II) H

/>, q, /', s, t désignant, suivant l'usage, les dérivées de z par rapport à .27 et à jK. Et il restera à exprimer que cette fonction H, une fois calculée, satisfait à l'équation aux dérivées partielles en 9.

Cette équation, il est vrai, est écrite avec les variables indépendantes p,, po, qui sont les paramètres des lignes de courbure. Si l'on substitue ^,jk à p,, pa, elle prendra évidemment la forme

ox- (jx Oy oy- ox oy

Pour déterminer les rapports des coefficients A, B, C, D, E, nous nous appuierons sur sa propriété caractéristique, et nous écrirons qu'elle admet les solutions particulières

Nous obtiendrons ainsi les conditions suivantes : D = E-^o, A/-i-Bs-+-C< = o,

(') LÉVY (Maurice), Sur une réduction de l'équation à différences partielles du troisième ordre qui régit les familles de surfaces susceptibles de faire partie d'un système triple orthogonal ( Comptes rendus, t. LXXVII,

FORMFS DE l'ÉQUATION DU TROISIÈME ORDRE. 83

qui permettent d'écrire l'équation sous la forme (*)

-^[ii-^P')t-{i'^g')r]j^-r-[pqr-{i + p^)s]~ = o.

Il suffira d'y remplacer 0 par la valeur (i i) de H, pour obtenir le résultat de M. Maurice Lévy,

En désignant, pour abréger, par AQ le premier membre de l'équation (i 3), A étant un symbole d'opération, l'équation du troisième ordre deviendra

(i4) AH = o.

50. Il importe de remarquer que l'équation précédente, oii l'expression seule de H changera, s'applique au cas où x, y, z seraient des coordonnées relatives à des axes qui seraient les mêmes pour tous les points d'une même surface, mais varieraient avec m; car ces coordonnées relatives sont des fonctions linéaires des coordonnées absolues, dont les coefficients dépendent simplement de u] et, par suite, elles conservent toutes les propriétés des coordonnées absolues sur lesquelles nous nous sommes appuyés.

Nous allons appliquer cette remarque à la détermination des surfaces invariables de forme qui peuvent, en se déplaçant, engendrer une famille de Lamé. A cet effet, nous prendrons des axes mobiles invariablement liés à la surface et par rapport auxquels elle aura toujours la même équation, et nous choisirons comme variables indépendantes u et les coordonnées relatives .r, y. L'équation du problème sera alors l'équation (i4)î l'expression seule de H changera, et nous devons la calculer de nouveau. Il nous suffira, pour cela, d'appliquer la formule (46) du Chapitre précédent (n" 10), d'après laquelle Wdu est égal à la grandeur du déplacement, quand ce déplacement s'effectue suivant la normale à la surface considérée.

Dans le cas actuel, si Vxdu^ Vydu^ Vzdu désignent les projections sur les axes mobiles du déplacement du point de coordon-

(') Leçons sur la théorie des surfaces, n" 108 (I" Partie, p. i37).

84 LIVRE I. — CIIAPITHE IV.

nées x^ y^ z, on a

/ v^du = dx -\- (%o+ ^z — -(y) du, (i5) ^. Vydu = dy-\-('^Q-hyx — a.z)du,

[ (.', du — dz + ( Yo + ajK ^ ? ^) du,

a, j3, y, ao, [3o, yo désignant les composantes des trois rotations et des trois translations par lesquelles on passe du système d'axes mobiles aux axes infiniment voisins. La surface de paramètre u ne variant pas de forme, on aura d'abord

dz ^ p dx -+- q dy, et il faudra joindre à cette équation les deux suivantes :

par lesquelles on exprime que le déplacement a lieu suivant la normale. Si dn désigne la grandeur de ce déplacement, on aura

dn = yv% -f- t^j. -t- v'i du = v-\J i -h/j^h- q- du = H du.

Cette équation, jointe aux précédentes, nous donne

(iG) H = yp-'^^p - i^o'y ^ '^(y + g^) - P(^ -^p^) - y(g^—P7).

et l'équation (i4) deviendra

r,K y-^it. «A ^+/^^ A '1^-py

PA --^l^" .^A

\J \ -\- p'^ -^ q"' y/i -t-/)2-|-y2 ^i^pt^qï

On peut l'écrire sous une forme plus élégante en introduisant les cosinus directeurs de la normale, définis par les relations

p q -I ^y^pi^qi

Elle devient ainsi

( a A(c"j' — c' z') H- j3 A(c:; — c" x) -t- y A(c':p — c^) { -t- ao Ac -i- Po ^C + Yo Ac"

FORMES DE l'ÉQUATION DU TROISIÈME ORDRE. 85

Comme elle doit être satisfaite pour toutes les valeurs de ii, elle se décomposera généralement en plusieurs autres.

