CHAPITRE II

Applications des théorèmes précédents 344

Applications analytiques. — On envisage d'abord l'équation

d-'z .[ àz âz\

qui a déjà été l'objet des belles études de M. Emile Picard. Sous les conditions de continuité habituelles, elle admet une solution, et une seule, pour laquelle z se réduit à une fonction donnée de x, pour y = y^, et à une fonction donnée de y, pour x = a?,. On considère ensuite le système suivant :

d^e / de de \

dxdz -J^\^^y> ^'rf^' 5i)'

de de

qui se présente assez souvent en géométrie. Si les conditions d'inté-

grabilité obtenues en égalant les diverses valeurs de -; — ; — — sont

ox oy az

vérifiées, ce système admet une solution, et une seule, pour laquelle 6 se réduit à une fonction arbitraire de chacune des variables quand les deux autres variables se réduisent à leurs valeurs initiales. Applications géométriques. — On considère d'abord la correspondance par plans tangents parallèles, et l'on se propose le problème suivant : Étant donnés une surface (S) et un réseau conjugué tracé sur (S), trouver toutes les surfaces (S,) qui correspondent par plans tangents parallèles à (S), avec conservation du réseau conjugué. On donne deux solutions différentes de ce problème et l'on démontre le théorème suivant : Considérons sur la surface (S) les deux courbes du réseau conjugué (C) et (D) qui se croisent en un point M de la surface, puis construisons dans l'espace deux courbes (C,) et ( D, ) qui se croisent en un point M, et sont assujetties à l'unique condition d'avoir leurs tangentes respectivement parallèles à celles de (C) et de (D). Il existera une surface (S,), et une seule, donnant une solution du problème et contenant les courbes ( C, ) et (D,). La seconde application géométrique concerne la recherche de deux systèmes de coordonnées curvilignes qui se correspondent de telle manière qu'aux points correspondants les plans tangents aux surfaces coordonnées soient parallèles, et par suite aussi les tangentes aux

56o TABLE DES MATIÈRES.

Pages, courbes coordonnées. Nous dirons alors que les deux systèmes sont parallèles. On montre comment on pourra obtenir de tels systèmes. Ils doivent d'abord être, comme nous dirons, à lignes conjuguées, c'est-à-dire les courbes coordonnées doivent former un réseau conjugué sur chaque surface coordonnée. Toutes les fois qu'un système est à lignes conjuguées, il admet une infinité de systèmes parallèles, dont on peut définir comme il suit le degré de généralité. Considérons dans le système conjugué connu un point M et les trois courbes coordonnées (C), (Cl), (Cj) qui passent en ce point. Par un point quelconque M' de l'espace, faisons passer trois courbes (C), (C, ), (C^) assujetties à l'unique condition d'avoir leurs tangentes respectivement parallèles à celles des courbes (C,). Il existera un système de coordonnées, et un seul, parallèle au proposé et pour lequel les trois courbes (C',) feront partie du système des courbes coordonnées. Détermination et conditions d'existence des systèmes conjugués. Énoncé géométrique. — Considérons trois surfaces (S), (Lj), (S^) se coupant en un point M et désignons par ( C,) la courbe d'intersection des deux surfaces (S^), (S,). Nous supposerons que les trois surfaces soient assujetties à l'unique condition que les tangentes en M à (C^) et (Cj) soient des tangentes conjuguées de (S,). Alors il sera possible, et d'une infinité de manières, de tracer sur chaque surface (£,) un réseau conjugué comprenant les courbes (C^), (C;). Quand on aura ainsi tracé les trois réseaux sur les surfaces (S,), ce qui comporte l'introduction de trois fonctions arbitraires de deux variables, il existera un système de coordonnées à lignes conjuguées, et un seul, comprenant comme surfaces coordonnées les trois surfaces (S,) et comme courbes coordonnées toutes celles des trois réseaux tracés sur les surfaces (S,).

Les systèmes à lignes conjuguées 36i

Rappel des équations aux dérivées partielles qui servent à déterminer les systèmes à lignes conjuguées. — Le système fondamental des six équations aux dérivées partielles qui déterminent les inconnues p,j. peut être remplacé par une seule équation du sixième ordre à laquelle doit satisfaire une certaine fonction V dont la connaissance entraînera celle de toutes les fonctions P;j. L'inli-oduction de la fonction V met en évidence une propriété du système (A) auquel satisfont les p,^. Si l'on a une solution de ce système on en aura une plus générale en remplaçant les |â,j par p,.j —, où a^ ne dépend que de p,. Système complémentaire d'un système conjugué. — Ils sont caractérisés par cette propriété qu'aux points correspondants des deux systèmes les trièdres formés par les tangentes aux courbes coordonnées sont supplémentaires. Les systèmes supplémentaires sont aussi à lignes conjuguées. Quand le système considéré est orthogonal, les systèmes supplémentaires se confondent avec les systèmes parallèles au proposé. Formules relatives à deux systèmes supplémentaires. Il y a, en particulier, une relation différentielle intéressante analogue à celle qui donne l'élément linéaire d'un système triple.

TABLK DES MATIKRES. 56l

Pages. Etude du cas où les fonctions V relatives à deux systèmes supplémentaires sont identiques. — Il faut distinguer deux hypothèses. La première conduit à cette conséquence que les fonctions p,n du prennier système doivent être égales aux p^, du second. On peut mettre l«s équations qui déterminent les deux systèmes sous une forme telle que les fonctions p,j, X,, X',- ne dépendent que des tliirérences de p, p,, p,. La seconde hypothèse conduit à une solution différente de la précédente et qui pouvait être prévue : celle (]ui est fournie par les systèmes triples orthogonaux. L'élude de la question précédente conduit i la détermination de tous les systèn)es de coordonnées curvilignes jouissant de cette propriété que le trièdre formé par les tangentes aux lignes coordonnées conserve son orientation quand son sommet décrit une courbe.