FAMILLES FORMEES AVEC DES QUADWIQUES

Les équations (9), (10) peuvent être résolues par rapport à A, 13, C et nous donnent

x{x dx -I- y dy ) dx , . ; R yi^dx^ydy)

(") \^= -dy '

^ ^ xy{dx-^-\-dy'>-) dx dy

Ces expressions de A, B, C donnent évidemment la solution de l'équation générale (2). On voit que la famille de quadriques est déterminée dès que l'on connaît une de ses lignes ombilicales. Quelques remarques de pure Géométrie vont nous permettre de rendre compte de ce fait intéressant.

57. Rappelons d'abord quelques résultats très simples, relatifs à la disposition des ombilics sur une quadrique.

Ces ombilics sont évidemment les points où se croisent deux génératrices rectilignes isotropes de la surface. Or, comme il y a quatre points d'intersection de la surface avec le cercle imaginaire de l'infini, il y a sur la surface huit génératrices isotropes, qui se coupent d'abord en ces quatre points, puis en douze autres points, à distance finie, qui sont les ombilics. Ces huit génératrices isotropes forment six quadrilatères gauches dont les sommets sont des ombilics, et chacun de ces quadrilatères est situé sur une sphère, qui est tangente à la quadrique aux quatre sommets du quadrilatère. On a ainsi trois couples de sphères qui ont leur centre sur les axes. Quatre au plus des ombilics sont réels.

D'après cela, soit (L) une ligne ombilicale et M un de ses points. Construisons les deux droites isotropes situées dans le plan normal à (L) en ce point. Ces deux droites (f/), i^d!) seront évidemment symétriques par rapport au plan de (L), et elles devront appartenir à celle des quadriques qui est normale en M à (L). Cette quadrique, dont les plans de symétrie sont donnés, sera évidemment déterminée par la condition de contenir trois points de ((/), et alors elle contiendra aussi (c^') pour raison de symétrie. Donc, les axes A, B, C devaient s'exprimer, comme nous l'avons

trouvé, en fonction de jc, jk, -7--

Si une sphère de rayon nul décrit la ligne (L), elle a pour enveloppe une développable isotrope (A) qu'elle touche à chaque instant suivant les droites (d), (d'). Comme ces droites sont des génératrices isotropes des quadriques, on peut conclure :

i" Que la développable (A) est tangente à toutes les quadriques de la famille qui admet (L) pour ligne ombilicale;

2° Que les sections de (A) par les autres plans principaux sont des lignes ombilicales situées dans ces plans.

Cette proposition nous conduit immédiatement à une intéressante conséquence, signalée par M. G. Humbert ('). Si l'une des lignes ombilicales est une droite, la développable (A) se réduit à deux plans isotropes; les quadriques sont tangentes à ces deux plans; et, par suite, elles sont aussi tangentes à six autres plans, symétriques des premiers, soit par rapport au centre, soit par rapport aux deux plans principaux qui ne contiennent pas la droite ombilicale. Les onze autres lignes ombilicales sont donc des droites.

De même, si l'une des lignes ombilicales est un cercle, la développable isotrope passant par ce cercle se réduit à deux sphères de rayon nul ; toutes les autres lignes ombilicales sont des cercles situés sur ces sphères de rayon nul, ou svir d'autres sphères symétriques des premières, soit par rapport au centre, soit par rapport à des plans principaux.

En particulier, si quatre ombilics situés dans un même plan principal sont fixes, les autres lignes ombilicales sont des cercles, et les quadriques forment une famille de Lamé.

Les surfaces homofocales ordinaires sont caractérisées par cette propriété que l'une des lignes ombilicales est une conique admettant les axes de symétrie des surfaces elles-mêmes.

58. Le cas signalé par M. Humbert donne lieu à des formules particulièrement intéressantes. Supposons que l'un des ombilics, celui, par exemple, qui est donné par les formules (9), décrive

(') G. Humbert, Sur les normales aux quadriques {Comptes rendus, t. CXI, p. 968; décembre 1890).