Par exemple, si l'on veut une surface qui, dans un déplacement quelconque, engendre une famille de Lamé, il faudra satisfaire aux six équations obtenues en égalant à zéro les coefficients de a, p, y, ao, j3o, yo- C'est ce qui a lieu pour les sphères et les plans. Si Ton ne veut considérer que des translations quelconques, il suffira que l'on ait

Ac = o, Ac'=o, Ac"=o.

Dans tous les cas, on voit que, si l'équation est vérifiée pour deux déplacements, elle le sera pour tous ceux qui résultent de leur composition. Cela résulte de sa forme, linéaire par rapport aux rotations et aux translations.

51. La surface la plus générale sera évidemment celle qui n'engendre que par un seul mouvement une famille de surfaces faisant partie d'un système triple. Pour une telle surface, les rapports de ao, ^oj Yo> °c, ^3, y doivent être des constantes. Le mouvement de la surface sera donc hélicoïdal. Supposons que l'axe de ce mouvement ait été pris pour axe des :;, on aura

«0 = Po = 3t = P = o, TO = — /^'ï»

k désignant une constante, et l'équation aux dérivées partielles de la surface deviendra

, , . qx —py -^ k

D'ailleurs l'équation aux dérivées partielles du second ordre

Ajji = o admettant toujours l'intégrale

où «oi • • «j «4 sont des constantes, on voit qu'on aura des solutions particulières de l'équation aux dérivées partielles du troi-

sième ordre (20) en intégrant l'équation du premier ordre

(21) ^ "^ = ao(a:^^-\-y^-\- z-) -i- aix -^ a^y -^a^z + a-^. ^ V -f- p'^ -\- q'^

Si l'on se borne, en particulier, à l'équation

(22) qx — py + k — a\/i-i-p'^-h q-,

on obtiendra des surfaces remarquables que l'on peut caractériser par la propriété suivante : elles sont superposables aux surfaces qui leur sont parallèles ; leur équation aux dérivées partielles s'intègre d'ailleurs sans difficulté. Prenons, en effet, comme variables indépendantes les coordonnées semi-polaires

p = ^x--^y'^, a) = arctang — j l'équation (22) deviendra

et sous cette forme on aperçoit immédiatement qu'elle admet une intégrale complète, somme d'une fonction de p et d'une fonction de w. Elle a pour expression

'-f\^{h-i-ky-a^---'-^d?-^C,

h et C étant deux constantes. De cette intégrale complète, qui représente un hélicoïde développable, on pourra déduire, par les procédés connus, l'intégrale générale,

52. Il reste maintenant à déterminer toutes les surfaces qui peuvent, en prenant plusieurs mouvements différents, engendrer une famille de Lamé. Cette question, qui avait été posée dans notre Cours de 1890-91, a fait l'objet d'un assez grand nombre de travaux; mais elle n'a pas encore été résolue d'une manière complète. M. Lucien Lévj a d'abord démontré, en 1891 ('), le résultat suivant :

(') Lévy (Lucien), Noie sur le déplacemenl d'une figure de forme invariable {Bulletin des Sciences mathématiques, "i' séTie, t. XV, p. 76; mars 1891)

FORMES DE l' ÉQUATION DU TBOISIÈME ORDRE. 87

Les seules surfaces qui puissent, en prenant tous les déplacements parallèles à un plan donné (P)^ engendrer une famille de Lamé sont les sphères, les plans et les cylindres dont les génératrices rectilignes sont perpendiculaires au plan (P).

Et de là on peut évidemment déduire que :

Les sphères et les plans sont les seules suif aces cjui puissent, dans tous les déplacements possibles, engendrer une famille de Lamé.

En 1890, M. P. Adam a étendu la première proposition de M. Lévy au cas oii, parmi les déplacements parallèles au plan (P), on se borne à considérer les translations (*)• A cette occasion, M. Goursat a publié une démonstration géométrique très simple par laquelle on peut établir que les sphères et les plans sont les seules surfaces qui puissent, dans tous les déplacements possibles, engendrer une famille de Lamé (-). Enfin, M. J. Bertrand a montré de la manière la plus simple, par la Géométrie, que la proposition précédente subsiste encore lorsque, au lieu de tous les déplacements possibles, on considère seulement des translations (^). Voici la démonstration de M. Bertrand.

