CHAPITRE IV

Becherche d'un système particulier (suite). Examen du troisième type

de solution 242

Le troisième type de solution du problème que l'on a commencé à étudier dans le Chapitre précédent correspond aux valeurs suivantes :

H (P. -pr'(p-P2)""''

H = rrz >

M\Ja

' „ (P.-p.rMp.-P)-"

de H, H,, H^. Dans ces formules, M désigne une fonction quelconque, h une constante, a, une fonction de la seule variable p,. En écrivant que les équations de condition données au Chapitre précédent sont vérifiées, on obtient les solutions suivantes. — Pour la première, onaA = — -;a(p),a,(?),aj(p) sont des polynômes identiques du

cinquième degré; ces hypothèses correspondent au système formé par les cyclides homofocales et à ses variétés. — La seconde solution correspond à l'hypothèse h = -, a(p), a,(p), a^{^) sont des polynômes

identiques du troisième degré. — La troisième solution correspond à la valeur h = i; a{r.), a, (p ), a^(p) sont des polynômes du deuxième degré qui doivent satisfaire à l'identité

La quatrième solution correspond à la valeur A = 2 ; les fonctions a, a,, aj se réduisent alors à des constantes dont la somme est nulle. — Remarques générales sur la manière dont on pourra déterminer la valeur de M correspondant à chaque solution. — Élude détaillée du cas pour lequel on a A = i. — Le système correspondant est exclusivement formé de cyclides de Dupin. — On démontre qu'il est identique à ceux qui ont été étudiés au Livre I", Ch. III. — Pour l'étude

des systèmes qui correspondent aux valeurs h ~ 1, h = - et qui

n'apparaîtront pas, d'ailleurs, dans le Chapitre suivant, il est renvoyé à un Mémoire de l'auteur.