit qu'on veut, on a pour p assez grand,
I cp(pe'4^)| <e£p, —l^fi^^l.
Nous désignons les expressions
par (( moyennes dess„(jr) du type E(a) ».
3. Soit ccq un sommet de l'étoile attachée iif(x) et regardons la suite
M(.ro, a) =
Snia^o)cn+ia"
y^Cna"
l^e théorème d'Abel correspondant manque ici, c'est-à-dire que, si nous supposons que celte suite tende pour « = co vers une limite bien déterminée, nous ne savons pas si l'on peut en conclure que / ( x) lend vers une valeur y(^o)î en s'acheminant \ers x^ sur le rayon (O^o)^ ou peut-être à l'intérieur d'un domaine entourant ce segment.
Mais la réciproque est vraie. Si^ à l'intérieur du triangle abi) dont le côté arbitrairement petit ab est un arc du cercle de rayon \xq\^ la fonction étudiée f{x) n a pas de points singuliers^ et si à C intérieur de ce domaine^ c'est-à-dire pour chaque chemin aboutissant à ^o ^^ situé entièrement dans ce
triangle^
Iim/(a7) = A,
ÉTUDE DES SINGULARITÉS PAR LA MÉTIIODK DE M. MITTAG-LEFFLEU. II j
on a nécessairement
yS(s-^ S^{ Xq) -^ . . .-^ Sj T,^) ^ :r—. cn+x «"-
lim
La démonstration de ce théorème repose sur la généralisation immédiate de notre lemme sur la séparation de la singularité (p. 60).
En prenant pour chemin d'intégration de l'intégrale dé Cauchy
la courbe a' b'cda' où l'arc de cercle {cd) est situé à l'intérieur du cercle de convergence de la série de Mac Laurin {Jîg. 7), on
peut refaire, sans aucune difficulté, le raisonnement qui nous a conduit au lemme important. 11 en résulte que si/(^') satisfait les [- conditions énumérées dans le théorème précédent, ou plus génépi ralement si elle est holomorphe à Tintérleur du triangle arbitrai- P rement petit abO et si à l'intérieur du triangle
lim 1/(^)1;^ A,
on peut décomposer /(j:) de façon qu'on ait
Il6 CHAPITRE IV.
f^[x) = SbnX" est holomorplie à l'intérieiir du cercle de rajon 1^0 I el
lim b,iOc'^ ~ o:
d'autre part, f.,{^x)^2.^nX"^ est holomorplie le long du
n=zO
rayon (0,^0)? extrémité comprise.
Gela posé,, formons les moyennes ^V^[xq, a) du type E(a) des moyennes arithmétiques des 5,^(^0) et démontrons tout d'ahord que si les moyennes arithmétiques des s]^{x q) =z cIq-^- d ^x q-\- ...-{- dnX'^ sont désignées par 'j'^^Xq)^ on a
(5) lim^^l— ,, ^Mt,).
l'^n eiïet, Xq se trouve à l'intérieur de l'étoile attachée à ^^(.r), on peut donc développer /^(•î') autour de x^. Posons donc
et 1 on voit immédiatement que la fonction
r'' fz(xxo)
dx
est holomorphe au point i. D'autre part, le développement de celte fonction autour de o nous donne
J C '"" /:? ( -y -ro ) ,; V s'il -\-s"1{xq)^..,-^ s",[ ^ -yp ) ^ „
vJ.. (I — x)2 ^
Comme le point 1 se trouve à l'intérieur de l'étoile attachée à la fonction
i — x r^' fsixxo)
f iI-Iy ^^ = ^o+2[<«(^o)-a;;.„i(^o)]^",