Soit (S) la surface cherchée qui, en prenant un mouvement de translation quelconque, fait naître une famille de Lamé. Si l'on prend un point A sur cette surface, et si l'on imprime une translation arbitraire parallèle à la normale en A, cette normale sera une trajectoire orthogonale de la famille ainsi engendrée; elle devra être, par conséquent, l'intersection de deux surfaces appartenant aux deux autres familles qui composent le système triple. Ces deux surfaces seront évidemment des cylindres engendrés par la translation des deux lignes de courbure de (S) qui passent en A. Et de là, il résulte immédiatement qu'en tout point de chacune de ces lignes de courbure le plan principal de

(') P.Adam, Sur les systèmes orthogonaux {Comptes rendus, t. CXXI, p. 812).

(^) E. GounsAT, Sur les systèmes orthogonaux {Comptes rendus, l. GXXI, p. S83).

(^) J. Bertrand, Note sur un théorème de Géométrie {Comptes rendus. l. CXXI, p. <j2.).

cil A PI THE IV.

la surface (S) est parallèle à la normale en A. Ainsi la surface (S) doit être telle que, si l'on prend deux quelconques de ses points sur une même ligne de courbure, la normale en l'un des points doit être parallèle au plan principal relatif à l'autre. Donc :

Les normales en tous les points d'une même ligne de courbure de (S) sont parallèles à un même plan.

Comme ces normales doivent former une surface développable, il faudra nécessairement que la ligne de courbure soit plane el située dans un plan normal à la surface.

La notion de la représentation sphérique montre immédiatement que cette condition ne peut être réalisée, pour toutes les lignes de courbure, par avicune surface à lignes de courbure déterminées. Car il n'existe sur la sphère aucun sjstème formé de familles de grands cercles se coupant à angle droit. La surface, si elle n'est pas développable, est donc nécessairement une sphère.

Si elle est développable, on reconnaît immédiatement, en prenant une de ses lignes de courbure curvilignes, qu'elle se réduit àuncjlindre; et, en effet, la translation d'un cvlindre quelconque fait naître une famille de Lamé. Mais, dans ce cas, une rotation autour d'un axe perpendiculaire aux génératrices du cylindre ne donne plus naissance à une famille de Lamé, à moins que le cylindre ne se réduise à un plan.

On le voit, jusqu'ici le résultat le plus étendu est celui que l'on doit à M. Adam, et qui fait connaître toutes les surfaces qui, pour deux translations différentes, engendrent une famille de Lamé.

53. Pour compléter ces indications, je signalerai différentes recherches de MM. Lucien Lévj et Petot ( * ) relatives aux surfaces

(') Lucien L?;vy, Sur les systèmes triplement orthogonaux où les surfaces d'une même famille sont égales entre elles {Journal de Liouville, 4' série, t. VIII, p. 35i; iSg-i). — Sur les systèmes de surf aces triplement orthogonaux (^Mémoires couronnés et Mémoires des savants étrangers de l'Académie royale de Belgique^ t. LIV; 1896). — Pktot (A.), Sur certains systèmes de coordonnées sphérigues et sur les systèmes triples orthogonaux correspondants (Comptes rendus, t. CX.II, p. 1426; juin 1891). — 5m/- les surfaces susceptibles d'engendrer, par un déplacement hélicoïdal, une famille de Lamé {Comptes rendus, t. CWIII, p. 1409).

FORMES DE l'ÉQUATION DU TROISIÈME ORDRE. 89

qui, par une simple translation ou par un seul mouvement hélicoïdal, engendrent une famille de Lamé. On doit en particulier à M. Petot une interprétation géométrique élégante de l'équation fondamentale (17). Voici l'énoncé du résultat obtenu par M. Petot :

La congruence engendrée par la droite qui, pour chaque point de la surface cherchée, joint les deux centres de courhure géodésique des lignes de courbure appartient à un complexe linéaire.

Pour établir cette proposition, nous raisonnerons comme il suit :

Considérons un point particulier M de la surface cherchée, et prenons pour axes des x, des y et des s, les tangentes principales et la normale en ce point. Le symbole AQ prendra la forme simple

' dxdy

et si l'on remarque que /?, q, s sont nulles pour le point M, on verra facilement que l'équation (17) se réduit à la suivante

/ r X , . s ds r, às

(25) ^(,,.)^ao--l-P„^-=o.

