LES RECHERCHES DE M. HADAMARD. LORDRE DUN POINT SINGULIER
et, au voisinage de i ,
(7) l-OK^^..
chaque point singulier de la fonction 'f (^), définie par la série
et par son prolongement analytique, est un point singulier def(x).
Pour le démontrer, remarquons tout d'abord qu'on peut prendre l'intégrale (6) le long d'une courbe rectifiable quelconque /sans changer sa valeur. En efl'et cette courbe, ensemble avec le segment (o, i), forme une courbe fermée se décomposant peut-être en plusieurs autres. Au cas où ni le point i ni o n'est à l'intérieur ou sur le contour dune pareille boucle />, l'intégrale, prise le long de ce contour, est identiquement zéro d'après le théorème fondamental de Cauchj. Si o ou i sont sur le contour ou à l'intérieur d'une boucle, on sépare ces points du contour par un petit arc de cercle c,, ou par un petit cercle c, et l'on écrit (fig. i)
Jf v{t)t"dt-\- I v{t)t"dt-^ I v{t)V^ dt = o. Fis;. I.
Mais, en vertu des hypothèses (7) faites sur (^(^), on a
/ v{t)t"dt
<Api-^ et
'(tjt" dt
<Btï ^
OÙ c et n sont les rayons arbitrairement petits des cercles c, et c; A, B sont deux nombres fixes. Gomme p est aussi petit qu'on veut, il en résulte que l'intégrale
v{t)t'i dt
a un sens parfaitement déterminé, et comme cr est aussi arbitrairement petit, cette valeur ne peut être que zéro. ^
L'intégrale (6) est donc zéro pour chaque courbe fermée, donc en particulier
(8) f ^(i)i" dt-\- j v{t)t'^
dt
ce qui était à montrer.
Examinons maintenant les points réguliers àe f[x). Cette fonction est en général multiforme; on doit donc considérer chaque point ensemble avec un chemin qui y conduit. On sait que tous les chemins possibles, c'est-à-dire les chemins qui ne passent par aucun point singulier, se trouvent nécessairement à l'intérieur d'un nombre fini de cercles successifs empiétant les uns sur les autres. Il suffit donc de considérer les lignes rectifiables ou même les polygones d'un nombre fini de côtés; tous les autres chemins sont équivalents à ceux-ci.
Soit donné une telle ligne L et désignons pour un instant ses points par y. Quand y varie de o jusqu'à un point x de I., fixé
pour le moment, le rapport t = — décrit une courbe l^ allant de o
à I. Ainsi, à chaque point de L on fait correspondre un chemin / qui servira de chemin d'intégration dans l'intégrale (4). Cette intégrale, prise le long d'un / ainsi défini, a un sens bien déterminé, car, quand t parcourt /, xt décrit L jusqu'au point x (nous désignerons cette partie de L par L^) et, par hypothèse, f{y) est holomorphe en tous ses points. Le point x étant fixé, regardons le point X -\- h. Quand t parcourt Z-^, le produit t(x ^ h) décrit une ligne nouvelle, L'[+'^. Il est évident que si h tend vers zéro, la ligne L-J'^'^ s'approche indéfiniment de L-^, de sorte que, pour \h\ assez petit, toutes les deux courbes Lf+^ et L-^, qui correspondent à la même courbe Z-^", se trouvent à l'intérieur du même domaine d'holomorphie de f{x). Par conséquent, on peut répéter sans
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aucun changement le raisonnement de tout à l'heure concernant l'existence de la dérivée de 'f (^) au point x. Cela montre que chaque point de L est un point régulier de 'f(^) comme il fallait démontrer.
Remarquons enfin que toutes les courbes L considérées par nous partent de Torigine, et l'on peut prendre x assez petit pour que L-^' se trouve entièrement à l'intérieur du cercle de convergence de la série ( i ) ; de sorte que dans l'intégrale ( 4 ) on peu t remplacer y*(:r) par cette série de Tajlor, et, d'après (8), on obtient ainsi les mêmes coefficients c,i quel que soit dans l'intégrale (4) le chemin d'intégration /. C'est-à-dire quel que soit L, il s'agit bien d'une seule fonction analytique 'f (^) définie par la série (5) et par son prolongement analytique.
o. Appliquons ces généralités à deux cas particuliers très importants pour la suite. Soit d'abord
A chaque valeur de a correspond une fonction 'f (^) que nous allons désigner par R"/(^). Grâce aux développements précédents, nous savons que les fonctions
T. .. . 1 r^ f(t.r)dt
(9) K^Ax) = ^^^J^ TV^Tj^^
sont toutes holomorphes en chaque point régulier de f{x). Riemann a établi la formule suivante pour les coefficients c,i
(lO) Cn= t; '
où r désigne comme d'habitude l'intégrale eulérienne de deuxième espèce.
