PREFACE. VII

analytiques, du moins au point de vue de Méray-Weierstrass qui est aussi le nôtre. Il s'agit donc d'établir des relations à la fois générales et précises entre fonction et représentation.

Quel sera maintenant notre point de vue intermédiaire? Sauf dans des cas exceptionnels ou pour élucider des problèmes déjà posés, nous ne ferons aucune hvpothèse restrictive sur les coefficients a, t. Nos résultats entreront donc dans la théorie générale des fonctions analytiques. D'autre part nous choisirons en même temps des singularités plus ou moins particulières, telles que les pôles, les points critiques algébriques ou algébrico-logarithmiques, ou bien des singularités plus générales comme, par exemple, celles où l'on suppose que la fonction soit bornée dans un certain voisinage d'un point ou bien qu'elle ne le soit pas, etc., et nous chercherons à établir des relations précises entre ces singularités et l'allure de la réprésentation (une suite de polynômes ou de fonctions entières dans l'espèce) si Ton y substitue l'affixe du point singulier en question. Ainsi, tout en conservant la généralité, nous aboutirons à des résultats concrets qui feront partie d une étude plus particulière des (onctions analytiques. On pourrait résumer notre point de vue en disant que nous chercherons à représenter les singularités par la nature particulière de la divergence que la représentation présente au point envisagé.

Toutes les recherches de ce genre sont inspirées par la troisième Partie du Mémoire fondamental de M. Hadamard. Mais les vues profondes de l'illustre géomètre sont restées sans inlluence jusqu'au jour où, à la suite des travaux très importants de M. Borel et de ceux de M. Mittag-Leffler, la représentation de la fonction dans ses points réguliers a reçu une solution aussi générale qu'inattendue. En effet, si l'on ne spécialise pas la classe des fonctions analytiques envisagées, Fétude générale de la singularité en un point signifie l'étude des valeurs régulières au voisinage de ce point. Donc on a été obligé de conquérir d'abord, par une formule aussi simple