LES RECHERCHES DE M. HADAMARD. L ORDRE DUN POINT SINGULIER. II

Soit Xq un sommet de l'étoile attachée à la fonction analjtique/(j;). . Traçons un arc de cercle de centre O passant par ce point. Si la fonction a des points singuliers à l'intérieur du triangle formé par le petit arc de cercle (a, b) et par les deux rayons vecteurs (o, a), (o, 6) quelque petit que soit lare {a, b), nous dirons que Tordre de la fonction en Xq est H-oc. Dans le cas contraire l'ordre de la fonction su/- l'arc (a, b) est le nombre to déterminé par la double condition que, z étant arbitrairement petit, H'^+^/(^) soit déjà continue et à écart fini sur Tare considéré et que l'une des deux propriétés manque à la fonction H"~-/(jc). L'ordre de la fonction au point Xq est la limite des ordres sur les arcs successifs contenant tous Xq à leur intérieur et dont la longueur tend vers o. L'ordre to peut prendre toutes les valeurs entre — c^ et -\-cc. Pour que cette définition soit complète, il faut encore démontrer qu'il n'y a qu'un seul nombre to qui puisse correspondre ainsi à un point singulier. D'après cette définition, en effet, ou bien l'ordre en un point est -h x, et alors il n'y a que ce seul nombre pour marquer l'ordre de ce point, ou bien l'ordre n'est pas infini, c'est-à-dire, il existe au moins un to tel que R^f{x) soit continu et à écart fini sur l'arc comprenant le point singulier en question à son intérieur. Il s'agit de démontrer que, dans ce cas, il n'y a qu'un seul nombre qui satisfasse à la double condition indiquée tout à l'heure.

7. Regardons d'abord le cercle de consergence dont nous pouvons supposer le rayon égal à i et établissons deux théorèmes complémentaires.

Si ^ |a«| est eonvergent et si

lim rt„« log/i = O,

la fonction ^ anX"" est continue et à écart fini sur le cercle de

convergence.

La première hypothèse entraîne immédiatement la conclusion que la fonction

* oc

est continue sur le cercle de convergence; en effet la série de Tajlor (i) est uniformément convergente à l'intérieur et sur la circonférence du cercle de rayon i . Reste à montrer que, les conditions remplies, /(.Z") est à écart fini sur le cercle. Au lieu de considérer les intégrales

ni cos/iO/(e'&)^e, ni ?>[nndf(e^^)dO,

OÙ 8 est l'argument d'un point du cercle de convergence, nous pouvons examiner les intégrales

dont la somme et la différence reproduisent, à un facteur constant près, les intégrales précédentes. Il s'agit de démontrer que les modules de ces expressions ont une limite supérieure finie pour n=^oo, les limites d'intégration étant quelconques entre o et 271. Gomme la série (i) converge uniformément sur le cercle, on n'a qu'à la multiplier par e~"'^ et intégrer lerme à terme; on obtient ainsi

de sorte que le module de cettcintégrale reste inférieure à 2A si A désigne la somme ^|rt,i|.

D'autre part

n / e-'»'0 /(e'ô) o?0 = V — - — «„, [^('«--"'^v. g(m-«)/«i J,, ' jLd m— n ^ -"

le terme d'indice /n = n éianii na„{b — a). Soient /x < i etK > i, et pour évaluer sa somme, divisons la série en trois parties. La première contiendra les termes d'indice inférieur à //?. Pour ces termes

de façon qu'ils donnent une somme inférieure à '^ « La seconde

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