ÉTUDE DES SINGULARITÉS PAR LA MÉTHODE DE M. MITTAG-LEFFLER. II

on peut appliquer à cette série la méthode des moyennes du tjrpe E(rt) et l'on obtient ainsi l'égalité

lim

D'autre part, les Sn de la fonction

formées pour le point x^zXq sont tous égaux à g^; par conséquent^ il en est de même de leurs moyennes arithmétiques. Donc

ce qui montre enfin que (6) lim -

oc

= ^o4-lim ^^^ =-o=/2(^o),

comme il fallait le démontrer.

Remarquons, pour finir, qu'on peut appliquer notre théorème du Chapitre II à la série de Tajlor,

Fi(^:ro) =^bnX'Q'x".

En efiet, cette série a pour ravon de convergence l'unité et, à l'intérieur du cercle,

limFi(:r)=/i(^o).

iH CHAPITRE IV.

Nous sommes donc sûrs que

et que, a fortiori^

lim

fii^o)-

l'iifin les (Jeux résultais (6) el (7) réunis nous donnent

oc

lim •

lim

^g„(a-o)C;,-t-ia»+t /? = o

Le théorème est démontré.

On démontre de même que, si à LUnLérieur du triangle arbitrairement petit ^ abO^ f[x) n^a pas de points singuliers et si^ à l' intérieur de ce domaine,

lim su p. I /(^) [ ^ A,

«9/? a nécessairement

lim sup.

^CnCl'^

\ln somme, si l'on part de la rep ésenlation pour arriver à la fonction, les résultats ont plutôt la forme négative. En elï'et, tout ce (jue nous pouvons dire dans ce cas, c'est que si, pour a = oc, l'expression iNl, {xq, a) ne tend vers aucune valeur limite^ la fonc-