IOS

Xq

où q est est un entier positif. En eflet,

de façon que

log^/ -^L- = I log ^^J^^ -t- log[i + (li - 1) Çi{ii - i)] p

Xq,

En effectuant le calcul, on obtient un polynôme en log——— de degré q où le coefficient de log^ est l'unité et les autres coefficients sont des fonctions de u holomorphe en i. En effet le second terme de la parenthèse est holomorphe au voisinage de i . Il en est de même de la fonction

loir'7

/ N " i — cp(M, a) ^

et cette fonction de u est holomorphe à l'intérieur et sur la circonférence du cercle de rayon i, excepté le point i. Et, déplus, ce dernier point est un point critique algébrico-logarithmique d'ordre

12. Cela posé, exprimons que .To est un point critique algébricologarithmique de/(^) :

AP/log— 4r\ P.//log— ^

XoJ \ ^0

LE PROBLÈME GÉNÉRAL DES SINGULARITÉS. ' l5l

OÙ P^(^) est un polynôme de degré q en x commençant par ^9; les nombres positifs q et p, < p, p2<C pi, . . ., sont en nombre fini, /, {x) est d'ordre négatif en ^o- Effectuons la transformation

'y ii — iiy

H ^ ^ [ I 4- ( Zt — l)/>i (if)] -H-.--^/> [-^0 ?( ", «)],

■i^Uu — i/'

où Q(^) est un polynôme de degré ^ en ^ et les pi{u) sont holomorphes pour |m|^i, enfin /, [j7o'-3(w, a)] = cp(/<) est d'ordre négatif au voisinage de i .

D'autre part, nous avons vu que, pour a assez petit,

OÙ le ravon de convergence est l'unité. Pour déterminer Tordre de grandeur de G„(«/2^;[, a) posons encore

et

AQ(log^) «

Regardons successivement £« et r.^. Toul d'abord lim Ti„ = o, car

les T,„ sont les coefficients tayloriens d'une fonction continue sur son cercle de convergence de rayon i. La fonction ^{u) a pour point singulier unique sur son cercle de convergence le point i. De plus, en prenant les /c^o — i premiers termes du développement

l52 CHAPITRE V.

on sépare la partie dominante de la singtdarité

AQ^ lo— î-

— [i^(^if — i)p(u)]

de sa partie continue sur le cercle. En faisant de même pour les autres termes, on sépare la partie dominante de ^(w) de sa partie continue. Mais cette dernière partie a un développement taylorien dont les coefficients tendent évidemment vers o quand leurs indices croissent Indéfiniment.

D'autre part, nous avons calculé déjà (p. Sa) Tordre de grandeur des coefficients yn de la fonction

Ofloa ^

on a ainsi, du moins ])our p >- i , lin.

ce qui, ajouté aux résultats partiels relatifs aux autres parties de F(m), nous donne la formule importante

Si p n'est pas supposé supérieur à i, nous devons considérer les sommes

S,ii^, a) = Go+ Gi{aix, a)^-. . .h- Gn(a,iT", a).

Tout ce qu'il faut ajouter au raisonnement précédent, c'est que |j.(f/) est liolomorphe sur le cercle de rayon i, excepté le point i, où elle est d'ordre négatif". Il s'ensuit, en efiet, que sa série de Mac J^aurin converge à ce point :

La série envisagée

nous décèle donc la nature de la singularité d'une manière entièrement simple. Le paramètre a étant pris suffisamment petit, les S,i (le la série mimérique

ont an ordre de grandeur identique à celui de la fonction et ils permettent de calcule}- successii-entent toutes les constantes qui caractérisent la singularité étudiée.