Or, un calcul facile donne les coordonnées des centres de courbure géodésique des deux lignes de courbure et, par suite, les équations de la droite qui réunit ces deux points. Ces équations sont les suivantes :

Z = o, X^-Y^=^-/-. oy ox

La condition (aS) exprime que le point de coordonnées

-) "j o se trouve sur la droite précédente. Or ce point, on

le reconnaîtra aisément, est le foyer du plan tangent dans le mouvement hélicoïdal qui engendre la famille de Lamé. Ainsi se trouve établi le résultat de M. Petot :

Le foyer du plan tangent à la surface dont le mouvement hélicoïdal engendre une famille de Lamé se trouve en ligne

go LIVRE I. — CIIAPITBE IV.

droite avec les deux centres de courbure géodésique des deux lignes de courbure relatifs au point de contact du plan tangent.

En d'aiilres termes,

Si une surface (S) engendre, dans un mouvement hélicoïdal, une famille de Lamé^ la droite qui, dans chacun de ses plans tangents, joint les deux centres de courbure géodésique des lignes de courbure pour le point de contact de ce plan appartient au complexe linéaire des droites qui, dans le mouvement hélicoïdal considéré, sont normales aux vitesses de tous leurs points.

Si l'on revient aux. axes primitifs, on pourra énoncer la conclusion suivante : Les six quantités

Ac, Ac', Ac", A(c"j' — c'^), ti.{cz — c"x)^ ù^ic'x — cy) sont liées, dans tous les cas, par la relation identique

(26) Ac A(c"jK — c' z) -r- Ac'A(cs — c" x) -H Ac"A(c'a7 — cy) — o;

par suite, il existe une droite, déterminée par les trois équations, toujours compatibles,

où X, Y, Z désignent les coordonnées courantes.

Cette droite, située dans le plan tangent de la surface, j joint les centres de courbure géodésique des deux lignes de courbure qui se croisent au point de contact du plan tangent. L'équation aux dérivées partielles (19) exprime simplement qu'elle appartient à un complexe linéaire déterminé (').

(' ) Au moment où s'imprime cette partie de mes Leçons, M. E. Cosserat communique à l'Académie des Sciences {Comptes rendus, t. CXXIV, p. 1426; juin 1897) un élégant théorème qui peut s'énoncer comme il suit :

La cyclide de Dupin peut engendrer une famille de Lamé dans une infinité de mouvements dijD'erents ; ces mouvements résultent de la composition de

ZAc'

- Y Ac" =

-cyi

XAc"

- ZAc =

-cz),

YAc -

-XAc'.

-Hcy -

FORMES DE l'ÉQUATION DU TROISIEME ORDRE. gi

54. Dans les développements qui précèdent, nous avons supposé que l'équation de la famille de surfaces était résolue, soit par rapport à u, soit par rapport à z. Nous considérerons maintenant le cas où cette équation est de la forme générale

et ne peut être résolue par rapport à l'une des variables qu'elle contient. La quantité que nous avons désignée par H aura ici pour valeur

deux rotations autour des droites D, A, par lesquelles passent les plans des deux séries de lignes de courbure de la surface.

On peut rattacher la démonstration de ce résultat aux remarques suivantes :

Considérons une famille de sphères (S) ayant leurs centres sur une ligne droite D. Leurs trajectoires orthogonales sont situées dans des plans passant par D. Si, sur une des sphères (Sj),on trace une courbe quelconque (C^), toutes les trajectoires orthogonales qui rencontrent (C„) engendreront une surface (Jo) dont elles seront des lignes de courbure planes. Les autres lignes de courbure de (J(,) seront situées sur les sphères (S). Cette surface appartiendra donc à la classe de celles qui ont été déterminées par Joachimsthal et dont il est question aux n°" 92 et suiv. des Leçons sur la théorie des surfaces (I" Partie, Livre IL Chap. I).

Faisons tourner autour de D la surface ( Jo); ses positions successives (J), étant coupées à angle droit et suivant des lignes de courbure par les sphères (S), engendreront une famille de Lamé, en vertu de la réciproque du théorème do Dupin.

Pour obtenir la troisième famille qui, avec les sphères (S) et les surfaces (J), complète le système triple, il faudra construire sur la sphère (Sj) toutes les courbes (D(,) qui coupent à angle droit les diverses positions de la courbe (Co) lorsqu'elle tourne autour de D. Les trajectoires orthogonales des sphères qui rencontrent une même courbe (D„) engendrent des surfaces (K) qui formeront la troisième famille cherchée.