On peut la vérifier facilement, si l'on remarque que par définition
I r^ t" dt
et que la fonction r(^) satisfait à l'égalité
On a donc la formule fondamentale
(■') '^'/(^)=2fûj
En particulier, si a est un entier,
" (/i + i)(n-H2)...(/i-)-a) de sorte que la fonction
se forme de /(^) par une intégration répétée a fois. L'opération (9) ou bien les multiplicateurs des coefficients a,i dans la série (11) définissent l'intégration générale de Riemann d'ordre fractionnaire ou incommensurable.
La dérivation ou, si l'on veut, l'intégration d'ordre négatif (a<< o) se définit de la manière suivante : Soit A' le plus petit entier positif tel que Â-|-a>o. On calcule l\^^^f(,X') par la formule (11) par exemple, et l'on pose pour a négatif
et l'on a par définition
Si ao=o, ce qu'on peut toujours supposer, car une constante additive n'influe aucunement sur les singularités de la fonction étudiée, on peut prendre pour r(/) la fonction
En ce cas, d'après la formule connue,
on a
-=ri^/('-7r-
^ dt
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Posons donc pour a > o
Pour a < o on défini l l'opération en question de la manière suivante : On calcule H^'^°' par la formule (i3), puis successivement on différencie et Ton multiplie par x^ en répétant A' fois cette opération alternée. Ainsi l'opération H* se trouve définie pour a quelconque positif, nul ou négatif par l'unique formule (i3), et nous sommes assurés, d'autre part, que cette opération n'introduit jamais des points singuliers nouveaux.
Pour a entier l'opération H* se réduit à une succession alternée de dérivation (ou d'intégration) et de multiplication par X.
Dailleurs les deux opérations 1\^, H* ainsi obtenues sont très semblables. Tout d'abord, pour a entier, chacune d'elles se compose de dérivation ou d'intégration, et de multiplication par une puissance entière de x. D'autre part, l'expression asjmptolique de la fonction r(/z) nous donne
où
lim £„
de manière que le rapport des deux sortes de <?« calculées précédemment tend vers i pour /i ^ oc.
Remarquons encore que ces deux opérations qui n introduisent aucun point singulier nouveau, n'en suppriment pas non plus. En effet, d'après le théorème démontré, la fonction
H-4Ha/(x)]=/(r) n'a d'autres points singuliers que ceux de la fonction H°'/(.r).
LA NOTrON d'ordre.
6. Nous avons construit le mécanisme qui nous permettra d'atténuer la singularité de la fonction dans un point. Mais jusqu'à quel degré doit-on pousser l'opération? Quels seront les caractères
dislinctifs du zéro de notre échelle? Il faut choisir ces caractères de façon qu'ils permettent de former une échelle unique pour la mesure des singularités (c'est une condition indispensable de toute définition logique); d'autre part de façon qu'ils se manifestent simplement dans la structure des coefficients, afin que la notion nouvelle puisse nous servir d'instrument utile dans l'étude des fonctions analytiques. M. Hadamard a résolu ce problème très délicat par l'introduction d'une notion relative aux fonctions continues, voisine de celle des fondions à variation bornée de M. Jordan.
Une fonction réelle ou imaginaire niais continue d'une variable réelle 9 sera nommée à écart fini dans l'intervalle (a, h) lorsque les intégrales
n rcosn0/(O)f^O, n fsinnb/{%)dQ,
prises entre des limites quelconques intérieures à l'intervalle («, b)^ restent bornées en valeur absolue pour n = oo. La limite supérieure I de leurs modules, finie dans les conditions indiquées, est V écart de la fonction /(8) dans (a, b).
Une fonction à variation bornée est toujours à écart fini ('). Le second théorème de la moyenne appliqué à l'intégrale
f^ A(0)/(6)cos/i0rtf0,
montre immédiatement que, si la fonction continue 'i>(8) varie toujours dans le même sens, le produit '^/ est aussi à écart fini et son écart ne dépasse pas celui de /(O) multiplié par 2 M, où M est le module maximum de 'i>(B). Si 'i>(8) a un nombre fini de maxima et de minima, on remplace 2 par le nombre des extréma.
Si l'on diminue l'intervalle (a, b), l'écart ne peut que s'abaisser ou rester constant. Par conséquent, lorsque l'intervalle tend vers o de façon qu'un point fixe Qo ^e trouve à l'intérieur de chaque intervalle successif, Técart tend nécessairement vers une valeur bien déterminée. C'est l'écart de la fonction /(B) au point Gp.
Nous définissons maintenant l'ordre de la manière suivante :
(') Voir J. Hadamard, Thèse^ p. 65.
