Remplaçons donc l'inégalité (20) par

T\ {n\ ^ c^osn)'- i J— H- Se(logn)'

et remarquons que, pour établir l'égalité

lirn = lim ^ — ; — ^ = o,

LVlog/ie'"''''7

il suffit de montrer que

lime""!'''

si l'on y considère a comme fonction de /i :

OU, ce qui revient au même, que

( \og n)--i-kn log logn-h [ Avi — log (^n) ] log Iog( An)—

lime "^'^ '<'*''"= o.

Le troisième terme de l'exposant s'écrit encore

— Â/iloglogn — Avilogn-f- j^^j -+-log(A-n)loglog(/:/t),

dont le premier terme détruit le deuxième terme de l'exposant. Nous savons, d'autre part, que

/ lf^g/i\ liin log/i logl I -+- ) = logÂ.

Donc l'ordre de grandeur de l'exposant est jt^^t^ et l'exposant total se met sous la forme

log/i

r^[/c-/:log/--[-+-£(/ij],

où(')

/:-A-Iog/.--i<o,

d'où l'on conclut que (17) et (18) sont vrais.

Enfin les égalités (16) et (18) nous montrent que

,. C(a) -. \.(a)-A(a)-B(a) lim 7-^ — = lim — — f ^ — - = I

(') P. DiENES, loc. cit., p. 4oi-

ETUDE DES SINGULARITES PAR LA SIETHODE DE M. MITTAG-LEFFLER. 127

Reprenons maintenant, après ces calculs préliminaires, nos inégalités fondamentales (i3). Les résultats acquis, joints à (i5), donnent immédiatement

liminf. ,\ > — ï-,

liin sup. =— — S — •

Mais les deux inégalités dernières sont valables pour /»• quelconque supérieur à l'unité ; donc

,. Lr(a) I

lim = = — >

ce qu'il fallait établir.

l' ÉTUDE DES POI>TS CRITIQUES ALGÉBRICO-LOGARITHMIQUES AUX SOMMETS DE L ÉTOILE.

8. Soit ^0 un sommet de Tétoile et supposons qu'au voisinage de Xo

où l'ordre de/, \ x) en x^ est inférieure à /'. Par exemple, si jt» est un pôle ou un point critique algébrique de la fonction. D'après la dernière hypothèse

oùfzix) est régulière à l'intérieur du cercle de rayon |j:,|, son ordre sur le cercle entier étant moindre que /• elj\{x) est holoinorphe sur la droite ( o, x^} extrémités comprises. On a donc

Snibr,.r>y)

lim = o.

Écrivons le théorème de M. Mittag-Leffler pour la fonction Mx) =Ax) - ^"^ -AJ^)-

On obtient

^[log(n-f-^)J'^

lim

par suite, ces moyennes, divisées par ^'^"\ tendent vers zéro. D'autre part,

ao as

lim

c'est-à-dire

= lim

[lo8(Ai4-p)]'^

lim

n = ao

e'-«^ L(rt)

^Bir

[log(7i-i-P)]"

lim

im — ^^ =

iV r(r-hï)

c'est-à-dire

^Bk"

[log(n-+-[i)J'^

lim

En tenant compte des égalités obtenues, on arrive à l'équation

i i ni

rt — ao

Mais, pour jâ quelconque.

hm ' ' = I

ÉTUDE DES SIXGLLAIUTÉS PAU L\ MÉTHODE DE .M. .MITTAG-EEri-LEK. I ><J

à cause de la limile

ii,n l'^g;"-:^']-'^,.

Donc enfin

Iini

|log(/i^3)].''

ou encore

(21) lim

e'' Ti /• — 1 )

6// point cri tir/ lie algébrique d'ordre r apj)ar(iU dans les moyennes du type Lr^^a) comme un infini d'ordre /(o (selon la notation introduite par M. Borel), c est-à-dire comme la /-"'""^ puissance de e" .

Si l'on remarque que ce sont les fonctions entières M( t/, x ) qui, pour az=iyz. représentent la fonction envisagée, on peut interpréter le dernier résultat de la manière suivante :

La suite numérique

lim M(rt, iCo),

formée en un point critique algébriiue à un sommet de l'étoile^ est en relation simple avec la singularité envisagée^ en décèle le degré d'infinitude, le coefficient principal et en détermine ainsi la partie dominante.

