ÉTUDE DES SINGULARITÉS PAR LA MÉTHODE DE M. MITTAG-LEFFLER. IM
tion n'a pas une limite bien déterminée dans le voisinage triangulaire ; si pour a = oc l'expression | M, [Xq, a) | n'est pas bornée, la fonction ne l'est pas non plus dans le voisinage triangulaire.
l'étude d'uWE fonction SOMMATRICE PARTICULIÈRE (').
4. Abordons maintenant l'étude des singularités particulières comme, par exemple, les singularités ulgébrico- logarithmiques, qui se trouvent aux sommets de l'étoile attachée à la fonction étudiée. Pour arriver à des résultats précis, il faut spécialiser la fonclion entière sommatrice. Prenons d'abord la fonction entière étudiée soigneusement par M. Lindelof (- ):
Remarquons que, d'après le théorème de Cesàro,
et posons
lim = lini -. -^ Tj- = I,
2d (logn)«
et
[loi
Nous allons démontrer que
(8) lim
a~eo
Le nombre a étant fixé, cherchons tout d'abord l'indice n du terme maximum dans L{a). On obtient pour n l'équation
(9) loga^loglog/i+î^
(') W et V. DiENES, op. cit., p. 420.
(-) E- Lindelof, Le calcul des résidus, p. 121; Paris, Gauthier-ViJIars, 1905.
OU bien
ce qui nous donne
CHAPITRK IV.
a = log/ie'"^'",
fonction continue de a dont les propriétés fondamentales sont pour a suffisamment grand, que
lim/(a)=:3o et /'(a)>o.
fl—OD
Remarque préliminaire. — La condition
lim ^(/i) — a entraîne cependant
SI
et SI
lim^[/(a)] = a,
lim /(a) = ce
pour a suffisamment grand.
Introduisons la notation suivante. Soient, /c étant >> i
(lo)
et
(-)= 2 ïï^
//j = Avi-f-l
[loom]'«
^ ^ ^ [iogm]"»
logm]'
7// = An -f- 1
[logm]'
KTUDE DES SINGULARITÉS PAR LA MÉTHODE DE M. MITTAG-LEFFLER. 121
On a
(12) ■ \(a)-+-(^jyC(a)-h{kn)rB{a)<L,.(a)
<(jyA(a)-^(knyCia)^Br(a), c'est-à-dire
(,3) A(^) , \k) Cja) ^ (kn)r B(a)
Lr(a) \kj ^^^^ ^ (kn)r C(a) , Br(rt)
où n =zf(a).
Nous démontrerons tout d'abord que
(i4) lim
lot; «
d'où, grâce à la remarque préliminaire, On peut écrire en effet
et d'après l'Hospital
lim i = lim . ^ '''."/' ^ = lim - e'^»" =- i
Jogn V'og'i,
o. Nous allons voir que dans (i3) les premiers et les derniers termes tendent vers o pour a = cc. C'est-à-dire démontrons que
,. A(a) et que
dont un cas particulier (/■ =: o) est l'égalité (i8) lim — — --= o.
Soit [J-ia) le terme maximum de la série L(«). Pour établir (i6) il suffit évidemment de démontrer que
(iT) ) lim -— — - = o,
az=^ lJ-{a)
car, les coefficients de h(a) étant positifs, u(a) << L(a). Pour établir (i6') nous allons montrer que
lim ^y^" , ( = lim D(/i) = o, ÎJLVlog/ie'"'7
d'où l'on pourra conclure, d'après la remarque préliminaire, que
limD[/(a)]=lim AM^o.
a = 00 a=oo l-l-{Cl )
Examinons donc D(n). Il est plus petit que le dernier terme multiplié par le nombre des termes, étant donné que le dernier terme est le plus grand ; c'est-à-dire
,log n
hr^
car le terme maximum de L(rt) est
[\o^n\ne'^^" r^.
[log/i|'^ L'og'O'
On a donc
loglogra-
Le troisième terme de l'exposant peut se mettre sous la forme — |log(log/i — logA) =— j Iloglog/i + logM— j^j j,
