CHAPITRE V

Recherche des systèmes isothermes et d'autres systèmes qui se présentent dans la théorie de la chaleur

On a vu que, parmi les systèmes déterminés dans les deux Chapitres précédents, doivent se trouver : i» les systèmes composés de trois familles isothermes ; 2" ceux pour lesquels l'équation de la chaleur admet, dans des conditions piéccdemrncnt définies, une infinité de solutions de la forme P/( p )/,( p, )/j( p^). — L'objet du présentChapitre est précisément la détermination de ces deux classes particulières, comprises dans celle que nous avons déterminée. — On commence par la recherche des systèmes isothermes en envisageant successivement les différentes solutions obtenues dans les deux Chapitres précédents. — On obtient d'abord des systèmes formés d'une famille de plans parallèles et de deux familles de cylindres isothermes, ou d'une famille de sphères concentriques et de deux familles de cônes isothermes, ou d'une famille de plans passant par une droite et de deux familles de quadriques homofocales de révolution. — On obtient aussi le système des quadriques homofocales et un autre système imaginaire qui a été signalé, mais non déterminé, par Combescure. — Bien que ce dernier système ne puisse jouer aucun rôle en Physique mathématique, il 3' a intérêt à le déterminer ; on montre qu'il est formé avec des cyclides de Dupin qui sont imaginaires et du troisième degré. — Après avoir ainsi terminé la recherche des systèmes isothermes, on suit une méthode analogue pour la détermination de la seconde classe signalée plus haut. — On démontre d'abord un lemme fondamental de Lord Kelvin, relatif à l'inversion, puis on montre que les systèmes cherchés se réduisent en définitive au seul

Pages, système des cyclides homofocales et à ses variétés. — On retrouve cette propriété des cyclides homofocales par une démonstration directe où l'on emploie les coordonnées pcnlasphériqiies et une forme remarquable que prend, avec ce système de coordonnées, l'équation de la chaleur. — Le Chapitre se termine par une remarque qui permet d'étendre une partie des résultats précédents aux systèmes de coordonnées curvilignes les plus généraux.