Remarquons enfui que, malgré les calculs un peu longs (pii nous ont amené au résultat final, la simplicité de la formule définitive est tout à fait remarquable, grâce au choix convenable de la fonction sommatrice.

9. Étendons encore le résultat dernièrement obtenu aux points critiques à la fois algébrique et logaritlimi(iue où la fonction s'écrit

llio

CIIAPITHK IV

l'ordre de f\{x) an point ^'o étant inférieur à g. Calculons à cet eU'et les moyennes M (a, i ) relatives à la fonction

il — x)?

Gomme les s,i de cette fonction sont com[)arables à

la croissance des sommes considérées est éi^ale à celle de

> (\o^nyin9 r\ ; k

car

Lloo( ,,-1-^8)1-

Mais le théorème de Cesàro, déjà cité, permet de prendre |j = o, .. rio-(/iH-ri)l"

inii —^ ^ — — I.

Ciierclions donc Tordre de croissance de la fonction

^ (log/? )'/ /îp

( log/i;"

a'i y {n -^ qYc

Pr/ }(^) n^i)

[loo(,t + ,y)]«

(log/i)'

.^ ( log/i)"

D'après la remarque précédente on peut prendre //? et(]ogvi)" au lieu de {n + q)9 et [log(« -f- (j) |" sans changer la croissance de la fonction, de sorte cpi'il suflil d'examiner le rap[)oi't

A^ (log/i;

^ ( log/i )" ce (pie nous avons achevé précédemment. On peut donc conclure.

ETUDE DES SINGULARITES PAR LA MÉTHODE DE M. MITTAG-LEFFLER. l3l

grâce à la relation (8), que

('i3) M(rt, i) I

a'i e?'^ e''r(p-hi)

On démonlre maintenant, comme auparavant, que la croissance des moyennes M^ (a, Xq)^ formées pour la fonction/, (.r), est inférieure à celle de M (a, Xq)^ c'est-à-dire que

lim — ^ — = o,

,, = » a'i ep«

et Ion obtient ainsi, sans aucune difficulté, la relation générale

lim ^K^^l^

Lin point critique algébrico-logarithmique de degré (q, p ), ou avec la notation de M. Borel, d'ordre q ho, se trahit dans

les moyennes M(«, :Co) comme an infini d'ordre oj fois plus

grand :

Nous voyons que la fonction sommatrice choisie permet de trouver des relations dont la simplicité s'approche de celles obtenues par l'emploi de la fonction exponentielle elle-même. L'écart, cependant, entre Tordre de croissance de la fonction et celui des moyennes, qui n'empêche nullement une correspondance précise, est considérable. On pourrait donc se proposer de trouver une autre fonction sommatrice qui donnerait des relations plus satisfaisantes à cet égard.

I . Dans les Chapitres précédents nous avons développé qiielcjues étliodes pour étudier le voisinage d'un point singulier. Ces 3tliodes, quoique assez efficaces pour explorer la singularité en un point du cercle de convergence ou en un sommet de l'étoile, ont toutes un inconvénient l)ien grave. C est que les points singuliers qui peuvent être atteints par elles sont déterminés par leurs mécanismes même d'une manière absolument rigoureuse. Si donc c est le point singulier qui est donné à l'avance, nous ne pouvons nous servir qu'accidentellement des résultats obtenus jusqu'ici. Kt, du moins au point de vue des singularités, le problème général qui se pose dans leur étude est justement de pouvoir décider si la fonction est holomorplie ou non le long d'un cliemin donné à Vavance^ et, dans le premier cas, de pouvoir étudier la nature de la singularité autour du point où aboutit ce chemin.

Dans ce dernier Chapitre, nous allons exposer des développements en séries de polynômes dont Tavantage principal est (piils contiennent un paramètre et une courbe arbitraire nommée courbe génératrice^ de façon qu'en variant ces deux données on déforme presque à volonté le domaine de convergence du développement. Nous aurons ainsi un moyen très souple qui nous permettra de lésoudre presque complètement le problème général des singularités énoncé il y a un instant.

Un autre manque de perfection des méthodes précédentes est (jue la correspondance entre formule et fonction, c'est-à-dire entre les propriétés limites de la formule où l'on a remplacé ^ par l'affixc d'un point singulier et l'allure de la fonction au voisinage de ce p,)int singulier devient de plus en plus compliquée et de moins en

LE PUOBLKMK GKNERAI- DES SINGULARITE?.

moins précise au fur et à mesure que s'élargit le champ de représentation. Les développements de ce Chapitre n'auront plus reWr. imperfection.

