UN THEORKME DE RIEMANN

ifip

de sorte que

On peut donc prendre ^u > p., > 2/i, assez ^rand pour que la somme de la série (5) soit inférieure en valeur altsolue à £, quelque petit que soit £ donné à l'avance. Le lemme est établi.

4. Pour démontrer enfin le théorème annoncé de Riemann, considérons l'intégrale

. 9~t sin

où X( ^) = I — p dans Pintervalle (ô, c) et X(^) = i dans les autres points «le Tintervalle (a, a H- 271). On suppose bien entendu que (a, a 4- 2Tr) contienne (6, c). De plus, nous pouvons compléter évidemment la définilion de'X{t) de façon qu'il ait la |)ériode 27:. Par hypothèse A(9) = o.

lin effectuant la dérivation indiquée dans l'intégrale, on obtient

F{t)Ai{t)>'n\ ^^i±' (^Q — i)dt

F(0/-2(0 co^-^^^ ^^ {9 — t)cft

H- / F(n>3(0si" ^^'^^ {B — t)dl.

après avoir pose

dt

sin

sin

Gomme /.(^) = //(^)=. . . = >^'M^) = û et X^(0 est continue, les fonctions >.i(0' ^2(0 «t \^{t) satisfont aux conditions du lemme

NOTE. — UN TIIEORKME 1)K RIKMAINN.

établi précédemment, les trois intégrales correspondantes tendent donc vers o pour 71 =cc :

'~ . 2 ft -\- \

lim f