UN THEOREME DE RIEMANN

avec

B„(a) = anCosna — ^„sin na, le /^'^™^ terme de la série ainsi formée est égal à

qui se transforme, grâce aux conditions imposées à ^(0; P^'' deux intégrations par partie en

Le terme d'indice /i = -i est, en particulier,

j Â(0[Aj,(0 cos,ul(^— rt)]

dt.

Décomposons Fintervalle (6, c) en un nombre fini k de segment {b',c') dans lesquels A" (i) croît ou décroît constamment. Le second théorème de la moyenne nous donne, C étant un nombre convenable entre b' et c',

/ l" {t) cos { [j. ^ n){t — a) dt = l\b') f cos{iJ.-hn){t — a)dt-hl"{c')j cos{ix-^ n){t — a) dt, et indépendamment des limites d'intégration et de /^

cos(|UL -h n){t — a) dt

car

Xcos(/jLH- n){t — QL)dt r

Par conséquent

/ l''{t)cos{iJ.-^ n){t — x)dt l'yb

sin(/ji4-/0(^ — y) — sin {IJ.-+- n)(t — ^)

2ÂM

où i\I est le module maximum de l"{t) dans Tintervalle {c, b). Si, D. "•

l66 NOTE.

enfin, A est la plus grande valeur de | <2„| + | b,i\. on a