CHAPITRE IV

FORMES DIVERSES DE L ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU TROISIÈME ORDRE.

On peut obtenir l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre en exprimant que la plus courte distance d'une surface de la famille à la surface infiniment voisine est une solution particulière de l'équalion ponctuelle relative au système conjugué formé par les lignes de courbure. — Théorème de Ribaucour : les cercles osculateurs des trajectoires orthogonales aux points où elles rencontrent une surface déterminée de la famille forment un système cyclique. — Démonstration de la proposition réciproque. — Rappel des études antérieures sur les systèmes cycliques et étude de deux problèmes nouveaux : i° détermination des familles de Lamé pour lesquelles les plans osculateurs des trajectoires orthogonales aux points où elles rencontrent l'une des surfaces de la famille concourent en un même point ; 2° détermination des systèmes cycliques formés de cercles dont les plans enveloppent une développable. — Forme remarquable de l'équation du troisième ordre donnée par M. Maurice Lévy ; on prend comme variables indépendantes le paramètre u de la famille et deux des coordonnées rectangulaires. — Application de cette équation à la détermination des surfaces invariables de forme qui peuvent, en se déplaçant, engendrer une famille de Lamé. — Quand le mouvement de la surface est unique et déterminé, il est nécessairement hélicoïdal. — Applications particulières. — Étude du cas où la surface peut, dans plusieurs mouvements différents, engendrer une famille de Lamé. — Indication de divers résultats. — M. J. Bertrand a montré, par la Géométrie, que, si ces mouvements comprennent toutes les translations, la surface est une sphère ou un cj'lindre. - — M. Adam a établi, par l'analyse, que le résultat subsiste si les mouvements se réduisent à deux translations distinctes. — Interprétation géométrique élégante due à M. Petot. L'équation aux dérivées partielles qui caractérise la surface cherchée exprime la propriété suivante : la droite du plan tangent qui joint les centres de courbure géodésique des deux lignes de courbure appartient à un complexe linéaire. — Théorème de M. Cosserat. — Retour à l'équation générale du troisième ordre. — Formation de cette équation quand la famille est déterminée par une équation implicite ff{x,y,z,u)=:o. Développement de l'équation en vue des applications ultérieures.

44. Après les applications particulières développées dans les deux Chapitres précédents, nous allons revenir à l'équation du troisième ordre, à laquelle doit satisfaire le paramètre u de toutes les surfaces faisant partie d'une famille de Lamé. Nous avons vu,

FORjrES DE l'Équation du troisième ordre. 75

au n° 15, qu'elle peut se mettre sous la forme

(1) ('l (ViHii-i-C^'i "'2-+- P2'*'i)Hi2-!-- • • = o, où H désigne la fonction

\/ u'i -+- ul -]- ul

Si donc nous nous rappelons la signification de t»,, . . ., (v,, .... et qu'au lieu de ces dérivées des fonctions v, w, nous introduisions des différentielles par les formules

dx dy dz %x ùy Zz

Pj fj ^z ^\ '*^2 '*'3

dx^ dy^ dz et 8.r, Zy, oz définiront respectivement les deux déplacements infiniment petits qui peuvent se produire suivant les deux lignes de courbure de la surface de paramètre u ; et l'équation du problème pourra s'écrire

Hu dx Zx -f- \\i2{dx ùy -+- dy Zx)-\- . . . — o, ce qui équivaut, comme on sait, à la forme plus simple

(3) « oH —dox —-dùv r—d<jz = o.

^ ' dx dy -^ dz

La signification géométrique de H est d'ailleurs évidente et a déjà été rappelée : Wdu est, pour chaque point, la distance de deux surfaces infiniment voisines admettant pour paramètres u et u -1- du.