UNE CLASSE DE REPRÉSEJNTATIONS VALABLES DANS l'étoile CURVILIGNE.

2. Prenons une fonction analytique quelconque y'(;c) définie par la série de Taylor

fi^)=^^n^",

et considérons une courbe fermée G contenant le segment (o, i ) à son intérieur. Il y a une transformation conforme (' = ç)(«) qui fait correspondre l'aire de contour G au cercle de rayon /' > i , de

Fis. 8.

telle façon que les points « == o et w = i correspondent aux mêmes points t* = o et r = 1 .

On a ainsi, pour |«1 assez petit, |cp(w)|<Y., de sorte qu'on peut faire la substitution

Mais zi{u), comme toute transformation conforme de la nature indiquée, est holomorphe au voisinage de l'origine. Posons

o{u)=^Cnll":

de façon qu'on peut développer la fonction de a représentée par la formule (2 ) dans une série de Taylor

/[?(")] =^Q.(.an)u"-

l34 CHAPITRE V.

OÙ Q(««) est une combinaison Jinéaire etliomo^ène (]e r/,, a^^ •.., a„, avec des coefficients numériques déterminés c,, Co, ..., c,,. Si /'(^) est holomorplie à l'intérieur de C,/[cs(a)] est liolomorplie à l'intérieur et sur la circonférence du cercle de rayon i. Par conséquent, le rayon de convergence de la série deTaylor ( \) dépasse l'unité. En posant ii =z i ^ on obtient la formule

valable pour une fonction quelconque / (.X' ) holomorplie dans C. Appliquons-la à la fonction

c'est permis si /"(.z) est liolomorphe à l'intérieur et sur la frontière du domaine C*" dont on obtient le contour en faisant varier 0 de o à 2 71 dans l'expression Xo(D(e'^). On a donc, dans ces conditions,

(6) F(i)=/(.ro) -^Q.f^^.O,

OÙ, par Q//(<7,/^Jî), nous voulons indiquer le résultat de la subslitution à la place de «/.

Examinons de plus près le domaine A de ^ où ce développemenl est possible. Dans ce domaine, en effet, la formule (6) représente la fonctiony*(^) par une série de polynômes faciles à construire.

Il est évident que les points frontières de A sont des points z tels que/(:r) soit liolomorphe dans G^, tout en présentant nécessairement un point singulier sur le contour de cet aire. Désignons par Ç l'un quelconque des points singuliers ainsi mis en évidence. On voit, de ce qui précède, que pour chaque point frontière ^ il existe un Ç tel qu'on ait Ç = zx pour une valeur de x sur le contour de G. Le point Ç étant fixé, regardons la courbe G^ décrite par

z = — quand x parcourt la frontière de G. On obtient donc G^

(égal à GJ ) en effectuant sur le symétrique de G par rapport à Taxe réel une inversion de puissance i ayant le pôle à l'origine. Le

LK PROBLEME GKNKKAL DKS SINGULARITES.

contour de A est formé exclusivement d'arcs de courbes G^, par conséquent d'arcs semblables à Ci ou à des fragments de G,.

Ge qui est essentiel pour la suite, c'est que le domaine A change avec G et de telle façon qu'il tend vers l'étoile principale E si l'on choisit des domaines G'^ contenant tous le segment (o, i) à leur intérieur et se réduisant précisément à ce segment pour a = o. Gela résulte du fait que, étant donné un point quelconque :r à l'intérieur de l'étoile, on peut prendre x assez petit pour que la fonction soit holomorphe daus Taire xQ?- de même que sur son contour, et répéter ainsi le raisonnement qui nous a conduit à l'égalité (()). On arrive ainsi à la formule remarquable

/(^)= VQ,,(;a,,a"«.a),

valable dans un domaine A'^ dont la limite pour a = o estl'éloileE. Plus précisément, en désignant par '^{?/,a) les transformations conformes qui ellectuent la correspondance entre G^ et le cercle de rayon /' > i , on peut écrire

valable pour | ^^ | =

maine A^'^ .

< I si :r est un point à l'intérieur du do-

ij<» t.uAiMTar. V.

