VI PREFACE

et par le prolongement analytique de cet élément de fonction. Il y a d'abord des méthodes qui ne supposent aucune restriction sur les coefficients a„. Il s'agit donc en ce cas d'étudier les propriétés générales de la fonction analytique et en particulier celles de ses singularités. L'importance des recherches de ce genre est évidemment très grande. Mais il est à craindre, ajoute M. Hadamard, que ces résultats ne restent toujouis trop peu nombreux.

On [)eut supposer d'autre part que la fonction à étudier appartienne à une classe bien connue de fonctions et il s'agit alors de caractériser cette classe de fonctions, c'est-à-dire les propriétés qui la définissent, par les propriétés limites des coefficients.

Ayant établi cette distinction, M. Hadamard, pour mieux assurer le progrès des études âo. ce genre, propose de prendre entre ces points de vue opposées une position intermédiaire convenable. C'est une telle position que nous avons tâché de choisir dans le présent Ouvrage.

I^our faire mieux ressortir l'idée directrice qui nous a guidé dans ce choix du nouveau point de vue, faisons une remarque simple qui paraîtra d'abord presque banale. Il n'est pas exact de dire que les propriétés de la fonction analytique définie par une série de Taylor sont déterminées par les propriétés limites des coefficients de la série. La forme même du développement entre aussi en jeu et son rôle n'est pas négligeable. Il faut donc replacer les coefficients dans la série et chercher des relations entre l'allure de la série et l'allure de la fonction. Plus généralement, la détermination de la fonction par le prolongement analytique d'une série de Taylor est mathématiquement très compliquée, ce n'est que logi- (piemenl qu'elle est réalisée; nous devons conquérir pour les mathémaliques cette notion purement logique de la fonction; en d'autres termes, il faudra représenter tout le contenu de ce concept à l'aide des moyens dont nous disposons dans l'analyse mathématique. Voilà le but de la théorie générale des fonctions