13. On peut étendre enfin tous ces résultats à des singularités plus compliquées où ce n'est que la partie dominante de la singularité qui est supposée algéhrico-logarithmique. Il ne faut qu'ajouter une hypothèse qui nous assurera que, pour a assez petit, le point singulier x^^ se trouve sur le cercle de convergence de la série

Par exemple, si Ton suppose que /\^r) est holomorphe au voisinage circulaire de x^ vers /'» et que cp( ;/, a) satisfait à la condition restrictive (A), nous n'avons qu'à nous servir du résultat principal du Chapitre II (p. 38) afin d'éliminer la contribution de la fonction /, ( .r ) qu'il suffit de supposer continue en Xo et nous arriverons au théorème suivant :

Si la fonction f{x). holomorphe dans le voisinage circulcùre de x^ vers /^, a sa partie dominante algébrico-logarithmique, c'est-à-dire si elle peut s écrire au voisinage de Xo sous la forme (i i), on a nécessairement

C7„( .r,,. oc ) A r(-.> )

(i3) !ini

ou

Il 111 • — ^

„ = X ,2? ( log n )'i {— ^i*" )r ( p -T- I ) So — . ..^ S,,(.ro, a)

Nous avons donc dans le développement (9) une série qui satisfait presque toutes nos exigences concernant la simplicité et la

l54 CHAPITRE V.

précision dans la représentation des singularités situées aux sommets de l'étoile curviligne d'espèce /. En effet, l'allure générale de la fonction y (^) se manifeste d'une manière explicite et complète dans l'allure de la série numérique

du moins pour a assez petit. Et, comme nous venons de le voir, les singularités particulières à partie dominante algébrico-logaritlimique sont caractérisées à leur tour par la même série et avec la même précision et simplicité. L'ordre de grandeur des moyennes arithmétiques des S,i(a:Q^ a) coïncide tout simplement avec celui de f{x) en x^ et les coefficients A, de même que les degrés (</,, p), (^21 pi)j . . .7 qui, ensemble, caractérisent la partie dominante de la singularité, se calculent très facilement par la formule (i3), si l'on retranche successivement la partie déjà trouvée et l'on applique de nouveau la même formule.

La portée de cette méthode est assez considérable. Ouel est, en effet, le but à atteindre par une pareille méthode? Tous les développements étudiés dans ce livre sont formés par des séries de polynômes ou des fonctions entières, c'est-à-dire des séries de fonctions uniformes, et il n'y en a guère d'autres espèces. D'autre part, l'étude générale des singularités consiste à examiner la fonction dans ses points réguliers qui se trouvent au voisinage de ses points singuliers. Par conséquent, cette étude exige une représentation de la fonction envisagée au voisinage du point singulier en vue. Il est donc évident que la méthode dont nous nous sommes servis dans ce livre ne nous donne pas un moyen absolument parfait pour eO'ectuer l'étude générale des singularités, en ce sens qu'une seule représentation de ce genre ne nous livrera pas tous les points singuliers de la fonction, parce qu'une série de fonctions uniformes ne peut représenter qu'une seule valeur pour chaque valeur de la variable indépendante x et qu'une fonction analytique a, en général, une infinité (dénombrable) de déterminations pour chaque point X. Ce n'est qu'une partie des déterminations, une branche si l'on veut, de/(.r) qui est donnée par le développement du genre considéré. Ce ne sont donc que les points singuliers situés à la

LE PROBLÈME GÉNÉRAL DES SINGULARITES. l55

frontière de cette branche qui peuvent être étudiés réellement par les méthodes indiquées.

Mais on peut formuler le problème des singularités d'une ma- ^ nière un peu différente. Soit Xq un point quelconque du plan complexe. Supposons qu'on veuille explorer l'entourage de ce point, c'est-à-dire déterminer l'allure de la fonction /(^) à son voisinage. D'abord cela peut dépendre du coté ou de la direction par où Ton s'approche de ce point; mais cette allure peut se changer de fond en comble si Ton choisit un chemin Z-^o joignant l'origine à Xoj diflerent du premier par où Ton est allé d'abord à Xq. Par exemple yX^) peut être holomorphe en ^o si l'on y aboutit par le chemin /■*'«, quoique ce point fut singulier pour le premier chemin, etc. Force nous est donc de choisir un chemin bien déterminé allant de o k Xq et rétrécir le problème à l'examen de l'entourage de Xo suivant un chemin bien déterminé l-^'o.

