CHAPITRE X

Les systèmes de M. Guichard 4^7

Les rotations fl,^ relatives à un système triple satisfont à deux systèmes distincts d'équations aux dérivées partielles. Le premier ne change pas lorsqu'on échange les premiers et les seconds indices des fonctions p,,,. Le second, qui se compose de trois équations, change; mais, si l'on joint les équations obtenues par cet échange des indices à celles qui définissent généralement les p,j, on a un système de douze équations, qui a été considéré en premier lieu par M. Guichard. On démontre d'abord, par l'application du théorème de Cauchy et d'un raisonnement fréquemment employé dans cet Ouvrage, que la solution générale de ce système dépend de six fonctions arbitraires d'une variable. Quand on a obtenu un système de valeurs des p,,, satisfaisant à ces douze équations, il leur correspond deux séries distinctes de systèmes orthogonaux, tous les systèmes d'une même série ayant même représentation sphérique. On donne les équations qui déterminent ces deux séries, et la comparaison de ces équations conduit à un grand nombre de conséquences intéressantes. D'abord, si l'on coimait pour chacun d'eux la représentation sphérique, c'est-à-dire les expressions des cosinus directeurs des normales en fonction des coordonnées curvilignes, on peut déterminer, par de simples quadratures, des systèmes de l'une et de l'autre série. On peut aussi, par l'intégration d'un système complet, obtenir tous les systèmes orthogonaux pour lesquels on a

H^-I-Hî -f-H| =a(a7^+j-^-Hz')-hp,

a et p désignant deux constantes. M. Guichard avait déjà considéré le cas spécial où ces constantes sont nulles. Enfin, on peut constituer deux méthodes de récurrence permettant de déduire, d'un système a(>partenant à la catégorie précédente, une suite, en général illimitée, de systèmes nouveaux, de même définition.

NOTK I.

Pages.

Sur l'application du théorème fondamental d'Abel relatif aux intégrales algébriques à la recherche de systèmes orthogonaux dans un espace à n dimensions 4? '

Sur la cyclide de Dupin 4^^

Détermination des systèmes triples orthogonaux qui comprennent une famille de cyclides de Dupin et plus généralement une famille de surfaces à lignes de courbure planes dans les deux systèmes 499

Sur une classe particulière de déformations finies et sur les systèmes

triples de surfaces orthogonales 53o

Table des matikues 545

PARIS. — IMPRIMERIE G A UT H lE R-V I LL A RS, 45260 Quai des Grands-Augustins, 55.

C,^ Darboux, Gaston 6^9 Leçons sur les systèmes

D37 orthogonaux et les coordonnfes

1910 curvil:i/gnes 2d éd., complétée

Physical & Applied Sci.