\\. On peut généraliser considérablemeiil le résultai acquis jusi|n i(M. Uouiplaoons, eu elVel, dans le raisonnemenl préeédenl, le seiiuu'ul ^c>. I ) par une eiuirbe queleoucjue / sans points nHilli[)les joignant les deux points o et i et entourons cette courbe par nue suite de contours ^^ qi>i« à la liuiite a == o, coïucident avec /. Nous aurons toujours des traust'ormations conrornies qui font corres|>ondre ^'*^ au cercle de rayon /• r> i , et cela de laçon qu'on

ait

si I on désiiiue ces transformations de nouveau par c = C5(w, a^. La courbe / se trouve à l'intérieur de chacun de ces contours.

Pour interpréter le résultat qu'on obtient sans aucun calcul en refaisant le raisonnement prêt édent. définissons l'étoile curvilii;ne E' il'espèce /. U suftit de délinir éviileuiment les points intérieurs de l'étoile. Pour cela, .r étant un point du plan complexe, considérons la courbe l-^ qu'on obtient en prenant l'homotliétique de / par rap[H)rt à l'origine avec le rapport d'Iiouiothétie |.r| et en faisant Ituirner cette transformée autour de l'origine de l'angle 0, argument de jr. Le point .r est considéré comme intérieur à l'étoile (Mirviligne V/ d'espèce / attachée à la fonction ./ (.r) si /{-■V ) est holomorphe le long de /'extrémité comprise.

( )\\ arrive ainsi aux deux formules déjà assez générales

valables à 1 intérieur d'un ilomaine IV^ dont la limite pour a = o est l'étoile curviligne 1*/.

H est facile île donner aux polynômes G,/i/y„.r". a > la foruie plus explicite

-i. Déuiontrons que les séries {-) et (i)) convergent absolument et uniformément ilans chaque aire linie i^ du plan .r située entiè-

i.K ruouLKMi: (;k\ki(Al i»ks singi lariiks. i {7

reinent à rinlérieur de A^^^ respcclivemenl W^K D'abord chaque série de Taylor converge absolument sur une rtuirbe quelconque;! rinlérieur du cercle de convergence; donc, comme le rayon de j'onvergence de la série de Taylor (10) dépasse l'unité, la série

est convergente poni- un x (|uelconque de Taire i». Nolie série est donc absolument conNcrgenle.

Pour montrer que sa convergence est uniforme, remarfjuons qu'étant donnée une série de Taylor quelconque

dont le ravon de convergence /• dépasse l'unité, le module maximum du reste s'e^^prime en fonction du module maximum de /(x) par la formule classique (' l

<?<r et

dans le cercle de rayon z.

Avant d'appliquer cette remarque à la série (10 ), ajoutons que, le domaine ^' étant donné, le développement (10) est convergent dans un cercle de rayon /* > i indépendamment de x. En ellel. considérons l'ensemble des contours -'î définis par les équations

où l'on doit considérer x comme un point fixé de ^'- et où h parcourt tout l'intervalle (o, ^ir i, et soit D l'ensemble des points qui appartiennent au moins à une des aires limités par les yj. Par bypotlièse/(jc) est liolomorplie à l'intérieur et sur la frontière même de D. Substituons maintenant aux contours v^lescontoursoj définis

par les équations

i- = X o( re'^, a).

) Voir JoniJAX, Cours d'Analyse, 2* édition, p.

l38 CIIAPITIUÎ V.

où /■ est un peu plus grand que i. 1^'ensemble D,^ coiTespondanl à D contiendra Je dernier à son intérieur et, [)our /• = f , il va coïncider avec D. J)e [)lus, l'aire Dr varie d'une manière continue avec /'. On peut donc choisir un /' assez proche de Tunité de façon c\uef(x) soit liolomorplieàl'intérieur et sur la irontière deD^. Mais, dans ces conditions, pour un ^ quelconque de l'aire ^^ y"[.rcp( ;/, a)] est une fonction holomorphe de la variable //, du moins dans le cercle de rayon /• et sur sa circonférence.

