I / log/i

l.m log/ilogi + ï-^ ) = log A-,

et l'on vérifie aisément que

lirn log/i i \—j = log/:,

L ' iog/ij

ce qui démontre notre inégalité.

ETUDE DES SINGULARITES PAR LA METHODE DE M. MITTAG-LEFFLER. XlJ

On \oit par ces calculs que dans le second membre de (20) c'est le premier terme qui est le plus grand. Prenons donc, au lieu des premiers termes de ce second membre jusqu'à l'indice e""^"'', le premier terme multiplié par e '"^'"'', supérieur à leur nombre.

La somme des termes d'indice plus grand ou égal à e''"""'' tend déjà vers zéro pour a ■= x. En effet, soit z = - par exemple ;

|logv] est vérifiée dès que v^^''. D'autre part,

[log(v-i-m)] "^'" L ^"^"' J>[logv]'v+m):i-£).

D'où il résulte qu'en désignant par a les termes du second membre de (20),

de sorte que m ne se trouve plus qu'à l'exposant. Remplaçons v par e '''""'. On a

a ,. log/îe"^ (log/i)22

,m = lim — -. j = o.

„^»(logn)2i-£' ,, = x log/i logn

Donc

Seilog/ii» = Cv -- Cv-+-i + . . . -r- Cv+-m -+-..•

[(log/n^^^-- J

(lognf-(»-e) ce qui démontre enfin que

lim St;"Oo'')* = o-