La représentation (9) nous donne la solution du problème pour les courbes /•'« qui n'ont pas de points multiples . En regardant la limite supérieure de la suite

on décidera tout d'abord si x^ est le premier point singulier sur l'o on non. Dans le dernier cas, la méthode est inapplicable. Mais te problème n'a pas de sens non plus, car, pour explorer le voisinage d'un point singulier, il faut passer par des courbes sur lesquelles /(:z')est holomorphe, excepté l'extrémité de ^o- Dans le premier cas, les théorèmes précédents nous donnent des renseignements assez précis sur l'allure de la fonction au voisinage circulaire de Xq vers /-^o.

li. Il reste à examiner le cas le plus général où l'on ne suppose plus que la courbe envisagée soit simple, c'est-à-dire sans points multiples. Cette extension des résultats acquis jusqu'ici est indispensable si l'on veut étudier les diftérentes branches d'une fonction multiforme, car c'est justement en tournant autour des points singuliers qu'on arrive à des déterminations distinctes de la fonc-

tion étudiée.

Prenons une courbe l quelconque, partout analytique e^régultere (extrémités comprises) joignant les points :r=o et ^ - i . Soil x

l56 CHAPITRE V.

l'arc de courbe compté positivement à partir de :r = o vers x = i,

et soit S() la longueur de l'arc total entre o et i , et soit enfin C = ~ .

Si l'on pose X = u -i- ii' ^ u et v sont pour o^^fji des fonctions réelles et holomorphes de t : « = 4'-,(/î), v =: g.2( t)- J^a fonction

est holomorphe pour ol^^i? et quand t décrit l'intervalle (o, i), la variable œ décrit la courbe donnée /.

On peutdonc transformerla fonction donnée/)^) => cin^" par

la formule

OU, plus généralement,

(i5) f[^?it)] =^anO^-['h(t)]'^=^p„(x) t",

rt — 0 /« m 0

OÙ p(x) est holomorphe et linéaire en aœ^ a-^x^t . . . , a,iX'^. Le développement (i5) est valable pour un x quelconque, mais le rayon de convergence de cette série de Taylor dépend de x. En particulier, si /(^) est holomorphe le long de la courbe /-^o définie par^„'L(^), la variable ^ variant de o à i, lafonctionde ^,/[^o^(^)]5 sera holomorphe le long du rayon (o^ i). On peut donc appliquer à cette série la méthode que nous exposions tout à l'heure. Prenons, par exemple, une suite de transformations conformes o(^,a) telle que les courbes o((?'^, a), 0^8^27:, se réduisent au segment (o, i) quand a s'approche indéfiniment de o. C'est le cas simple de l'étoile rectiligne. On obtient ainsi la formule

OÙ i),i est homogène et linéaire en pi(x)ti (« = i , 2, . . . , n).

Pour chaque x qui satisfait à la condition, énoncée ci-dessus pour X()j le point t = i est un point intérieur à l'étoile attachée à la fonction de t

On peut donc dans (i6) remplacer t par i

(17) f{oc)^^^ln{pn{x),o.\ ^^R.C^r.a),

OÙ R„(:r, a) est homogène et linéaire en «,^', a2.x- ^ ..., anX". Cette formule, pour « assez petit, représente f{x) en chaque points du plan complexe tel que f{x) est hoiomorphe sur la courbe /''. C'est donc une représentation qui, théoriquement du moins, permet d'explorer vers le côté de la tangente à F» en ^o le voisinage d'un point singulier Xq situé à l'extrémité d'une courbe x,'^{t).