D'autre part, toutes les fonctions de n qu'on obtient en faisant varier x dans g se composent des valeurs de f{jc) prises de D;.. routes ces valeurs ont donc un uiodule uiaximum commun M. 11 en résulte que

|G,,+,(a,^+i^"+»,a) + G„+2Ù/«+2^'^-"-, ot)-l-... ]< — — -,

' < ? < '•, indépendamment de x. La convergence est donc uniforme.

o. Le développement (9) permet de construire une série de polynômes indépendante de a qui représente /(^r) dans l'étoile entière E^ Va\ effet, soient a/, zi et ;•/ — i trois suites de nombres

positifs décroissants ayant pour limites o telles que 2. ^i ^^^^ con-

\ergente ; déterminons de plus ni de façon qu'on ait

Gela posé, prenons les /ik-t- i premiers termes du développement

(12) ^0+ 2^Gn{anTf', g/J,

dont nous désignerons la somme par }r\/i(x), [Ho=: o], et formons la série de polynômes

La somme, S^^ des k + i premiers termes de cette série est

égale à rto + HA(^), c'est-à-dire à la somme des n/ç-^i premiers termes de la série de Tavlor

ao-^2G„(«„ar«,aA)M«,

n=zl

au point u= i. Mais nous avons vu que, pour a/i assez petit, c'està-dire pour k assez grand, cette série de Tajlorqui, pour//= i, se réduit à la série de polynômes ( 12 ). représente f{x) quelle que soit la valeur de :r prise d'une aire finie i? à l'intérieur de l'étoile E'. Plus précisément,

car, pour A assez grand, /y^ est suffisamment près de l'unité pour que les valeurs de /(x) dont se compose la fonction de a, f[xz)(u, a)], se trouvent tous dans D,.^. La série (i3)est donc uniformément convergente dans toute aire g à l'intérieurde l'étoile E' et représente la fonction f(jc ) .

Elle est même absolument convergente, car pour /> A'

1 Ih^i(jr) - Ui(x) 1 ^ I H,-.m(^) -/(.r) I -- ! lhix)-f(x) I < iMh,

et le reste £a -|- s^+i -h. . . d'une série convergente tend vers o

I r ' • avec y La série

est donc convergente.

Cette représentation d'une fonction analytique quelconque à l'intérieur de l'étoile curviligne définie par 'f (m, a) et par la fonction elle-même, est due à M. Painlevé (').

Les développements (9) et(i3) sont des séries de polynômes et, d'après la formule ( i [ ), on peut les écrire sous la forme

(14 ) f(cr)=ao-~^iC/^aiX^C'^^azx'-^...-^Cj;a„,x"i).

(') NoLe sur le déveioppeinent des fonctions analytiques dans les Leçons de M. Bore), su/- les fonctions de variables réelles.

•4o CllAPITRIi V.

Au cas du développement (9) les coefficients c dépendent encore du paramètre a, et le développement n'est valable qu'à l'intérieur du domaine B^°'^ ; s'il s'agit du développement (i3), les coefficients 6- ne dépendent que de leurs indices et la série représente /(jr) dans l'étoile entière E'. On voit que la construction de la série est entièrement déterminée par les coefficients c,/, donc, en dernière analyse, par la suite des représentations conformes c = o( u^ a).

On sait que la propriété si caractéristique de la série de Tajlor d'avoir nécessairement un cercle pour son domaine de converj;ence résulte de la forme, de la construction même de cette série ; la fonction développée, c'est-à-dire les valeurs numériques des coefficients, ne déterminent que la grandeur du rajon de ce cercle. De même la forme du développement ( r4) exige que le domaine de convergence soit une étoile d'espèce / et la fonction, c'est-à-dire les coefficients a,i^ ne déterminent que l'étoile particulière de cette espèce qui convient à la fonction développée.

l'étude générale des singularités

AUX SOMMETS d'uNE ÉTOILE CURVILIGNE d'eSPÈCE ^ ( ' ).

G. Ces considérations efl'ectuées, abordons l'étude des singularités aux sommets d'une étoile curviligne ou rectiligne E'. Soit .r^ un tel sommet. Nous allons généraliser tout d'abord un célèbre tliéorème d'Abel d'après lequel si une série de Tajlor converge en un point de son cercle de convergence, la fonction représentée par la série tend vers une valeur bien déterminée quand on s'approche de ce pointa l'intérieur du cercle de convergence le long d'un chemin quelconque ne touchant j3as le cercle.