Parmi les courbes (D,,), quelques-unes se réduiront à des cercles; ce sont celles qui partent des points où la tangente à (Cu) est située dans un même plan avec D. Toutes les autres seront identiques de forme et se déduiront de l'une d'elles par une simple rotation autour de D. On les déterminera par une quadrature.

Il y aura des propriétés analogues pour les surfaces (K). Quelques-unes seront de révolution ; les autres seront identiques et se déduiront de l'une d'elles par une rotation autour de D.

La cyclide de Dupin pouvant, de deux manières différentes, être regardée comme une surface de Joachimsthal, on retrouve ainsi la proposition de M. Cosscrat.

OU, en posant -ji =: cp' et conservant les notations précédentes,

s/^l -^ fl + ?^

Toutes les équations qui nous ont servi de point de départ (3i) ^t,u = o, S(vW = o, ( ' ) = o,

subsistent sans modification quand on y remplace u par o, en traitant, dans les dérivations, u comme une constante. En effet, comme ces équations sont celles qui déterminent les directions principales, et comme u demeure constante pour chaque surface, il importe peu que l'équation de la famille soit résolue, ou non, par rapport à u. Ainsi on aura

Quant à l'équation du troisième ordre, elle est toujours la même (33) ^^ff^^A-Hg-^o;

et comme on peut la mettre sous la forme

d oli — Hxd^x — 112 0? ^y — ïi^doz = o,

qui ne contient que des différentielles prises en laissant u constant, on pourra supposer que les dérivées de H y soient prises en supposant u constant. En éliminant vi, w^, on trouvera comme précédemment

! Hu H22 H33 H23 Hi3 H12

Ifll «?22 933 ?23 fl3 «?12

2(pi 00 O 1^3 <f2

O 2Ç2 O (fs O <pi

mais ici toutes les dérivées doivent être prises en laissant u con-

FORMES DE l'ÉQUATION DU TROISIÈME ORDRE. ()3

stant. On voit qu'en définitive l'équation exprime une relation entre les dérivées partielles par rapport k x, y, z des deux fonctions Q et z>'= T • D'ailleurs, cette relation n'est pas nécessaire- ^ ^ du ' ^

ment identique, et il suffît qu'elle soit une conséquence de la relation qui lie u à x, y, :;.

L'équation précédente, étant mise sous forme irrationnelle, ne peut toujours être employée utilement. Aussi allons-nous la calculer dans sa forme rationnelle et entière. A cet effet, reprenons l'équation

(30) ^^ViW/cOik = o,

et appliquons-lui la méthode déjà suivie plus haut (n"^ 10 et suiv.) . Prenons le o^ du premier memhre; on aura évidemment

D'autre part, la différenliation des deux équations

(38) 0-j)f = G, OçH-'^O

nous donne les relations

l OaC/ -+-0(,O/ -+- W/OoCp' = G, ( O^ptï'/, H- 0,vCf/,--f- iUO<v<? = O.

Remplaçant w/, u/, par leurs valeurs, on trouve

f 0:fW/c H- 0,v?/, — -V Oiv? = O.

On a, d'autre part,

(40 oç cp,-;t = 2 ?'' '• ''^■'' "^ '^'i'^ °? " == 2 '^'^ '?''^"'' ~ V 2 '^''*

Tenant compte de ces dernières relations, on ramènera l'équa-

94 LIVRE I. — CHAP. IV. — FORMES DE l'ÉQUATION DU TROISIÈME ORDRE.

tion du troisième ordre à la forme

où 1 on aura

^'^!f^^i'iw^:<»a- =^^Biki>nvk = o,

Bm- = ?' ^ ( ?/' ?'■/./* — 2

Oih ^/ch )

On obtiendra ainsi l'équation final(

Bn B,

B23 Bt3 Bj2

2Cft

O.Wj o

o 2Cp3

qui n'est pas beaucoup plus compliquée que celle où figure la fonction u. Ce résultat offrira quelque intérêt si l'on songe au nombre de termes qu'aurait pu introduire le calcul des dérivées secondes et troisièmes de u, considérée comme fonction implicite de X, y, z.

En développant le déterminant, on trouvera

<?l[B23(?22— «fsa) -+- 'Ï'23(B33— B22)] "i" • • [<P2[2Bi2Cp23— 2B23«f21-H (B22— B33)cpi3-f-

???3[2Bi

?l«f2?3[Bii(cp22— 'f33) -*- B22((f33

Bl2(«?22 — ^33)] ■ 633(^11 — 922)]

les termes non écrits se déduisant de ceux des trois premières lignes par des permutations circulaires.