15. Supposons donc que ^o ^oit un tel point singulier et regardons le développement (16). D'après la formule (i5) la fonction

F(^) =^pn{x)t" est hoiomorphe autour de Torigine, quelle que

« = o soit la valeur de x supposée pourtant finie. Il est donc permis de se servir du développement (i4). On obtient ainsi en tous cas la formule (16) et son domaine de convergence (a tendant vers o)est l'étoile rectiligne de F{t). Si, en particulier, x^ est un sommet de l'étoile curviligne E^ d'espèce / attachée à la fonction f{x), nous sommes sûrs que F (^) est hoiomorphe pour o < ^^ i ; donc le point i est un sommet de l'étoile rectiligne attachée à F( /) et l'on peut appliquer à ¥{t) au point i tous les théorèmes démontrés précédemment. Il en résulte que si, pour a assez petit, la série numérique

est convergente, la fonction de t, f[x,^l{t)l est continue et, ^^0 excepté, hoiomorphe au voisinage angulaire de i vers (o, i). Mais ^{t) est hoiomorphe au point i ; si l'on a donc '^(1)^0, ce que nons supposerons dans la suite, afin que ^0 'KO effectue une transformation conforme autour du point 1, on peut en conclure que f{x) est continu et, x, excepté, hoiomorphe dans le voisinage angulaire de Xq vers Z-^».

Nous avons donc poussé aussi loin que possible la générali-

l58 CHAPITRE V.

sation du célèbre théorème d'Abel et nous aboutissons au théorème suivant :

Soit Xo le sommet d'une étoile curviligne quelconque YJ . Si la série

2^Rn(Xo,Cl.)

est convergente, la fonction f(x) représentée par cette série est holomorphe le long de la courbe l^o^ de même qu'à l'intérieur dun cercle passant par Xq et ayant pour diamètre un segment suffisamment petit de la tangente en Xq à l^o. De plus, f{x) tend vers une râleur bien déterminée si, après être arrivé au cercle par le chemin l^^, on s'approche de Xq dans un angle d'ouverture <^7z et ayant pour bissectrice la tangente de /^o.

Inversement, si la fonction de ^,/[^o^(0] ^^^ holomorphe au voisinage circulaire du point ^= i vers (o, i), et si elle tend vers une valeur bien déterminée quand on s'approche de i à ce voisinage, les moyennes arithmétiques ^ni^x^, a) des S;i==::Ro+... + R,i tendent pour n^= ce vers cette même valeur grâce au théorème de la page i43.

Supposons maintenant que c'est f{x) qui soit continue et, Xq excepté, holomorphe au voisinage angulaire de ^'o vers /-^o, le point Xq étant un sommet de l'étoile E', c'est-à-dire Xq étant le premier point singulier de /(^) le long de la courbe /-^o. On en conclut que /[^o^(^)] est holomorphe le long du segment (o, i) excepté l'extrémité et que, grâce à la condition ^^(i) ^ o, au voisinage circulaire def(x) en Xq vers /-^o, correspond un voisinage circulaire de /[^o'}(^)] en I vers (o, i) en ce sens qu'il y a un petit cercle passant par I et ayant son centre sur le rayon (o, i) assez près de i tel que/ [^o'^(0] =^ l^(^) s^it holomorphe à son intérieur.

Par conséquent, la condition de continuité une fois remplie pour/(^) dans le voisinage circulaii-e de jTo vers /^o, elle sera remplie a fortiori pour la fonction de t, f[xo ^(0]' ^^^ ^ ^^^^ ^^ rayon (o, i). On arrive ainsi au théorème suivant :

Soit Xq le sommet d'une étoile curviligne quelconque YJ. Si la fonction fi^x) est holomorphe le long de /-^o, de même que

LE PROBLÈME GÉNÉRAL DES SINGULARITÉS. iSq

dans un petit cercle c passant par Xq et ayant pour diamètre un segment suffisamment petit de la tangente de l^^en x^ et si, de plus, /(x) est continu à l'intérieur et sur la circonférence de c, on a nécessairement, pour a assez petit,

lim cr,j(>o,a) =f{xQ).

C'est l'inversion la plus complète obtenue jusqu'ici du théorème de M. Frobenius.

La condition de continuité peut être remplacée par l'hypothèse quey^(^) soit bornée dans le voisinage correspondant sans qu'on ait rien à changer dans le raisonnement précédent, basé essentiellement sur la correspondance des voisinages. On aboutit ainsi à des théorèmes analogues où les expressions : convergence et tendant vers une valeur bien déterminée (ou continue) doivent être remplacées par bornée en valeur absolue.