A cet etl'et et pour simplifier l'énoncé de nos résultats, introduisons les expressions : voisinage angulaire et circulaire de Xq vers l*\ Traçons en Xq un angle d'ouverture inférieure à 7: et symétrique à la tangente de la courbe /'« en ce point et ne considérons que la partie de l'angle la plus proche de Xq. Ce domaine angulaire arbitrairement petit, frontière comprise ^ forme le voisi-

( ' ) P. et \. DiENKS, op. cit.., Chapitre III, et P. I)ii:m:s, Note sur les séries de polynômes et les singularités des fonctions analytiques. {Coniptes rendus^ t. CLII, séance du i.j février 1911.)

nage angulaire de x^i vers /'«. Si, au lieu d'un angle, on trace un eercle passant par ^Tq et ayant pour diamètre arbitrairement petit un segment de la tangente à la courbe /*» en Xq^ ce cercle, y compris sa circonférence, forme le voisinage circulaire de Xq vers /'». D'autre part, soit D(^a, Xq) le domaine de la variable .r défini par l'équation

X = xo'^iu, a),

quand u parcourt la circonférence de rayon i et supposons, pour rendre les démonstrations plus intuitives, que pour a'<<a le domaine D(a', Xq) se trouve entièrement à l'intérieur de D(a, Xq) excepté le seul point Xq qui est commun aux deux contours.

De plus, dans la plupart des représentations ou des classes de représentations proposées, la fonction cp(^/, a) est liolomorphe au point u^=i. Supposons-le pour le moment afin d examiner ensuite un cas intéressant où cette condition n'est plus remplie.

Cela posé, démontrons le tbéorème suivant :

Si., pour y. assez petit, la série

(7) tf 0 -^Zu^ni an X" ,^)= /<

converge en Xq, la fonction f{x) est continue, et, a^o excepté ., koloniorplie au voisinage angulaire de x^ vers /-^o, c'est-à-dire quelle tend vers une valeur bien déterminée si l'on s'approche de.ro en ce voisinage. On voit que c'est la généralisation directe du théorème d'Abel cité plus haut et, si l'étoile est rectiligne, on a pour r étoile le théorème cV Ahel sans aucune modification.

Dans le cas considéré, la série de Taylor

rt^,4- Vg„( ««.r(;, a)/<",

est convergente pour u^=\ si a est suflisamment pelil. La fonction de u représentée par cette série est donc liolomorphe à l'intérieur du cercle de rayon 1 et, d'après le théorème d'Abel, elle est continue dans le voisinage angulaire de i vers le rayon (o, 1). Mais au cercle de rayon i, dans le plan des w, correspond au plan des x le domaine D(a, ^o^ et le conlour C(a,j:-o) de ce

l4*-i rHAPlTRE V.

domaine a une tangente unique en ^o, car, grâce à l'hypotlièse <[ue cp(«, a) est liolomorplie pour u=i i, la représentation du plan des II sur celui des v efï'ectuée par la formule v ^^^ X(^o(u.a.) est conforme au voisinage du point i . On conclut de même que, dans le plan des u^ l'angle entre le segment (o, i) et la tangente au cercle dans le point i étant égal à -, il en est de même de l'angle des deux directions correspondantes : la tangente à l^'o en x^^ et la tangente au contour G(a, ^o) '^n même point. On voit par cela qu'au voisinage angulaire du point i vers le rayon (o, i) correspond le voisinage angulaire de Xq vers /^o. Par conséquent, il résulte de la convergence de la série (7) en Xi^ que f{x) est holomorphe à l'intérieur du domaine D(a, ^0) et qu'elle est continue au voisinage angulaire de Xq vers /-^o. Le théorème est démontré.

Remarquons que la simplicité extrême de la démonstration vient du fait que cp(//,a) est supposé liolomorplie en i, ce qui, grâce aux propriétés bien connues des représentations conformes, entraîne immédiatement la correspondance indiquée des deux

7. Inversement si^ pour a assez petit, f{x) est liolomorplie dans D(a, Xq) et continue sur G( a, ,ro), la suite des moyennes arithmétiques des

c'est-à-dire la suite

3'o — CIQi

a^ pour n^=.-o, une limite bien déterminée et cette limite est égale à la valeur /{xq) vers laquelle tend f{x) si Von s'approche de Xo à l'intérieur ou sur la frontière de D(a, x,,).