4o. Le résultat que nous venons d'obtenir peut s'énoncer sous une forme différente. Prenons, sur les surfaces de paramètre u, un système de coordonnées curvilignes formé par les lignes de courbure, et soient p,, p2 les paramètres de ces deux familles de lignes. Nous savons que ;r, j', z, considérées comme fonctions de p,, p2, seront des solutions particulières d'une équation linéaire de la forme

0?i t^pi t^pi d^i

qui admettra d'ailleurs aussi la solution particulière

Avec ces variables p(, pa, l'équation (3) prendra évidemment la forme suivante :

rn H dU d^x dli d-^y dn à'-z

àpiâpz dx àpidpi dy dp^ dp^ dz dpiàp, ~

bi 1 on y remplace -^ — r-, -, — 3— » 3 — r— par les valeurs que four-

'' ^ opi dp2 opi ap2 dpi op.2 ^ ^

nit l'équation (4), elle devient

dni /du dx m^ dy m dz

dpiàp^ \dx Opi dy dpi dz dpi

\ dx dp^ ' dy dp^ dz àp2

c'est-à-dire

d^U dE , dH (5) - — a- b-— = o.

dpi dp2 dpi dp2

Don

La condition nécessaire et suffisante pour qiH une famille de surfaces fasse partie d'un système triple orthogonal est cjue la plus courte distance de deux surfaces infiniment voisines soit une solution particulière de V équation ponctuelle relative au système conjugué formé par les lignes de courbure.

Rappelons que cette équation peut être formée (*) dès que l'on connaît l'élément linéaire de la surface de paramètre u ; si l'on a

ds'^ = \{\dp\-^\\\dp\.

elle est

i dHa t)6 1 c)Hi ^

^'' dpidpi H2 dpx dp^ Hi dpi dpi

46. La proposition précédente, rapprochée des résultats obtenus aux n°* 40 et 41, doit nécessairement conduire à une propriété de l'ensemble des cercles osculateurs aux trajectoires orthogonales

(') Leçons sur la Théorie des surfaces (I" Partie, n» 149).

FORMES DE l'ÉQUATION DU TROISIÈME OJIDRE. 77

des surfaces de la famille, aux points où elles rencontrent une de ces surfaces. Cette propriété, qui est due à Ribaucour, s'énonce comme il suit :

Si l'on construit, pour chaque trajectoire orthogonale, le cercle osculateur au point où elle rencontre une surface déterminée (S) de la famille considéi^ée, tous les cercles ainsi obtenus forment un système cyclique, c'est-à-dire sont orthogonaux à une nouvelle famille de suif aces comprenant (S) et faisant aussi partie d'un système triple orthogonal.

Nous laisserons au lecteur le soin de démontrer cette proposition par l'analjse, et nous allons reproduire ici les considérations géométriques très simples par lesquelles on l'établit (').

Soit M un point de (S); désignons par (S, ), (Sg) les deux surfaces orthogonales qui passent en M, se coupent suivant une ligne de courbure commune (C) et coupent (2) suivant deux lignes de courbure (C,), (C2). Soient P< et P2 les centres de courbure principaux de (S, ) et de (So) relatifs à la ligne de courbure (C). La ligne P, Po est l'axe du cercle osculateur en M à (C), et ce cercle lui-même est, d'après le théorème de Meusnier, l'intersection des deux sphères (S)), (So), qui passent en M et ont pour centre respectivement P, etPo. Déplaçons-nous à partir de M suivant la ligne (G, )5 le centre de courbure P< décrira un élément de courbe tangent à l'axe Pi P2 ("); et, par suite, la sphère (Si) aura une enveloppe qu'elle touchera suivant un cercle passant en M et situé dans un plan normal à P, Po, c'est-à-dire suivant le cercle osculateur de (C). Déplaçons-nous, de même, suivant la ligne de courbure (Co); la sphère (S2) touchera aussi son enveloppe suivant le cercle osculateur de (C). Il suit de là que les cercles osculateurs des trajectoires (C) appartiennent à deux séries d'enveloppes de sphères qui se coupent mutuellement a angle droit, suivant ces cercles.

(') Leçons sur la Théorie des surfaces (IV' Partie, n» 972, p. i65).

(^) Leçons sur la Théorie des surfaces (III' Partie, n° 752, p. 334 )• La proposition établie dans ce numéro peut s'énoncer aussi comme il suit : Construisons, en chaque point d'une surface, les cercles osculateurs aux deux lignes de courbure qui se croisent en ce point. Chacun d'eux engendre une enveloppe de sphères lorsqu'on se déplace sur la ligne de courbure à laquelle il n'est pas osculateur.

