CHAPITRE IX

Méthode de recherche des systèmes ( E ) 44^

La recherche des systèmes ( E ) se ramème à un problème de géométrie sphérique qu'on peut énoncer ainsi : Mettre l'élément linéaire de la

sphère sous la forme rfa^ = -— du'^ -{- -— dv'^ . Démonstration complète

'^ du ôv

de ce résultat. — Solution de ce problème quand l'étément linéaire de la sphère est déjà mis sous lu forme

où A, A| désignent des fonctions de a et B, B, des fonctions de p. On

Pages, connaît beaucoup de réductions de l'élément linéaire à la forme précédente et M. Haag a appris à les déterminer toutes. On les passe successivement en revue. Cas particulier du système sphérique formé par les coniques homofocales. Parmi les systèmes (E) qui lui correspondent, l'un d'eux, le plus élégant, a été étudié au début <le cet Ouvrage. Une des familles qui le composent est formée de quadriques ayant les mêmes plans principaux et dont les ombilics décrivent des droites auxquelles sont normales toutes les quadriques. On termine ce Chapitre en étudiant avec Ribaucour toutes les surfaces qui admettent les systèmes spbériques précédents comme représentation sphérique de leurs lignes de courbure. On constitue ainsi une théorie ayant beaucoup d'analogie avec celle des systèmes (E) : ce qu'il était facile de prévoir, puisque les surfaces recherchées font partie de ceitains systèmes (E). Il y a, en particulier, une méthode de récurrenre qui permet de déduire d'une solution donnée une suite illimitée de solutions nouvelles. Cette méthode est appliquée au cas où l'on prend comme surface initiale la sphère qui porte la représentation sphérique.