CHAPITRE I

Trois théorèmes sur les systèmes d'équations aux dérivées partielles du

premier ordre SaS

Après avoir traité quelques applications, on se propose de revenir à la théorie générale des systèmes triples orthogonaux; mais il faut auparavant démontrer quelques propositions générales relatives à certains systèmes d'équations aux dérivées partielles du premier ordre. Ces systèmes rentrent tous dans le type exprimé par les équations suivantes :

où les indices i et h peuvent prendre des valeurs différentes, et où les seconds membres désignent des fonctions arbitraires des fonctions inconnues et des variables indépendantes. Mais il y a lieu de distinguer trois cas, Il y a d'abord les systèmes pour lesquels on connaît une dérivée, et une seule, de chaque fonction inconnue. On démontre alors, en appliquant la belle méthode d'approximation de M. Emile Picard, que si l'on adopte pour les variables indépendantes un système quelconque de valeurs initiales, les équations proposées admettent toujours un système de solutions, et un seul, dans lequel chaque fonction inconnue se réduit à une fonction quelconque des autres variables, quand on donne à la variable par rapport à laquelle est prise sa dérivée sa valeur initiale. Pour que ce théorème soit exact, il faut et il suffit que les fonctions /,,, demeurent continues dans un domaine continu comprenant les valeurs initiales des fonctions et des variables indépendantes. Il suffit, de plus, que, considérées uniquement comme dépendantes des a,,, elles satisfassent à ce qu'on appelle la condition de Lipschitz. Notre deuxième proposition s'applique au cas où le système détermine toutes les dérivées des fonctions continues et où toutes les conditions d'intégrabilité sont vérifiées. C'est ce qu'on appelle un système complet, et cette théorie est bien connue. Enfin, notre troisième proposition concerne le cas où certaines fonctions entrent par plusieurs dérivées. On montre alors que, si les conditions d'intégrabilité sont identiquement vérifiées, le système admet une solution, et une seule^ dans laquelle chaque fonction inconnue, dont on

TABLE DES MATIÈRES. 55g

Pages, connaît les dérivées par rapport à certaines variables xh„ xh^,. . . , xh„, peut se réduire à une fonction quelconque des autres variables, quand on donne aux variables x/,,, xh^, ... leurs valeurs initiales; toujours, bien entendu, sous certaines conditions de continuité, qui dérivent naturellement de l'application du théorème fondamental.