En combinant ces quatre résultats comme nous l'avons fait déjà précédemment, on obtient encore deux théorèmes qui ne manquent pas d'intérêt.

La condition nécessaire et suffisante pour que f{x) soit holomorphe le long de /•'"», de même qu au voisinage circulaire de Xq vers l^^ et qu'elle devienne infinie en Xq, est que, pour a assez petit,

lim sup. 17 1 R,i(a7o, a) j = i,

et que, quelque petit que soit a,

lim sup. |c7„(^o, a) I = ^.

La condition nécessaire et suffisante pour que f{x) soit holomorphe le long de l-^o et qu'elle ait une infinité de points singuliers au voisinage circulaire dexo vers l^oesi que, quelque

petit que soit a,

limv^|K„(xo,a)|>i.

La démonstration, d'ailleurs très facile, de ces théorèmes, consiste à appliquer des théorèmes correspondants à la fonction de t, f[xo, à{i)] = F(0, en ajoutant que/(^) satisfait au voisinage de Xo aux mêmes conditions que F{t) au voisinage de i.

l6o CHAPITRE V.

16. Mais le développement (17) est capable de nous fournir des renseignements plus précis encore sur la manière donty"(^) devient infinie en Xq^ à supposer qu'il n'y a pas une infinité de points singuliers au voisinage circulaire de x,, vers /'o. Dans la dernière condition c'est ce fait même qui est mis en lumière par le développement considéré.

Supposons donc qu'il y ait un cercle passant par ^0 et ayant pour diamètre un segment de la tangente à la courbe /-^o en X(, tel que/(^) soit holomorphe à l'intérieur de ce cercle, du moins si l'on arrive à Xq par le chemin /-^o. Il en résulte que, pour a suffisamment petit,

lini sup. 1/j K;j(iPo, 5c)j = I.

On démontre facilement que si la partie dominante de la singtdarité de /(.r) en Xq est algébrico-logarithmique d'ordre (^,0), il en est de même de la partie dominante de F(^) =/[j<;y '^(^)] et inversement. On peut donc appliquer les théorèmes précédents à la fonction F(^), quoique les hypothèses soient énoncées pour/(.:r). Par ce procédé bien simple on démontre que les polynômes R/;(^05 0'-) ou leurs sommes S//(:ro? ^0 oi^i enfin, dans le cas général, les moyennes arithmétiques (j,i{xq^ a) de ces sommes sont, pour a assez petit, en relation très simple avec la singularité étudiée. En effet, le degré d'infini tude de ces cjuantités coïncide avec celui de la fonction y (.^), et, pour déterminer les coefficients numériques qui caractérisent complètement la partie dominante de la singularité, on a, pour a assez petit, la formule

lim ^ — - — - = cA,

OÙ

[-P4.(i)JPr(p-f-.) et la fonction est supposée mise sous la forme habituelle

AP./ loff— ^

\ ocj

LE PROBLÈME GÉNÉRAL DES SINGULARITES. l6l

En définitive, le développement (i-) de la fonction /(^), valable dans l'étoile curviligne E' d'espèce /, représente les singularités mêmes aux sommets de cette étoile. En d'autres termes, pour a assez petit, la suite numérique

égale à f(xo) s'if{x) est holomorphe en Xq, n'est pas sans rapport avec l'allure de la fonction même dans le cas où Xq est un point singulier de f(x) à un sommet de l'étoile E'. Les propriétés limites de la suite (i8) décèlent la nature de la singularité en Xq vers l-^». du moins si l'on s'approche de ce point par le chemin 1^0. Et, comme la série de Taylor, c'est-à-dire les coefficients cin une fois donnés, cette suite peut être formée pour n'importe quelle fonction analytique, en dernière analyse c'est par les coefficients a., que l'allure de la fonction est caractérisée dans un sommet du voisinage Xy

Ajoutons encore que certaines singularités échapperont à la portée de la méthode précédente. Ces singularités seront celles qui ne peuvent pas êti' atteintes par une courbe reclifiable de longueur finie. Elles exigeront de nouvelles recherches.