Clt

sin ^^^^(9-0

dt.

Riemann a généralisé cette formule en établissant le théorème que voici ('). Soitp(^) une fonction continue ainsi que ses cinq premières

(') Noire énoncé du théorème n'est pas aussi général que celui de Riemann quoique ce dernier puisse être encore généralisé {voir Hobson, Theory of f mictions of a leal variable, p. 740 • Mais nous n'avons pas besoin de celte plus grande généralité et nous avons ainsi réus^^i à simplifier la démonslralion si discutée de Riemann.

l64 NOTE

dérivées entre b el c satisfaisant aux conditions

o"{l) n'ayant qu'un nombre fini d'extrêma dans l'intervalle {b^c

Théorème. — La différence entre la somme A, h- A2H-...4- A„ et

l'intégrale

sin

où {b, c) est un intervalle arbitrairement petit contenant le point t-=^Q à son intérieur, tend vers zéro avec—'

2. La démonstration est basée sur le lemme donné également par Riemann.

Soit '}\{t) une fonction rontinue ainsi que ses deux premières dérivées satisfaisant aux con ni lions >.(/>) r:= A(c) = A'(è) =1 X'(c) = o, et 'k"{t) n'a\anl qu'un nombre fini d'extrêma dans l'intervalle {b^c). On a nécessairement

lim /JL^ /

[A =00 Jy,

F {t) cos iJ.{t — a)A{t)dt = o.

L'intervalle {b, c est quelconque.

Pour le démontrer, remarquons que l'expression considérée peut se mettre sous la forme plus explicite

(5) ~^1? f ^n{t)cosiJ.{t-a)l{t)dt

\,i{t) = an^innt -h b„cosnt.

ou

Ou bien, en posant

B^^„{t) = - A„(a) cos(]Lt -h Ai)(^ — a) + -B,,(«) sin(^4- /i)(^ — «)

et

Bjx-«(0 = -A„(a)cos(// — n){t ~ a) — -B^{a) s'iniij. — n) {t — a)