78 LIVRE I. — CH API tri: IV.

Comme ces cercles sont des lignes de courbure communes, il résulte de la réciproque du théorème de Dupin (n" 6) qu'ils admettront une famille de surfaces trajectoires orthogonales. Cette troisième famille, jointe aux deux précédentes formées d'enveloppes de sphères, complétera le système triple orthogonal.

Telle est la démonstration géométrique du théorème de Ribaucour ; il convient maintenant d'établir la réciproque : Si une famille de surfaces est telle que les cercles osculateurs des trajectoires orthogonales aux points où elles rencontrent une quelconque (S) des surfaces de la famille forment un système cyclique, cette famille de surfaces fera partie dhin système triple orthogonal, c'est-à-dire ce sera une famille de Lamé.

Nous avons vu, en elTet, que la connaissance des cercles osculateurs des trajectoires entraîne celle de la plus courte distance de deux surfaces infiniment voisines (n° 41). Cette plus courte distance sera la même pour la famille proposée que pour le système cyclique formé par les cercles osculateurs des trajectoires ; et, par suite, elle devra nécessairement satisfaire à l'équation aux dérivées partielles (7) ; ce qui montre bien que la famille de surfaces proposée sera une famille de Lamé.

47. Dans un Ouvrage antérievir (* ), nous avons longuement étudié les systèmes cycliques. Nous aurons l'occasion d'y revenir encore. Pour le moment, nous nous contenterons d'étudier les deux questions suivantes, relatives à ces systèmes.

Proposons-nous d'abord de rechercher les familles de Lamé pour lesquelles les plans osculateurs des trajectoires, aux points où elles rencontrent l'une des surfaces de la famille, sont tous concourants en un même point, qui peut varier d'ailleurs avec la surface que l'on considère. En d'autres termes, proposons-nous de trouver tous les systèmes cycliques composés de cercles dont les plans vont passer par un point fixe.

Pour résoudre cette question, remarquons que, si l'on exprime que le plan osculateur d'une trajectoire va passer par un point

(') Leçons sur la Théorie des surfaces (n- 477-482, 761-762, 806-807, 936-953, 961-970)!

FORJIES DE LEQUATION DU TROISIEME ORDRE. jy

fixe (a, ,3, y), on sera conduit à l'équation

X — 'X JK— [3 -—Y

dx dy dz

ds ds ds

ds- ds- ds'^

dx

Remplaçons^? •••, -j-^» • •• par les valeurs relatives aux trajectoires et obtenues au Chapitre précédent, n° 40. En conservant les notations employées, nous serons conduit à l'équation

dont l'intégration s'eflTectue immédiatement et nous donne

du

du

du

ôx

ày

'dz

(jn

dn

dU.

dx

dy

dz

où l'on a posé

II importe de remarquer que, le point (a, [3, y) pouvant varier avec la surface considérée, il faut regarder a, jS, y comme des fonctions de u.

Si nous substituons la valeur de H dans l'équation [n) et si nous remarquons que w est solution particulière de cette équation, nous trouverons

à^f dhi dui

dtx)^ dpz dpi ~~ '

Si aucune des dérivées ~, ^-- n'est nulle, il viendra

dpi dpi

d\f ce qui donnera

H = 8[(x-a)2 + (^-P)2 + (2-Y)2]+ô, 0 et î étant de nouvelles fonctions de u. Celte équation aux dé-

8o LIVRE I. — CHAPITRE IV.

rivées partielles est précisément celle qui a été étudiée au Chapitre précédent.

