L'ORDRE D'UN POINT SINGULIER
1. Considérons une fonction analytique de x définie par la série de Tajlor
oc
et par le prolongement anahtique de cet élément de fonction au sens de Weierstrass. La fonction étant complètement déterminée par la suite des coefficients cin^ toutes ses propriétés doivent se révéler dans la structure de ces coefficients tayloriens. Il s'agit de mettre en évidence les relations de ce genre. Par exemple, en partant des coefficients envisagés, on a pu construire des expressions analytiques telles, qu'au lieu d une infinité de séries de Taylor, une seule formule mathématique relativement simple, comme une série de polynômes ou une série de fonctions entières, représente la fonction dans un domaine d holomorpliie de plus en plus étendu.
Dans cet ordre d'idées, le problème des singularités se pose de
la façon suivante : il s'agit d'établir des rapports à la fois précis et
généraux entre l'allure de cette formule représentative pour une
valeur singulière Xq et l'allure de la fonction au voisinage de ce
point singulier. Nous cherclierons donc à représenter la fonction analytique, même en ses points singuliers, dans un sens tel que l'allure singulière de la formule, si l'on y substitue l'aff.xe d'un point singulier, nous décèle la nature de la singularité en ce point.
LA nÉRIVÉE GÉNÉRALISÉE DE IIIEMANN ET l'oPÉKAïION H^.
2. Pour ces recherches, il est indispensable de définir exactement quelques espèces à' allures de la fonction au voisinage d'un point singulier. Tout d'abord, on a la notion plus ou moins précise du degré d'infinitude de la fonction à un tel point ^o- On dit en effet que la fonction devient infinie du degré r si le rapport de la fonction à l'expression
reste fini, non nul, quand on s'approche de Xq. En général, cependant, la valeur-limite de ce rapport pour x=^Xq varie de — oo à ^cx:'^ même après qu'on a fixé un chemin aboutissant à x^^ c'est-à-dire pour le même chemin, elle peut varier de — oo à -I- 00 selon les points choisis pour arriver à ^o- H faut donc introduire une mesure plus précise pour caractériser la singularité tout en ayant soin pourtant qu'une singularité de la forme (2) soit mesurée par le nombre r.
Remarquons pour cela que, k étant le premier entier supérieur à r, l'intégration de (2) répétée k fois atténue déjà la singularité en Xq. En effet, après l'opération indiquée, on a une fonction finie et continue à ce point. On pourrait donc mesurer la singularité par sa résistance à une opération semblable. C'est l'idée de M. Darboux, développée si ingénieusement par M. Hadamard (^ ).
On voit que l'intégration ordinaire ne peut déceler ainsi que la partie entière de r. En général, par cette opération, les singularités considérées, dont les degrés d'infinitude diffèrent de moins d'une unité, ne sont pas distinguées l'une de l'autre. Pour y arriver, M. Hadamard s'est servi de l'intégration et de la différentiation
(') .1. Hadamard, Essai sur l'étude de fonctions données par leur développement de Taylor. Thèse, Paris et Journal de Mathématiques, 1892. Partie III.
LES RECHERCHES DE M. H-\DAMARD. l'oRDRE d'uN POINT SINGULIER. 3
d'indice fractionnaire ou incommensurable définies par Riemann (').
Mais ici une objection importante se pose. On veut définir pour une fonction analytique quelconque une opération en vue d'atténuer ses singularités. Est-ce qu'une telle opération qui, au fond, consiste à multiplier les coefficients tayloriens par des nombres c„, n'introduit pas des points singuliers nouveaux? Évidemment non s'il s'agit de la différentiation et de l'intégration ordinaire. Il faut se rassurer qu'il en est de même de l'opération plus générale pour que la simplification des singularités visée par nous ne soit pas purement fictive.
Nous allons établir à cet égard un théorème dont la portjée dépasse de beaucoup l'application que nous en ferons.
3. Soit donnée une fonction v(t) définie entre o et i et telle que l'intégrale
(3) f'\vit)\dt
ait un sens. Nous allons montrer que les sommets de l'étoile principale attachée à la fonction
(4) 9i^)= f vit)f{xt)dt
sont tous des sommets de l'étoile attachée àfix).
L'étoile principale d'une fonction analytique est définie de la manière suivante. Soit j^q le premier point singulier rencontré par un rayon issu de l'origine (ce point peut être l'infini). Supprimons la partie du rayon qui continue le segment (o, Xq) k l'infini, et ellectuons la même opération pour chaque rayon partant de l'origine. Le domaine ainsi obtenu est l'étoile principale de centre O attachée à la fonction f{ûo) holomorphe à l'origine. Les points jTq ainsi mis en évidence sont les sommets de Tétoile.
Supposons que le point x se trouve à l'intérieur de l'étoile. Quand t va de o à r , le produit :r^ décrit le segment (0,^:*) dans chaque point duquel /(j?) est holomorphe; son module a donc un
(') B. RiKMANN, l'ersuch einer allgemeinen Auffassung der Intégration und Différentiation ; 1847. Mathematische Werke, 2*' Auflage, p. 353.
maximum fini. Il en résulte que l'intégrale (4) a un sens pour chaque point à l'intérieur de l'étoile.
Mais on voit facilement que la fonction ainsi définie a une dérivée bien déterminée dans tous les points envisagés. En efï'et, pour II assez petit, le triangle formé par les points o, x^ x -(- h se trouve nécessairement à l'intérieur de l'étoile, de sorte que, dans l'expression
?(^ + ^0— ?(^)= r v{t)\f{xt^ht)—f{xt)\dt, •A
la quantité entre les crochets peut s'écrire
f{xt + ht) —f{xt) = lit[f'{xt) -+- Oe],
où I fil < I et £ tend vers o avec h indépendamment de t. Ce qui nous donne
^(x ^ II) — o{x)
= / v{t)tf'{xt)dl -\-z f Oti'(t)dt.
Chacune des deux intégrales ayant un sens bien déterminé *et
la seconde étant inférieure à / \v{l)\dt, quantité indépendante
de A, la proposition est établie.
Si l'on prend pour/(^) la série (i), on a
avec
(fi) c>, = j v{t)Vi dl.
On peut donc remplacer les r/„ par r,',,^// sans introduire des sommets nouveaux.
4. Nous allons généraliser ce résultat de M. Hadamard. Si l'on choisit pour ('(/) une fonction plus particulière, par exemple une fonction analytique de t holomorphe partout, sauf peut-être aux points o, I, oc, et telle que, au voisinage de o,
