FAMILLES FORMEES AVEC DES QUADRIQUES

allons reproduire d'ailleurs le raisonnement direct par lequel l'éminent géomètre a établi cette condition.

Les surfaces orthogonales à la famille définie par l'équation (i) peuvent évidemment être déterminées de la manière suivante : comme, d'après le théorème de Dupin, elles coupent les surfaces données suivant leurs lignes de courbure, elles sont individuellement engendrées par ces lignes de courbure, et l'équation de chacune d'elles (S) résultera de l'élimination de « entre l'équation (i) et la suivante

rp2 y2 ^2

où t sera une fonction de u à déterminer. D'ailleurs, pour une valeur donnée de u, cette dernière équation représente une surface homofocale et orthogonale à celle qui est définie par l'équation (i); il faudra donc que, lorsqu'on considérera à part les surfaces représentées par l'équation précédente (3), leur enveloppe coïncide avec la surface (S). Donc l'équation

obtenue en difi'érentiant par rapport à u la précédente (3), devra être une simple conséquence des équations (i) et (3).

Or, en retranchant ces deux équations membre à membre, on obtient la suivante

qui est homogène et doit, par suite, se réduire à l'équation (4). En écrivant donc que les deux équations ont leurs coefficients proportionnels, on trouvera

Ce sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que les qua-

driques définies par l'équation (i) forment une famille de Lamé.

Ces conditions résultent de l'élimination des fonctions arbi-

A(dX-

-dt)

B(dB- - B-

-dt) -t

C(dC-

-dt)

gS LIVRE I. — CHAPITRE V.

traires m et n entre les équations suivantes

!A d\ = (mA.-h n)du, BdB = {mB-^-n)du, t dt = (mt + n) du; CdC = {mC-^n)du;

de sorte que A, B, G seront trois solutions particulières d'une équation difTérentielle de la forme suivante :

(8) j dy = (my -h n)du,

où m el n désignent deux fonctions arbitrairement choisies de u; t en sera la solution générale, et la constante arbitraire qui entrera dans cette solution sera, suivant les limites entre lesquelles elle variera, le paramètre de l'une ou l'autre des deux familles qui complètent le système orthogonal.

En remplaçant u par une fonction convenablement choisie, on peut toujours réduire à l'unité l'une des fonctions m, n. Ainsi la solution précédente ne comporte qu'une fonction arbitraire d'une variable.

56. Si l'on élimine m et n entre les trois premières relations (7), on retrouve, comme il fallait s'y attendre, la condition (2). M. Maurice Lévy a donné une interprétation géométrique de cette relation différentielle. Désignons sous le nom de ligne ombilicale la ligne engendrée par l'un des ombilics des surfaces qui composent la famille donnée : la condition (2) exprime que cette ligne ombilicale est norm,ale à toutes les surfaces.

On peut, comme il suit, confirmer celte interprétation. Considérons, par exemple, les ombilics définis par les équations

3,2 y1 x^ yi

Pour que la ligne ombilicale soit normale à la surface, il faudra que l'on ait

X dy y dx

L'élimination de x^^y entre ces équations conduit précisément à la relation différentielle (2).