En effet, d'après nos hypothèses, f(x) est holomorphe dans D(y.^Xo)', a fortiori, dans le domaine de x défini par l'équation

LK PROBLÈME GÉNÉRAL DES SLNGULARITKS. l43

dans laquelle u parcourt une circonférence de rayon inférieur à i. L'égalité (8) est donc valable pour x = x^, si iV)n astreint u à prendre des valeurs de modules inférieurs à i :

/[xo ^{u, a)] = 2 G„(rt„.r',', a) w« | m |<i.

Le second membre est donc une fonction de u liolomorphe dans le cercle de rayon i, de sorte que son cercle de convergence est l'unité.

De plus,/(j:) est par hypothèse continue sur G(a, :ro), elle est donc continue de même de la circonférence de ra^on i qui lui correspond. Mais les coefficients lajloriens d'une fonction continue sur la circonférence de rayon i tendent vers o si l'indice croît indéfiniment. On le voit, par exemple, en appliquant aux parties réelles et imaginaires le théorème de M. Lebesgue ( ') selon lequel

lim / /{x)cosnTdx = o, Mm / /(x) s'innx dx = o,

si/{x) estsommable dans l'intervalle ( o, •>.-). Nous pouvons donc nous servir du théorème fondamental du Chapitre II ( n** i) pour établir que la liuîite

. «7o-f- Hir*?,^-, a) — . . .^ ll„(<7,;.r", a)

existe et qu'elle est égale iiJ\xo). Le théorème réciproque est donc démontré.

Si la fonction '^{u,y.) satisfait à la condition restrictive (A), c'est-à-dire est telle que les contours C(a, i) des domaines correspondants D(a, i) ont tous au point i des courbures finies tendant vers o avec a, l'hypothèse que fix) est liolomorphe dans un petit cercle jiassant par j"o et avant pour diamètre arbitrairement petit un segment de la tangente à M' en ^o entraîne que /( x) est liolomorphe dans D(a, .r„), a étant suffisamment petit. On arrive ainsi au théorème suivant :

Si f{x) est continue et, Xa excepté, liolomorphe au voisinage

(') Lkbesgue, Leçons sur les séries trigononiétrùjues. p. (ii: Paris, Gauthicr- Villars, 1906.

l44 CHAIMTHK V.

circulaire de Xq vers /•*», on a^ pour a assez petite

Iim —/(xq).

8. Si la l'onction n'a pas de liniile pour x-=r.x^^ au voisinai^e angulaire de x^s vers /-^o, il est très important de décider si elle reste bornée ou non. A cet égard, nous allons démontrer le lliéorème :

Si^ pour a assez petit, la série représentative (9) reste bornée pour ^'0, la fonction représentée f[x) est bornée et, ^„ excepté, holomorphe au voisinage angulaire du point x^^ vers /^o; et inversement, si la fonction est bornée et^ x^ excepté^ lioloniorphe au roisinage circulaire de x,, i^ei's l-^o^ la suite

est bornée pour a assez petit.

Le raisonnement précédent s'applique aussi dans le cas présent. En eflfet, on voit facilement que si S//(^'o7 ^- ) est bornée pour /i = ce, la série

oc 00

est convergente dans le cercle de rayon 1 , et la fonction lioloinorplie de u représentée par elle reste bornée si l'on s'approcbe <lu point I au voisinage angulaire de i sers le rayon (o, i ). La suite du raisonnejnent est identique au raisonnement précédent et nous sommes amenés ainsi à la première partie du théorème.

Inversement, supposons que la fonction envisagée soit bornée et, Xf) excepté, holomorphe au voisinage circulaire de .r,, vers /'% ce qui revient à dire, la condition restrictive (A) étant supposée satisfaite, qu'il y a un domaine D(a, .z*,)) où la fonction est liolomorphe, de mêuic que sur sa frontière, excepté le point x^, et où

Ton a encore

et démontrons que les modules des moyennes arithmétiques sont bornées.

LE PROBLÈME GÉNÉRAL DES SINGULARITÉS. l45

Remarquons que, dans le cas où la condition (A) n'est plus remplie, le voisinage circulaire doit être remplacé par le domaine D(a, Xq) et Ton arrive ainsi à un théorème plus général sans qu'on ait à changer le raisonnement qui suit.