Si l'une des dérivées -r— 5 — - est nulle, la surface considérée a

ses lignes de courbure d'un système situées sur des sphères ayant pour centre commun le point (a, p, y). Les lignes de courbure de l'autre système seront donc situées dans des plans passant parle centre commun des sphères. Ces plans couperont la surface à angle droit : elle sera donc une sphère si les deux dérivées sont nulles, ou une surface-moulure conique si une seule dérivée est nulle. Si elle est une sphère, il est clair que les plans osculateurs des trajectoires orthogonales passeront tous par le centre de la sphère et satisferont à la condition posée ; si elle est une surfacemoulure conique, c'est-à-dire une surface-moulure (S) pour laquelle le plan du profil de la moulure enveloppe un cône ayant pour sommet le centre de la sphère, les plans osculateurs des trajectoires orthogonales en tous les points du profil se confondront évidemment avec le plan de ce profil ; et, par suite, le plan de ce profil sera langent en lous les points du profil à une surface ((^) appartenant à l'une des deux familles qui doivent compléter le système triple orthogonal. Cette surface sera donc développable. Elle se réduira nécessairement au plan du profil, si ce profil est une ligne courbe ; car une surface développable ne peut être touchée que suivant une droite par son plan tangent. Le système triple orthogonal correspondant sera donc un cas particulier de celui que nous avons étudié aux n"^ 17 et suiv. On l'obtiendra en traçant dans un plan (P) deux séi^ies de courbes orthogonales (C) et (C,), puis en faisant rouler le plan (P) sur un cône. Dans ce cas, en effet, les plans osculateurs des trajectoires orthogonales des surfaces-moulures engendrées par les courbes (C) et (Cj) vont passer par le sommet du cône.

Si le profil considéré plus haut est une ligne droite, le lecteur arrivera aisément à la ntiême conclusion. Les développables (0) seront alors engendrées par les normales à une certaine surface (U), qui aura une famille de lignes de courbure sphériques et une autre famille de lignes de courbure à la fois planes et géodésiques ; de sorte que le système triple orthogonal comprendra encore une famille de plans.

FORMES DE l'ÉQUATIOX DU TROISIEME ORDRE. 8l

En résumé :

Si une famille de Lamé est telle que les plans osculateurs des trajectoires aux points où elles rencontrent une des surfaces de la famille aillent passer par un même point, qui pourra varier quand on changera de suif ace, cette famille est une de celles que nous avons étudiées au Chapitre précédent et pour lesquelles les cercles osculateurs des trajectoires orthogonales aux points oii elles rencontrent une des surfaces sont orthogonaux à une même sphère ; ou bien c'est une famille de surfaces-moulures pour lesquelles les plans des profils enveloppent un même cône.

De là il résulle encore que

Si un système cyclique est formé de cercles dont les plans passent par un point fixe, ces cercles sont orthogonaux à une sphère fiixe, ou bien ils sont distribués dans les plans tangents d'un cône.

48. Ce dernier résultat nous amène à étudier maintenant le second problème que nous voulions traiter et à chercher tous les systèmes cycliques formés de cercles dont les plans, au lieu de former une suite doublement infinie, enveloppent une surface développable. Il faudra évidemment, dans ce cas, qu'il y ait une famille de cercles dans chaque plan de la développable. Soit (U) une des surfaces normales aux cercles ; il est clair que cette surface aura pour lignes de courbure ses sections par les plans tangents de la développable, sections qui la couperont à angle droit. Ce sera donc une surface-moulure. De là le résultat suivant, dû à Ribaucour ( ') :

Pour obtenir le système cyclique le plus général formé de cercles dont les plans enveloppent une développable, on construira une famille quelconque de cercles dans un plan et l'on fera rouler ce plan sur une développable quelconque.

(') Ribaucour (A.), Mémoire sur la théorie générale des surfaces courbes (Journal de Liouville, 4* série, t. VII, p. 26^ ; 1891).

S-i LIVRE I. - CHAPITRE IV.

Ce résultat complèle ceux que nous avons donnés dans notre Ouvrage relativement aux systèmes cjcHques.

49. Revenons à l'équation générale (7). On peut en faire d'autres applications et retrouver, en particulier, un résultat très simple et très élégant, donné par M. Maurice Lévj, au t. LXXVJI des Comptes rendus (^).

Supposons que l'on choisisse comme variables indépendantes deux des coordonnées rectangulaii-es x, y et le paramètre u de la famille considérée. Voyons à quelle équation devra satisfaire ;;, considérée comme fonction de ces variables. On aura d'abord