ÉTUDE DES SINGULARITÉS PAR LA MÉTHODE DE M. MITTAG-LEFFLER

qui détruit donc le premier terme de l'exposant. D'autre part,

lim

logAilogl I- j— -) =logA-,

de sorte que

''V log/i/ log/i log/i

où

lim £(/i) = o.

On peut donc écrire

n ri Uigk- ^ ., 1 - H 1 — £' ( /l )

D(/ij<e'"^"LA A- J^

et l'on voit facilement que, pour A >> i ,

ce qui montre que le coefficient de r-^ est négatif, pour n assez

lim D(/î) = o.

grand, d'où le résultat

Pour démontrer l'inégalité (19) il suffit de vérifier l'inégalité

o(/.) = i-4-IogA — Â<o (A->i),

ce qui est évident si l'on remarque que

donc C5(A-) décroit constamment pour les valeurs considérées de /»•

et que cp(r) ^ o.

6. Nous allons démontrer (17 ) d'une manière analogue. Tout d'abord

[log(A-/i)] '• on peut donc prendre n assez grand pour que

[iog(/r/i)r«

[kn)

d'où l'on obtient l'inégalité

n.kii riL-n-

Etablissons encore que, pour n assez grand, Je maximum de

en fonction de a ou de /z, est atteint pour x << kii [où /^ =:/(«)]. L'argument x, qui donne à l'expression une valeur maximum, satisfait à l'équation

— :^f'-^'o8'og^-] = h{x).

On voit facilement que

pour x'^ e\ donc, si nous démontrons que h(kn) >> logrt, il est établi que l'argument x, qui rend maximum notre expression, est moindre que An.

Démontrons par suite que

h{kn) > loga = loglog/i-f- -. ,

c'est-à-dire que

log log(A7l) 4- — — - — — [iH- log log(A7i )] > log log/i -4- j

ou bien que

lo8(i-+-ï^ )-^T7^. I I bw: |-7^[' -'o8'o?(^"'0]>o.