Dans le cas considéré, la fonction limite de/[^o'f ('^ a)] existe et elle est continue pour chaque point de l'intervalle (o, 2tc), excepté 8 = o et, de plus, elle est bornée au voisinage du dernier point. Cette fonction limite est donc inlégrable. Par suite, dans la formule de Gauchy

I /* /( Il ) du

on peut prendre pour chemin d'intégration le cercle de rayon i . On voit ainsi que les coefficients bn^= G„(a,i^", ^) tendent vers o pour 71=1 ce (a étant suffisamment petit). JNous pouvons donc appliquer notre théorème de la page 38, ce qui donne immédiatement le résultat que la suite | o-,i(:ro, a) [ est bornée.

9. Il reste encore à étudier le cas où la fonction devient infinie au point considéré. A cet effet, faisons tout d'abord la remarque suivante :

La condition nécessaire et suffisante pour que f{x) soit holomorphe, Xq excepté, au voisinage circulaire de Xq vers l^\^ est que, pour a assez petit, on ait

Il est évident que

lim sup. \/| Gv(«v^o' ^)1 ^i)

car Xq est un point singulier de la fonction étudiée, et le cercle de rayon plus grand que i dans le plan de u correspond à un domaine qui contient Xq à son intérieur.

Supposons donc que, pour a assez petit, la limite supérieure en question soit égale à i . On en conclut immédiatement que la même fonction, considérée comme fonction de x^ est holomorphe à l'intérieur du domaine correspondant D(a, Xq) et, a fortiori^ au voisinage circulaire de Xq vers l-^o.

Inversement, si la fonction, le point Xq excepté, est holomorphe D. lo

j46 chapitre v.

au voisinage circulaire de Xo vers /^», en prenant a suffisamment petit, on peut y tracer un domaine D(a, ^o) à l'intérieur duquel la fonction soit liolomorphe. La condition (A) est supposée satisfaite. On en conclut que, d'après la formule (lo), la série de Taylor

représente la fonction /(^) à l'intérieur de D(a, ^o)? c'est-à-dire à l'intérieur du cercle de rayon i dans le plan de w, ce qui revient à dire que, pour a assez petit,

lim sup. y/ I Gv(«v^'o» ^) 1 —^'

Notre remarque est donc vérifiée.

Démontrons maintenant le théorème suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour que la fonction de^denne infinie (ne reste pas bornée) et, Xq excepté^ soit liolomorphe au voisinage circulaire de X^ vers l-^o est que, pour a assez petit,

lini Slip, v 1 Gv(«v^O' ^) 1 —^1

et que, quelque petit que soit a,

lim Slip. I av(av^o' ^) i = ^•

Montrons d'abord que la condition est nécessaire. On \oit par nos développements antérieurs que, d'après les hypothèses faites et a étant suffisamment petit, la série de Taylor

représente une fonction holomorphe à l'intérieur du cercle de rayon i ; la première condition est donc remplie pour a assex petit, grâce à la remarque faite il y a un instant.

Mais il est évident que les moyennes arithmétiques des Sn(xo, a) deviennent infinies avec n; en effet, dans le cas contraire, d'après le théorème du numéro précédent, aussi la fonction envisagée

LE PROBLÈME GÉNÉRAL DES SINGULARITÉS. l47

serait bornée au voisinage circulaire de Xq vers /^o; ce qui est contraire à riijpothèse.

Démontrons maintenant que les deux conditions sont suffisantes.

La première étant satisfaite, la fonction de u

est holomorphe à l'intérieur du cercle de rajon i ; par conséquent la même fonction, considérée comme fonction de x, est, Xq excepté, holomorphe dans le domaine D(a, ^o) elafortioii, Xq excepté, au voisinage circulaire de Xq vers l-^o.

D'autre part, la seconde condition remplie, la fonction ne peut rester bornée au voisinage envisagé. En effet, si pour a quelconque elle restait bornée, grâce à l'holomorphie établie, on pourrait prendre a assez petit pour que le théorème du numéro précédent soit applicable, et d'après ce théorème la suite \<7n{^o-, a) I serait bornée, ce qui est contraire à notre hypothèse. Par conséquent, la fonction ne reste pas bornée, ce qui était à démontrer.

L'hypothèse que la fonction soit holomorphe au voisinage considéré est nécessaire pour écarter retï'et des autres singularités possibles. On pourrait dire que la fonction devient infinie exclusivement à cause de la singularité au point Xq.