Reste encore à examiner le cas où

lim sup. V I Gv(rtv*'o, a) I > I-

A cet égard, nous allons esquisser rapidement la démonstration du théorème suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour que f{x) ait une infinité de points singuliers au voisinage circulaire de Xq vers 1^0 est que, quelque petit que soit a,

lim sup. / I Gv(«va?o, 2c) I >i.

Supposons que nous ayons une infinité de points singuliers au

l48 CHAPITRE V.

voisinage circulaire de x^ vers l^o. Par définition, le point Xq reste en dehors de A^^'^ pour a quelconque, de sorte que la série de Taylor de la fonction f[xoZ>(u, a)] doit avoir un rayon de convergence inférieur à i pour a quelconque, car dans le cas contraire f{oo) serait holomorplie, Xq excepté, dans D^" et ci fortiori dans le voisinage circulaire de x^ vers /^o. La condition indiquée est donc bien nécessaire.

Inversement, si, pour a quelconque, la condition proposée est remplie, c'est que le rayon de convergence de la série

^J^ai.aax'1, y.)u''

est moindre que l'unité. Il y a des points singuliers à lintérieurde D(a, Xq)^ quelque petit que soit a ; et comme, par hypothèse, il n'y en a pas sur la ligne /-^o (xq excepté), le voisinage circulaire de Xq vers /-^o doit en contenir une infinité.

Avec ce théorème, nous avons le premier critère général, à ce qu'il nous semble, pour établir, en partant de la série de Taylor, l'existence d'une infinité de points singuliers au voisinage d'un point.

l'étude des poiî^ts critiques ALGÉBRICO-LOGARITHMIQUES AUX SOMMETS DE l'ÉTOILE CURVILIGNE E*^ d'eSPIICE l.

11. Après avoir examiné la relation entre l'allure générale de la fonction et celle de la série représentatrice, nous allons préciser davantage le rapport de la manière dont la fonction devient infinie en un sommet X(^ de l'étoile E^ à la nature de la divergence de la série en Xq^ c'est-à-dire nous allons chercher les propriétés de la série

Gn{anX'^,a),

qui pourront nous déceler l'allure particulière en vue de la fonction envisagée. Nous considérerons tout spécialement les points critiques algébrico-logarithmiques aux sommets de l'étoile curviligne E^ d'espèce /.

Supposons que le sommet ^o soit un point critique alg^ébricologaritlimique de /(m). La fonction de u

/[.ro o(//, a)] =2G„(«„;r;', a) w« 11 = a

est holomorplie dans le cercle de rayon i si Ton a choisi a suffisamment petit. En eftet, comme x^^ est un sommet de W^f{x) est holomorplie dans chaque point de la courbe l^o et, de plus, par hypothèse, x^i est un point singulier isolé àe f{x). Mais la courbe fermée D(a, Xq) qu'on obtient en faisant parcourir par u le cercle de rayon i dans l'expression Xq'^{u, a), tend, pour a = o, vers la courbe simple /•'"o, H en résulte que, pour a assez petit, f{x) sera holomorphe dans D'(a, Xq)^ de même que sur sa frontière C(a, ^o), excepté le seul point Xq. En d'autres termes, la fonction de u^ y"[^o'f ('^' ^•)], est holomorplie à l'intérieur du cercle de rayon i et Xq est son point singulier unique sur sa circonférence. Regardons d'autre part ce que l'expression

devient quand un l'exprime en fonction de «, le nombre g étant quelconque.

Evidemment

Ii-cp(^/,a)|'^

Mais, par hypothèse, '^( u, a) est holomorphe au point i et

do

car cs( w, a) effectue une transformation conforme autour de ce point. Par conséquent

et |j yé o. Il s'ensuit que

l5o CHAPITRE V.

OÙ P(^) est une série de Mac Laurin en x. Cela nous montre que la transformation conforme ne change pas la nature de la singularité en question.

On peut faire le même calcul concernant